基于三粒子和五粒子糾纏態(tài)的量子隱形傳態(tài)通信

蘇孫慶，南彩珍，廖文良，雷國偉

(集美大學(xué)，福建 廈門 361021)

量子通信利用量子信道對信息進(jìn)行編碼、傳輸和處理，具有安全性高、信道容量大的特點(diǎn)。量子秘密通信的主要目標(biāo)是信息安全，主要有量子密鑰分發(fā)[1]、安全直接量子通信[2]和量子秘密共享[3]等方式。量子糾纏是量子力學(xué)中的一種獨(dú)特現(xiàn)象，是量子力學(xué)與經(jīng)典物理學(xué)的最大區(qū)別，是量子通信和量子信息處理的重要資源[4]，并且已經(jīng)在量子保密通信方面[5]被廣泛應(yīng)用。量子隱形傳輸是糾纏的一個重要體現(xiàn)[6]，從Bennett等[7]提出第一個單粒子未知態(tài)的傳輸方案之后，量子隱形傳態(tài)就成為了量子信息研究的重點(diǎn)。從單個粒子量子態(tài)的隱形傳輸發(fā)展到多個粒子的隱形傳輸，再從一般的量子態(tài)的隱形傳輸,發(fā)展到受控量子態(tài)的隱形傳輸。可以看出，人們在理論和實驗上對量子隱形傳態(tài)進(jìn)行了廣泛的研究[8-11]。

考慮到量子通信的實際應(yīng)用,本文提出了基于三粒子糾纏態(tài)和五粒子糾纏態(tài)的量子隱形傳態(tài)通信。首先，制備了三粒子、五粒子的糾纏態(tài)并給出了相應(yīng)的量子線路圖。然后，基于該糾纏態(tài)，提出任意單粒子未知量子態(tài)的隱形傳態(tài)方案和任意二粒子未知量子態(tài)的隱形傳態(tài)方案。前一個方案中，在監(jiān)察者M(jìn)onitor的控制下，發(fā)送方Sender進(jìn)行Bell基測量和經(jīng)典通信；后一個方案中，發(fā)送方Sender進(jìn)行四粒子投影測量和經(jīng)典通信。最后接收方Receiver采用簡單的酉變換就可以以100%的概率成功地恢復(fù)原始未知量子態(tài)。

1 糾纏態(tài)的制備

1.1 三粒子糾纏態(tài)的制備

所要制備的三粒子糾纏態(tài)為

(1)

|ζ0〉=|0〉2|0〉3|0〉1

(2)

分別用Hamdmard門和CNOT(受控非門)進(jìn)行H運(yùn)算和Cij運(yùn)算，其中

cij=|i〉|i⊕j〉

(3)

式中⊕是關(guān)于模2的加法運(yùn)算。具體制備步驟如下：

1)對粒子1進(jìn)行H運(yùn)算，|ζ0〉變換為|ζ1〉

(4)

2)對粒子(1,2)做一次CNOT運(yùn)算cij，粒子1作為控制量子，粒子2為目標(biāo)量子，經(jīng)此運(yùn)算后|ζ1〉就變換為|ζ2〉

(5)

3)對粒子2進(jìn)行一次H運(yùn)算，|ζ2〉變換為|ζ3〉

|01〉31(|0〉-|1〉)2]

(6)

4)對粒子(2,3)做一次CNOT運(yùn)算Cij，粒子2作為控制量子，粒子3作為目標(biāo)量子，經(jīng)此運(yùn)算后|ζ3〉就變換為式(1)所示的三粒子糾纏態(tài)|Q〉

(|00〉23-|11〉23)|1〉1]=

(7)

上式所示三粒子糾纏態(tài)的制備過程的量子線路圖如圖1所示。

圖1 制備三粒子糾纏態(tài)的量子線路圖

1.2 五粒子糾纏態(tài)的制備

所要制備的五粒子糾纏態(tài)為

|Ψ-〉23|Ψ-〉45|1〉1)

(8)

(9)

具體制備步驟如下：

(10)

(11)

(|01〉-|11〉)23(|01〉-|11〉45|1〉1]

(12)

|Ψ-〉23|Ψ-〉45|1〉1)

(13)

上式所示的五粒子糾纏態(tài)的制備過程的量子線路圖如圖2所示。

圖2 制備五粒子糾纏態(tài)的量子線路圖

2 量子隱形傳態(tài)通信

2.1 任意單粒子量子隱形傳態(tài)通信

設(shè)發(fā)送方Sender處，待傳送的未知的任意單粒子態(tài)為

|ξ〉l=a|0〉l+b|1〉l

(14)

其中，a和b都為復(fù)數(shù)，且滿足歸一化條件：

|a|2+|b|2=1。

發(fā)送方Sender、控制方Monitor和接收方Receiver共享式(1)中所示的三粒子糾纏態(tài)作為量子信道。其中，Sender擁有粒子2，Receiver擁有粒子3，Monitor擁有粒子1。則整個系統(tǒng)的量子態(tài)為

|?！?|ξ〉l?|Q〉231

(15)

再將式(15)用Bell基表示得

b(|10〉31-|11〉31)]β00〉12

+[a(|10〉31-|11〉31)+b(|00〉31+|01〉31)]β01〉12

+[a(|00〉31+|01〉31)-b(|10〉31-|11〉31)]β10〉12

+[a(|10〉31-|11〉31)-b(|00〉31+|01〉31)]β11〉12

(16)

任意單粒子量子隱形傳態(tài)通信方案可由以下幾個步驟完成：

1)Sender對自己所擁有的粒子l和粒子2進(jìn)行聯(lián)合Bell基測量，并將結(jié)果經(jīng)由經(jīng)典信道反饋給Monitor和Receiver。由式(16)可知，Sender獲得其中一個測試結(jié)果的概率為四分之一。例如：Sender的測試結(jié)果若為|β00〉l2，則粒子3和粒子1的態(tài)將塌縮為

b(|10〉31-|11〉31)]

(17)

2)若Monitor同意Sender和Receiver之間的通信，則Monitor收到信息后，就用計算基{|0〉,|1〉}對自己所擁有的粒子1進(jìn)行測量，并將測試結(jié)果反饋給Receiver。

當(dāng)Sender的測試結(jié)果為|β00〉l2時，若Monitor對粒子1的測試結(jié)果為|0〉，則粒子3的態(tài)就塌縮為

|Γ2〉=a|0〉3+b|1〉3

(18)

若Monitor對粒子1的測試結(jié)果為|1〉，那么式(17)的態(tài)就變?yōu)?/p>

|Γ3〉=a|0〉3-b|1〉3

(19)

3)Receiver收到Sender和Monitor的測試結(jié)果后，就可以采用適當(dāng)?shù)挠献儞Q，重構(gòu)Sender的原始未知態(tài)式(14)。

如果Sender的測試結(jié)果為|β00〉l2時，而Monitor對粒子1的測試結(jié)果為|0〉時，則Receiver對粒子3執(zhí)行酉變換I，即可重構(gòu)原始未知態(tài)

I|Γ2〉=a|0〉3+b|1〉3

(20)

若Monitor對粒子1的測試結(jié)果為|1〉時，則Receiver對粒子3執(zhí)行酉變換σz，同樣能完成原始未知態(tài)的重構(gòu)

σz|Γ3〉=a|0〉3+b|1〉3

(21)

表1是Sender和Monitor所有可能的測量結(jié)果(分別為|βjk〉l2、|Ψ〉1)、粒子3的塌縮態(tài)|Γx〉以及Receiver的重構(gòu)酉變換U之間的對應(yīng)關(guān)系，見表1。

表1 Sender和Monitor的測量結(jié)果、塌縮態(tài)以及重構(gòu)酉變換之間的對應(yīng)關(guān)系

不論Sender與Monitor的測量結(jié)果如何，Receiver都可以找到對應(yīng)的酉變換進(jìn)行重構(gòu)，使得Receiver的粒子3的量子態(tài)與Sender的單粒子未知態(tài)具有相同的形式，這就說明量子隱形傳態(tài)通信總能實現(xiàn)。

對于Sender和Monitor的任何測量，式(14)的原始態(tài)總能被成功地傳送給Receiver。Sender獲得4個可能測量結(jié)果中任意一個的概率均為1/4；Monitor得到兩種測量結(jié)果中任意一種的概率均為1/2，表1中有8種情況，所以該方案成功的總概率為

即該方案的成功概率為100%。

2.2 任意二粒子量子隱形傳態(tài)通信

設(shè)發(fā)送方Sender處有待發(fā)送的任意的二粒子未知態(tài)

|ξ〉mn=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)mn

(22)

其中a,b,c,d均為復(fù)數(shù)，且|a|2+|b|2+|c|2+|d|2=1。Sender、Monitor和Receiver三方共享式(8)所示的五粒子糾纏態(tài)作為量子信道。其中，粒子2、4屬于發(fā)送方Sender，粒子3、5屬于接收方Receiver，粒子1屬于控制方Monitor。則整個系統(tǒng)的量子態(tài)為

(23)

任意二粒子量子隱形傳態(tài)通信方案可由以下幾個步驟完成：

1)Sender對自己所擁有的粒子m、n、2和4進(jìn)行四粒子Von Neumann測量，并將結(jié)果經(jīng)由經(jīng)典信道反饋給Monitor和Receiver。其測量基由如下向量構(gòu)成

|ε0〉=(|0000〉+|0101〉+|1010〉+|1111〉)/2

|ε1〉=(|0000〉-|0101〉+|1010〉-|1111〉)/2

|ε2〉=(|0000〉+|0101〉-|1010〉-|1111〉)/2

|ε3〉=(|0000〉-|0101〉-|1010〉+|1111〉)/2

|ε4〉=(|0001〉+|1011〉+|0100〉+|1110〉)/2

|ε5〉=(|0001〉+|1011〉-|0100〉-|1110〉)/2

|ε6〉=(|0001〉-|1011〉+|0100〉-|1110〉)/2

|ε7〉=(|0001〉-|1011〉-|0100〉+|1110〉)/2

|ε8〉=(|0010〉+|1000〉+|0111〉+|1101〉)/2

|ε9〉=(|0010〉+|1000〉-|0111〉-|1101〉)/2

|ε10〉=(|0010〉-|1000〉+|0111〉-|1101〉)/2

|ε11〉=(|0010〉-|1000〉-|0111〉+|1101〉)/2

|ε12〉=(|0011〉+|1001〉+|0110〉+|1100〉)/2

|ε13〉=(|0011〉+|1001〉-|0110〉-|1100〉)/2

|ε14〉=(|0011〉-|1001〉+|0110〉-|1100〉)/2

|ε15〉=(|0011〉-|1001〉-|0110〉+|1100〉)/2

(a|11〉-b|10〉-c|01〉+d|00〉)35|1〉1]

(24)

2)若Monitor同意Sender和Receiver之間的通信，則Monitor收到信息后，就用計算基{|0〉,|1〉}對自己所擁有的粒子1進(jìn)行測量，并將測量結(jié)果反饋給Receiver。

當(dāng)Sender的測試結(jié)果為|ε0〉時，若Monitor對粒子1的測試結(jié)果為|0〉，那么式(24)的態(tài)就變?yōu)?

|T2〉=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)35

(25)

若Monitor對粒子1的測試結(jié)果是|1〉，那么式(24)的態(tài)就變?yōu)?/p>

|T3〉=(a|11〉-b|10〉-c|01〉+d|00〉)35

(26)

3)Receiver收到Sender和Monitor的測試結(jié)果后，Receiver就可以采用適當(dāng)?shù)挠献儞Q，重構(gòu)Sender的原始秘密態(tài)式(22)。

如果Sender的測試結(jié)果為|ε0〉，而Monitor對粒子1的測試結(jié)果為|0〉時，則Receiver對粒子3和5執(zhí)行的酉變換為I?I

(I?I)|T2〉=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)35

(27)

若Monitor對粒子1的測試結(jié)果為|1〉時，則Receiver對粒子3和5執(zhí)行的酉變換為iσy?iσy

(iσy?iσy)|T3〉=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)35

(28)

上述兩種情況經(jīng)過酉變換之后所得結(jié)果式(27)和式(28)均為Sender所要傳送的原始二粒子未知態(tài)。

表2是Sender和Monitor所有可能的測量結(jié)果(分別為|εj〉mn24、|Ψ〉1)、粒子3和5的塌縮態(tài)|Tx〉以及Receiver的重構(gòu)酉變換U之間的對應(yīng)關(guān)系。由表2可知，對于每一個測量結(jié)果，Receiver都可以找到相應(yīng)的幺正變換進(jìn)行重構(gòu)，使Receiver可以將粒子3和粒子5的量子態(tài)還原為Sender的兩粒子未知糾纏態(tài)。結(jié)果表明，無論Sender和Monitor的測量結(jié)果如何，Receiver總能重構(gòu)出式(22)所示的原始未知糾纏態(tài)。

表2 Sender和Monitor的測量結(jié)果、塌縮態(tài)以及重構(gòu)酉變換之間的對應(yīng)關(guān)系

此外，還需要考慮的是量子通信任務(wù)成功的概率。Sender獲得16個可能測量結(jié)果中任何一個的概率均為1/16；Monitor得到兩個測量結(jié)果中任何一個的概率均為1/2，表2中有32種情況，所以該方案的成功總概率為

即本方案的成功概率為100%。

3 結(jié)論

糾纏是一種重要的量子資源，不斷挖掘和開發(fā)各種量子資源對量子通信的發(fā)展有著重要的意義。本文用Hamdmard門和受控非門這兩種常見量子操作，制備了三粒子和五粒子糾纏態(tài)，并給出了相應(yīng)制備過程的量子線路圖。運(yùn)用三粒子糾纏態(tài)的量子信道，實現(xiàn)未知單粒子態(tài)的量子隱形傳態(tài)通信方案。在該方案中，發(fā)送方Sender對3粒子糾纏態(tài)中自己所擁有的粒子2和處于未知單粒子態(tài)的粒子l進(jìn)行Bell基測量，使得接收方Receiver在控制方Monitor的配合下，只需執(zhí)行簡單酉變換就能恢復(fù)原始量子態(tài)，其中控制方Monitor對自己所擁有的粒子1運(yùn)用計算基{|0〉,|1〉}對其進(jìn)行測量。同時也提出了一種運(yùn)用五粒子糾纏態(tài)的量子信道，以完成任意二粒子未知量子態(tài)的隱形傳態(tài)通信方案。在該方案中，發(fā)送方Sender使用16維希爾伯特空間中的一組特殊的完全正交狀態(tài)作為測量基，實現(xiàn)投影測量(四粒子Von Neumann測量)，使接收方Receiver在得到發(fā)送方的測量結(jié)果和控制方Monitor的配合下，只需再做一個簡單的幺正變換(酉變換)就可以恢復(fù)原始量子態(tài)。另外，測量基的選擇使得信息傳遞過程簡單明了，方案成功的概率為100%。二種方案涉及的變換有Hamdmard門、受控非門和Pauli算子、Bell基測量、以及簡單的投影測量，這些都能在現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)中實現(xiàn)。而且這兩種方案，不論最后塌縮態(tài)為何，都有相應(yīng)的酉變換去重構(gòu)原始量子態(tài)，因此普適性較強(qiáng)。