用非慣性系中的角動量定理分析颶風(fēng)球的運(yùn)動

陳影，張艷燕，馬曉棟

（新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054）

國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽（International Young Physicists′Tournament,簡稱IYPT）是全球最有影響力的年度物理學(xué)競賽之一，比賽組織者每年為IYPT選定17個題目，與考試不同，這些題目是開放性的，沒有標(biāo)準(zhǔn)答案。學(xué)生們研究IYPT 題目，就解決題目中物理問題的基本知識、理論分析、實(shí)驗(yàn)方案、結(jié)果討論等進(jìn)行辯論性比賽。在解決IYPT題目的過程中，將體會科學(xué)研究的思維方式和處理問題的方法，能夠?qū)W到很多新知識，學(xué)習(xí)如何應(yīng)用新知識，這些知識與通常課程中的有所不同。

IYPT 題目也可以用于地區(qū)性的和全國性的比賽，中國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽（China Undergraduate Phys?ics Tournament，簡稱CUPT）是借鑒IYPT 的模式創(chuàng)辦的面向全國所有高校本科生的層次最高、規(guī)模最大的辯論性物理學(xué)術(shù)賽事。

文章研究2019 年第32 屆IYPT 的第六題，其內(nèi)容為：通過起始時用手旋轉(zhuǎn)，并使用一根管子（如吸管）朝其吹氣，連在一起的兩個鋼球能以極高頻率旋轉(zhuǎn)，解釋并探究這一現(xiàn)象。上述颶風(fēng)球運(yùn)動，是一個復(fù)雜而有趣的現(xiàn)象，兩個剛性連接在一起的鋼球，開始在地面繞過其質(zhì)心的豎直軸旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)頻率增大到一定值時，其中一個鋼球翹起，脫離與地面的接觸，當(dāng)翹起的角度達(dá)到一定值時，翹起的角度不變，兩個連在一起的鋼球整體進(jìn)行穩(wěn)定的進(jìn)動，做類似陀螺的運(yùn)動。

由于題目復(fù)雜，目前文獻(xiàn)［1-2］分別用自由旋轉(zhuǎn)對稱體潘索理論和拉格朗日方程對颶風(fēng)球的進(jìn)動進(jìn)行了定量分析，但它們對颶風(fēng)球翹起原因的分析都是簡單和定性的。文章推導(dǎo)非慣性系中的角動量定理，應(yīng)用其定量分析颶風(fēng)球的運(yùn)動，既包括颶風(fēng)球翹起的原因也包括颶風(fēng)球的進(jìn)動。

1 非慣性系中質(zhì)點(diǎn)組角動量定理的推導(dǎo)

因?yàn)閯傮w可以看作是由質(zhì)點(diǎn)組成的，所以上述角動量定理可以用來研究剛體的運(yùn)動，以下用上述非慣性系中的角動量定理（3）和（4）來分析颶風(fēng)球的運(yùn)動。

2 颶風(fēng)球地面轉(zhuǎn)動狀態(tài)的分析

用管子向颶風(fēng)球吹氣，由于吹氣不均勻，對颶風(fēng)球左邊和右邊施加的力大小不相等，使颶風(fēng)球繞如圖1所示過颶風(fēng)球質(zhì)心的豎直軸公轉(zhuǎn)，設(shè)其角速度為同樣由于吹氣不均勻，對颶風(fēng)球上部和下部施加的力大小也不相等，使颶風(fēng)球繞如圖1 所示過兩球質(zhì)心的軸自轉(zhuǎn)，設(shè)其角速度為。其中，圖1-2 是颶風(fēng)球相對圖1-1公轉(zhuǎn)180度后的情況。

圖1 颶風(fēng)球在地面轉(zhuǎn)動的情況

在每次實(shí)驗(yàn)中，吹氣的管子相對颶風(fēng)球的位置具有一定的任意性，所以的方向是隨機(jī)的。不失一般性，圖1給出其中任意一種情況，在此情況中，球1順著公轉(zhuǎn)方向滾動，而球2逆著公轉(zhuǎn)方向滾動。

假設(shè)在圖1-1中，吹氣方向偏于球1，當(dāng)颶風(fēng)球公轉(zhuǎn)180 度后，在圖1-2中，吹氣方向則偏于球2，但這兩種情況下，吹氣都促進(jìn)颶風(fēng)球公轉(zhuǎn)；假設(shè)在圖1-1中，吹氣方向偏于颶風(fēng)球的上部，吹氣促進(jìn)颶風(fēng)球的自轉(zhuǎn)，但當(dāng)颶風(fēng)球轉(zhuǎn)過180度，在圖1-2中，吹氣阻礙颶風(fēng)球的自轉(zhuǎn)。所以在一般情況下，吹氣產(chǎn)生的公轉(zhuǎn)角速度比自轉(zhuǎn)角速度大，以下都在此一般情況下討論。

如圖1 所示，球1 和球2 與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動的半徑與球1 和球2 的半徑R相同。球1與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動的分速度分別為，這兩個分速度方向相反，球1 與地面的接觸點(diǎn)相對地面運(yùn)動的速度為，由于公轉(zhuǎn)角速度比自轉(zhuǎn)角速度大，球1 與地面的接觸點(diǎn)向前滑動，摩擦力f1方向與其運(yùn)動方向相反；球2與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動的分速度也分別為，但這兩個分速度方向相同，球2 與地面的接觸點(diǎn)相對地面運(yùn)動的速度為，球2與地面的接觸點(diǎn)也向前滑動，摩擦力f2方向也與其運(yùn)動方向相反。

球1 和球2 與地面的接觸點(diǎn)相對于地面的加速度都有三個分量，其中兩個分別是垂直指向公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸的法向角速度分量和，另一個是摩擦力產(chǎn)生的加速度分量，方向?yàn)檠厍? 和球2 與地面的接觸點(diǎn)所做圓周運(yùn)動的切向方向。

從圖1中不難看出，f1產(chǎn)生的力矩阻礙公轉(zhuǎn)但促進(jìn)自轉(zhuǎn)，f2產(chǎn)生的力矩既阻礙公轉(zhuǎn)又阻礙自轉(zhuǎn)。

3 颶風(fēng)球翹起原因的分析

以球1 與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，尚未翹起的颶風(fēng)球受到重力2mg和分別與兩個法向加速度方向相反的慣性力，其中m是球1 和球2 的質(zhì)量，如圖2-1 所示。以下要討論以球1 與地面接觸點(diǎn)為支撐點(diǎn)球2 翹起的問題，所以在以上受力分析中沒有考慮球2 受到地面的支持力，球1 受到地面的支持力和摩擦力也都沒有考慮，因?yàn)樗鼈冞^球1 與地面的接觸點(diǎn)，不產(chǎn)生讓颶風(fēng)球翹起的力矩，與沿球1 與地面的接觸點(diǎn)所做圓周運(yùn)動切向方向的加速度相應(yīng)的慣性力也沒有考慮，因?yàn)樗姆较蚺c翹起的轉(zhuǎn)軸平行，也不產(chǎn)生讓颶風(fēng)球翹起的力矩。

圖2 以球1與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，颶風(fēng)球的受力分析

當(dāng)球2翹起時，設(shè)過兩球質(zhì)心的自轉(zhuǎn)軸與豎直方向的夾角為θ，稱之為颶風(fēng)球的站立角，球1與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動的半徑均為Rsinθ，如圖2-2 所示，球1 與地面的接觸點(diǎn)的法向加速度為以球1 與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，颶風(fēng)球受到的慣性力，它們產(chǎn)生的力矩大小分別為此時重力產(chǎn)生的力矩大小為2mgRsinθ，繼續(xù)向上翹的條件是

不難看出，如果以球2與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，進(jìn)行受力分析，討論以球2與地面接觸點(diǎn)為支撐點(diǎn)球1翹起的問題，結(jié)果與上面是一樣的。但實(shí)際上，球2相對于球1更容易翹起，原因分析如下。

如圖2-2 所示，當(dāng)球2 翹起時，球1 與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動的分速度分別為，這兩個分速度方向相反，球1與地面的接觸點(diǎn)相對地面運(yùn)動的速度為，由于公轉(zhuǎn)角速度比自轉(zhuǎn)角速度大，球1與地面的接觸點(diǎn)向前滑動，摩擦力f1方向與其運(yùn)動方向相反，在摩擦力f1產(chǎn)生的力矩作用下，公轉(zhuǎn)角速度減小，自轉(zhuǎn)角速度?增大，球1 與地面的接觸點(diǎn)相對地面的速度減小，當(dāng)自轉(zhuǎn)角速度和公轉(zhuǎn)角速度相等時，球1與地面的接觸點(diǎn)相對地面的速度為零，球1做無滑滾動，球1所受摩擦力f1=0，公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)加速度不變而達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)球1翹起時，與以上的分析同理，球2與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動的分速度分別為和，但這兩個分速度方向相同，球2 與地面的接觸點(diǎn)相對地面運(yùn)動的速度不易減小到零，球2 與地面的接觸點(diǎn)始終在地面上滑動而不能做無滑滾動，在摩擦力f2產(chǎn)生的力矩作用下，公轉(zhuǎn)角速度和自轉(zhuǎn)角速度持續(xù)減小，狀態(tài)不穩(wěn)定。

圖3-1給出颶風(fēng)球翹起過程的中間狀態(tài)，以颶風(fēng)球與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，颶風(fēng)球受到的慣性力之和2ma0，其中a0是法向加速度和之和，在翹起過程中從圖3-1 中可以看出，慣性力之和2ma0對颶風(fēng)球的翹起起到促進(jìn)作用。

圖3 以颶風(fēng)球與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，颶風(fēng)球所受慣性力之和

圖3-2 給出颶風(fēng)球翹起達(dá)到的無滑滾動穩(wěn)定狀態(tài)，以瞬心為參考點(diǎn)，颶風(fēng)球受到的慣性力之和，瞬心合加速度的方向指向颶風(fēng)球的質(zhì)心，颶風(fēng)球所受合慣性力的方向則指向瞬心，此時只有重力產(chǎn)生力矩，其作用看似阻礙颶風(fēng)球的翹起，但實(shí)際上重力產(chǎn)生的力矩讓翹起的颶風(fēng)球發(fā)生進(jìn)動而保持穩(wěn)定狀態(tài)。這個問題在下一節(jié)討論。

4 颶風(fēng)球進(jìn)動穩(wěn)定狀態(tài)的分析

圖4 颶風(fēng)球三個慣量主軸方向上的單位矢量

則整個颶風(fēng)球的角動量為

如前所述，當(dāng)颶風(fēng)球做無滑滾動時，以瞬心為參考點(diǎn)，只有重力能產(chǎn)生力矩，力矩為

圖5 颶風(fēng)球角動量的矢尖做勻速圓周運(yùn)動

得出的翹起角和角速度之間關(guān)系與文獻(xiàn)［1-2］得出的理論結(jié)果一致，而文獻(xiàn)［2］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果符合較好。

5 結(jié)語

在一般教材［3-4］中，有質(zhì)點(diǎn)的角動量定理、質(zhì)點(diǎn)組的角動量定理，它們的參照系都是慣性系，其中質(zhì)點(diǎn)組的角動量定理可推廣應(yīng)用于剛體，參照系是非慣性系的角動量定理也有，但僅限于質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的角動量定理和無滑滾動的剛體分析力學(xué)對瞬心的角動量定理兩種特殊情況，而沒有一般情況下非慣性系中的角動量定理，文章對此進(jìn)行推導(dǎo)并用于分析颶風(fēng)球的運(yùn)動，而颶風(fēng)球也是屬于一般教材中少見的復(fù)雜問題。

文獻(xiàn)［2］用分析力學(xué)推導(dǎo)颶風(fēng)球的站立角度，把力學(xué)體系的運(yùn)動方程以能量為基本概念的形式表達(dá)，使數(shù)學(xué)分析與幾何和力學(xué)脫離開來，非常簡潔精煉。文章用角動量定理分析颶風(fēng)球的翹起過程，推導(dǎo)直觀形象，并且輔以幾何作圖相對清楚透徹地分析其中的物理過程及其細(xì)節(jié)，兩種方法優(yōu)勢互補(bǔ)。

教學(xué)內(nèi)容的更新［5-8］是教學(xué)改革的重要方面，颶風(fēng)球既可以作為學(xué)習(xí)拉格朗日方程和潘索自由旋轉(zhuǎn)對稱體理論一個具有指導(dǎo)性的練習(xí)，也可以作為引入非慣性系中角動量定理的實(shí)例。高校開展大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽活動，是大學(xué)生實(shí)踐教學(xué)的一個重要舉措，結(jié)合大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽進(jìn)行各類教學(xué)活動，有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識去分析和解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生的知識、能力和素質(zhì)得到全面的提升和發(fā)展。