一石激起千層浪，層層變化皆一樣
——五道高考題背后的統(tǒng)一性質(zhì)

江蘇省常州市第二中學 (213000) 許 兵

數(shù)學教育家奧加涅相指出：“必須重視許多習題潛藏著進一步擴展其教學功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性”.毋庸置疑,歷年高考真題是學生備考和教師研究無可替代的寶貴資料！本文對近年高考中的解析幾何題進行了深入研究，在教材上找到“根源”，并發(fā)現(xiàn)這些經(jīng)典問題存在著一個統(tǒng)一的優(yōu)美性質(zhì).

一、真題再現(xiàn)

二、背景溯源

高考命題遵循“立足基礎(chǔ),考查能力”這一重要原則.教材是教師教學的基礎(chǔ)和根本，也是學生學習的第一手資料，更是命題者的立足點.命題者自然尋找高考試題在教材中的生長點和命題背景，命題的想法源于教材,又不拘泥于教材.

普通高中課程標準實驗教科書人教A版數(shù)學選修4-4坐標系與參數(shù)方程第38頁例4如下：如圖1所示，AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD與橢圓長軸的交角為∠1,∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

圖1

本題是一道進行類比推廣和深入探究的好素材.如果把橢圓改為雙曲線或拋物線，是否會有類似的結(jié)論？結(jié)論的成立是否與點P的位置無關(guān)？是否存在與條件或結(jié)論等價的命題？筆者借助GeoGebra數(shù)學軟件對上述問題進行探究，得出如下性質(zhì)，以上五道高考題堪稱是這一性質(zhì)的運用.

性質(zhì)在平面直角坐標系xOy中，點P不在圓錐曲線Γ上，過點P分別作兩條直線l1和l2，與圓錐曲線Γ分別交于A,B和C,D，則以下五個命題互相等價：①A,B,C,D四點共圓；②|PA|·|PB|=|PC|·|PD|；③kAB+kCD=0；④kBC+kAD=0；⑤kCA+kBD=0.

(1)由圓冪定理易得①、②是等價命題.

圖2

(3)下證③、④等價.如圖3，連CB、AD交于點P′，kAB+kCD=0 ?A,B,C,D四點共圓?|P′B|·|P′C|=|P′D|·|P′A|?kBC+kAD=0.

圖3

(4)同理，④、⑤等價.

回首本文中的五道高考試題，無一不是本性質(zhì)的具體呈現(xiàn)，而性質(zhì)的原形也來源于教材，因此，我們在平時的研究中，要充分挖掘教材中的經(jīng)典例題和習題，探究教材內(nèi)容與高考的結(jié)合點，將“回歸課本”落到實處．