大型的五水平空間填充設(shè)計的構(gòu)造

薛慧麗,黃興友,柏啟明,李洪毅

(吉首大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖南 吉首 416000)

均勻設(shè)計因其良好的性質(zhì)被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、生物制藥等多個領(lǐng)域.均勻設(shè)計是使試驗點均勻分布在試驗區(qū)域中的一種空間填充設(shè)計[1].偏差在構(gòu)造均勻設(shè)計和衡量設(shè)計的均勻性方面起著至關(guān)重要的作用.在已有的研究中,學(xué)者們從不同的角度出發(fā),定義了不同的偏差,如中心化L2-偏差,可卷型L2-偏差,離散偏差,混合偏差等.與其他均勻性測度相比,離散偏差不僅大大降低了計算成本,也更適合因子水平有限的試驗[2].

由于均勻設(shè)計的廣泛應(yīng)用,均勻設(shè)計的構(gòu)造也成了一個值得研究的問題,尤其是大規(guī)模、多水平設(shè)計的構(gòu)造.已有的研究中主要采用因子的水平置換和折疊反轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造較少水平的大型設(shè)計.文獻(xiàn)[3]用兩種水平置換方式和特殊的全折疊反轉(zhuǎn)作為doubling方法,通過一個分辨度為Ⅳ的二水平正規(guī)部分的析因設(shè)計來構(gòu)造分辨度仍為Ⅳ的Double設(shè)計,同時也建立了初始設(shè)計與Double設(shè)計之間的一些聯(lián)系.文獻(xiàn)[4]討論了doubling方法中的互補(bǔ)設(shè)計理論,建立了doubling方法中互補(bǔ)投影設(shè)計的字長型模式之間的相關(guān)聯(lián)系.文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步提出了Double設(shè)計的中心化L2-偏差與其廣義字長型之間的關(guān)系.關(guān)于Double設(shè)計的更多研究,可參看文獻(xiàn)[6-7].二水平設(shè)計的水平置換和折疊反轉(zhuǎn)形式都是最簡單的.文獻(xiàn)[8]將二水平設(shè)計推廣到三水平情形,提出了tripling方法,用于構(gòu)造大型三水平空間填充設(shè)計.文獻(xiàn)[9]在各類設(shè)計的篩選準(zhǔn)則下建立了Triple設(shè)計與其初始設(shè)計的解析聯(lián)系.文獻(xiàn)[10]將tripling方法推廣到quadrupling方法用于構(gòu)造大型四水平空間填充設(shè)計.隨著因子水平數(shù)的增多,設(shè)計的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜,多水平設(shè)計構(gòu)造是一個難題.本文主要將文獻(xiàn)[10]中四水平情形推廣到五水平,利用水平置換和折疊反轉(zhuǎn)構(gòu)造五倍設(shè)計,并研究其性質(zhì).

1 預(yù)備知識

考慮一類具有n次試驗,s個q水平因子的對稱設(shè)計,其中每個設(shè)計d對應(yīng)于一個n×s矩陣,可記為d=(xij)n×s,xij∈{0,1,…,q-1},矩陣的每一行代表一次試驗,矩陣的每一列代表一個因子,若每一列中所有水平數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同,則將此類對稱設(shè)計稱為U-型設(shè)計,記作U(n;qs).

對于設(shè)計d∈U(n;qs),其離散偏差的平方值可以通過以下表達(dá)式得到:

(1)

其中,a和b是常數(shù),且a>b>0,δij(d)代表設(shè)計d的第i行和第j行之間的相遇數(shù),即設(shè)計d的第i行和第j行之間對應(yīng)位置上相同元素的個數(shù).

文獻(xiàn)[11]給出了設(shè)計d∈U(n;qs)的離散偏差值平方的一個下界,

[DD(d;a,b)]2≥LDD(d;a,b),

(2)

在均勻設(shè)計中可以采用離散偏差來衡量設(shè)計的均勻性,偏差越小則設(shè)計的均勻性越好.如果一個設(shè)計具有最小的離散偏差,則稱該設(shè)計是在離散偏差下的一個均勻設(shè)計.

對于設(shè)計d∈U(n;qs),當(dāng)n-1=(q-1)s時,設(shè)計d被稱為是飽和設(shè)計,當(dāng)n-1<(q-1)s時,設(shè)計d被稱為是超飽和設(shè)計.文獻(xiàn)[12]提出了E(fNOD)準(zhǔn)則來衡量超飽和設(shè)計的非正交性,設(shè)計E(fNOD)值的表達(dá)式及其下界如下:

(3)

E(fNOD)≥LE(fNOD),

(4)

E(fNOD)準(zhǔn)則衡量了設(shè)計的非正交性,E(fNOD)值越小,設(shè)計的非正交性也就越小.當(dāng)E(fNOD)值為0時,說明該設(shè)計是正交的.

2 主要結(jié)論

本文主要研究五水平設(shè)計,即q=5.本節(jié)將給出五倍設(shè)計的結(jié)構(gòu),并分別在離散偏差與E(fNOD)準(zhǔn)則下,建立五倍設(shè)計與初始設(shè)計之間的關(guān)系.

對于五水平設(shè)計d∈U(n;5s),表1給出了5種水平置換方式及對應(yīng)的置換設(shè)計.

表1 設(shè)計d∈U(n;5s)的5種水平置換

基于設(shè)計d及其置換設(shè)計d(1)-d(4),下面給出五倍設(shè)計的定義.

定義1對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),則設(shè)計d的五倍設(shè)計W(d)定義為

設(shè)計d稱為W(d)的初始設(shè)計,其中d(i),i=1,2,…,4,見表1.

例1考慮最簡單的五水平初始設(shè)計d=(0,1,2,3,4)′∈U(5;51),其中X′表示矩陣X的轉(zhuǎn)置.通過定義1,可得到其五倍設(shè)計W(d)∈U(25;55),

不難發(fā)現(xiàn),由五水平設(shè)計d得到的五倍設(shè)計W(d),其試驗次數(shù)和因子個數(shù)都為初始設(shè)計的5倍,且所得的五倍設(shè)計是一個強(qiáng)度為2的正交設(shè)計.

對于任意兩個五水平設(shè)計A∈U(n;5s),B∈U(n;5s),記λA(i),B(j)(a,b)為設(shè)計A的第i行與設(shè)計B的第j行的元素為數(shù)對(a,b)的對數(shù),其中a,b=0,1,2,3,4.記δij(A,B)為設(shè)計A的第i行與設(shè)計B的第j行之間的相遇數(shù),δij(A,A)=δij(A).易得δij(A,B)=λA(i),B(j)(0,0)+λA(i),B(j)(1,1)+λA(i),B(j)(2,2)+λA(i),B(j)(3,3)+λA(i),B(j)(4,4).

下面的引理建立了初始設(shè)計d和五倍設(shè)計W(d)之間的相遇數(shù)的關(guān)系,該引理是本文研究后續(xù)問題的重要基礎(chǔ).

引理1設(shè)d∈U(n;5s),W(d)是設(shè)計d的五倍設(shè)計,則設(shè)計d與其五倍設(shè)計W(d)之間的相遇數(shù)δij(d),δ(i+kn)(j+ln)(W(d))有如下關(guān)系:

證明根據(jù)相遇數(shù)的定義,對于任意設(shè)計d∈U(n;5s)有

δij(d)=δij(d,d)=λd(i),d(j)(0,0)+λd(i),d(j)(1,1)+λd(i),d(j)(2,2)+λd(i),d(j)(3,3)+λd(i),d(j)(4,4),

由于設(shè)計d與表1中的d(i),i=1,2,3,4是組合同構(gòu)設(shè)計,其相遇數(shù)有相同的分布,即δij(d)=δij(d(1))=δij(d(2))=δij(d(3))=δij(d(4)).

因此,當(dāng)k=l=0時,

δij(W(d))=δij(d)+δij(d)+δij(d)+δij(d)+δij(d)=5δij(d).

對于k=l=1,2,3,4的情形,其證明與其類似.

下面證明k≠l,k,l=0,1,2,3,4的情形,當(dāng)k=0,l=1時,

δ(i)(j+n)(W(d))=δij(d)+δij(d,d(1))+δij(d,d(2))+δij(d,d(3))+δij(d,d(4)),

其中,

δij(d,d(1))=λd(i),d(1)(j)(0,0)+λd(i),d(1)(j)(1,1)+λd(i),d(1)(j)(2,2)+λd(i),d(1)(j)(3,3)+λd(i),d(1)(j)(4,4)=

λd(i),d(j)(0,3)+λd(i),d(j)(1,0)+λd(i),d(j)(2,1)+λd(i),d(j)(3,4)+λd(i),d(j)(4,2),

δij(d,d(2))=λd(i),d(2)(j)(0,0)+λd(i),d(2)(j)(1,1)+λd(i),d(2)(j)(2,2)+λd(i),d(2)(j)(3,3)+λd(i),d(2)(j)(4,4)=

λd(i),d(j)(0,4)+λd(i),d(j)(1,3)+λd(i),d(j)(2,0)+λd(i),d(j)(3,2)+λd(i),d(j)(4,1),

δij(d,d(3))=λd(i),d(3)(j)(0,0)+λd(i),d(3)(j)(1,1)+λd(i),d(3)(j)(2,2)+λd(i),d(3)(j)(3,3)+λd(i),d(3)(j)(4,4)=

λd(i),d(j)(0,1)+λd(i),d(j)(1,2)+λd(i),d(j)(2,4)+λd(i),d(j)(3,0)+λd(i),d(j)(4,3),

δij(d,d(4))=λd(i),d(4)(j)(0,0)+λd(i),d(4)(j)(1,1)+λd(i),d(4)(j)(2,2)+λd(i),d(4)(j)(3,3)+λd(i),d(4)(j)(4,4)=

λd(i),d(j)(0,2)+λd(i),d(j)(1,4)+λd(i),d(j)(2,3)+λd(i),d(j)(3,1)+λd(i),d(j)(4,0).

因此,當(dāng)k=0,l=1時,

δi(j+n)(W(d))=δij(d)+δij(d,d(1))+δij(d,d(2))+δij(d,d(3))+δij(d,d(4))=δij(d)+

λd(i),d(j)(0,3)+λd(i),d(j)(1,0)+λd(i),d(j)(2,1)+λd(i),d(j)(3,4)+λd(i),d(j)(4,2)+

λd(i),d(j)(0,4)+λd(i),d(j)(1,3)+λd(i),d(j)(2,0)+λd(i),d(j)(3,2)+

λd(i),d(j)(4,1)+λd(i),d(j)(0,1)+λd(i),d(j)(1,2)+λd(i),d(j)(2,4)+

λd(i),d(j)(3,0)+λd(i),d(j)(4,3)+λd(i),d(j)(0,2)+λd(i),d(j)(1,4)+

λd(i),d(j)(2,3)+λd(i),d(j)(3,1)+λd(i),d(j)(4,0)=s.

當(dāng)k≠l的其余情況,與上述證明類似.

下面的定理建立了五倍設(shè)計W(d)的離散偏差與初始設(shè)計d的任意不同兩行間的相遇數(shù)之間的解析聯(lián)系.

定理1對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),W(d)是設(shè)計d的五倍設(shè)計,則

(5)

證明由(1)式與引理1,對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),其五倍設(shè)計W(d)的離散偏差平方值為

證畢.

根據(jù)定理1,可以獲得五倍設(shè)計W(d)的離散偏差值平方的一個下界.

推論1對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),W(d)是設(shè)計d的五倍設(shè)計,則

[DD(W(d);a,b)]2≥LDD(W(d);a,b),

(6)

推論1的證明類似于(2)式,見文獻(xiàn)[11].

由推論1可知,當(dāng)且僅當(dāng)初始設(shè)計d的離散偏差平方值達(dá)到下界值時五倍設(shè)計W(d)的離散偏差平方值也會達(dá)到其下界值.因此,有下面定理成立.

定理2五倍設(shè)計W(d)是離散偏差下的均勻(或近似均勻)設(shè)計當(dāng)且僅當(dāng)初始設(shè)計d是離散偏差下的均勻(或近似均勻)設(shè)計.

當(dāng)初始設(shè)計d是一個五水平超飽和設(shè)計時,下面的定理在E(fNOD)準(zhǔn)則下建立了五倍設(shè)計W(d)與初始設(shè)計d之間的解析聯(lián)系,并給出其相應(yīng)的下界.設(shè)計d和五倍設(shè)計W(d)之間的E(fNOD)值分別用E(fNOD)和E*(fNOD)表示.

定理3對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),W(d)是設(shè)計d的五倍設(shè)計,則E(fNOD)和E*(fNOD)有如下關(guān)系:

(7)

證明對于W(d)∈U(5n;55s),根據(jù)(3)式,可得

由引理1可知,

因此,

證畢.

根據(jù)定理3,可以獲得五倍設(shè)計W(d)的E*(fNOD)值的一個下界.

推論2對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),W(d)是設(shè)計d的五倍設(shè)計,則E*(fNOD)值的下界為

E*(fNOD)≥LE*(fNOD),

(8)

從定理3可以看出五倍設(shè)計W(d)的E*(fNOD)值可以用初始設(shè)計d的E(fNOD)值線性表示,且E(fNOD)的系數(shù)為非負(fù)數(shù),同時,E*(fNOD)和E(fNOD)達(dá)到各自下界的條件相同,因此,有下面定理成立.

定理4在E(fNOD)準(zhǔn)則下,五倍設(shè)計W(d)為最優(yōu)超飽和設(shè)計當(dāng)且僅當(dāng)初始設(shè)計d為最優(yōu)超飽和設(shè)計.

3 數(shù)值例子

在本節(jié)中,將通過具體的數(shù)值例子進(jìn)一步說明本文所獲的理論結(jié)果.為了便于計算,在本小節(jié)中所采用的離散偏差中取a=1,b=0.5.

例2考慮下面設(shè)計d∈U(25;55),該設(shè)計來自文獻(xiàn)[13],以其為初始設(shè)計,通過定義1,得到設(shè)計d的五倍設(shè)計W(d)∈U(125;525).

由(1)式和(2)式,[DD(d;1,0.5)]2=LDD(d;1,0.5)=0.066,這表明設(shè)計d是一個均勻設(shè)計.由(5)式和(6)式,DD(W(d);1,0.5)=LDD(W(d);1,0.5)=0.02,這表明五倍設(shè)計W(d)也是一個均勻設(shè)計,進(jìn)一步說明了定理2.

例3考慮超飽和設(shè)計d∈U(25;536),以其為初始設(shè)計,通過定義1,得到設(shè)計d的五倍設(shè)計W(d)∈U(125;5180).由于設(shè)計d規(guī)模較大,具體可參見文獻(xiàn)[13].由(3)式和(4)式可得,E(fNOD)=LE(fNOD)=14.285 7.由(7)式和(8)式可得,E*(fNOD)=LE*(fNOD)=69.832 4,進(jìn)一步說明了定理4.

4 總 結(jié)

本文提出了一種構(gòu)造大規(guī)模五水平空間填充設(shè)計的新方法,獲得了初始設(shè)計與五倍設(shè)計的相遇數(shù)之間的關(guān)系,并分別在離散偏差和E(fNOD)準(zhǔn)則下,建立了五倍設(shè)計和初始設(shè)計之間的聯(lián)系.結(jié)果表明,在這兩種準(zhǔn)則下五倍設(shè)計是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)初始設(shè)計是最優(yōu)的,最后通過具體例子進(jìn)一步說明本文的理論結(jié)果.