一個(gè)(2+1)-維推廣KdV6方程的李對(duì)稱分析

蘇 丹

(1.湛江幼兒師范?？茖W(xué)校，廣東 湛江 524084；2.嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

0 引言

作為KdV6方程的一種高維推廣，WAZWAZ[1]首次提出了如下形式的(2+1)-維推廣KdV6方程:

(1)

基于廣田雙線性方法給出了該方程的多孤立子解和多奇性解.GORDOA[2]對(duì)該方程進(jìn)行了可積性測試，指出該方程不能通過潘勒韋檢驗(yàn).本文將嘗試?yán)没跓o窮小變換的李對(duì)稱方法對(duì)方程(1)的求解問題進(jìn)行研究.李對(duì)稱方法由挪威數(shù)學(xué)家SOPHUS LIE于1870年左右提出[3-4].該方法不需要特別的變換技巧，通過尋找保持方程形式不變的對(duì)稱群簡化原來的方程并獲得精確解，不僅適用于線性微分方程，也適用于非線性微分方程，是微分方程研究領(lǐng)域強(qiáng)有力的解析工具之一.

本文將利用李對(duì)稱方法研究方程(1)的對(duì)稱約化及精確解.

1 方程(1)的李對(duì)稱分析

考慮方程(1)的單參數(shù)李對(duì)稱群的無窮小變換：

(2)

其中，ε是單參數(shù)，其對(duì)應(yīng)的李代數(shù)生成元是

X=ξ(x,y,t,u)?x+η(x,y,t,u)?y+τ(x,y,t,u)?t+ω(x,y,t,u)?u.

(3)

基于文獻(xiàn)[5-8]中的算法，將X的7次延拓作用到方程(1)后為0可以得到對(duì)稱性決定方程組，利用符號(hào)計(jì)算軟件求解決定方程組得到

(4)

其中，ci(i=1,…,6)是任意常數(shù).

X1=?x,X2=?y,X3=?t,X4=?u,X5=y?u,X6=y2?u,X7=3x?x+7y?y+9t?t-3u?u.

(5)

表1中給出了這些生成元(5)的交換子.

表1 李代數(shù)的交換表

(6)

從交換表(表1)可以看出，只有兩個(gè)換位運(yùn)算不為零，即

[X2,X5]=X4,[X2,X6]=2X5.

(7)

所以，

(8)

繼續(xù)運(yùn)算，從交換表(表1)中可以看出換位運(yùn)算均為零，所以有

(9)

(10)

(11)

通過伴隨作用可以盡可能地簡化系數(shù)ki.

經(jīng)過分析，得到一維子代數(shù)最優(yōu)系統(tǒng)生成元為

(12)

其中，k1,k2,k3,k4是任意常數(shù)，ε為±1或0.

表2 李代數(shù)的基元素的伴隨關(guān)系

2 方程(1)的李對(duì)稱約化

應(yīng)用優(yōu)化系統(tǒng)(12)尋找方程(1)的對(duì)稱約化.這里只以V2=X2+k1X1+εX3為例給出計(jì)算過程.限于篇幅，取k1=-1,ε=0，即考慮算子V=?y-?x對(duì)應(yīng)的約化.此時(shí)，對(duì)應(yīng)的典則坐標(biāo)為

r=x+y,z=t,u=v(r,z).

(13)

將(13)代入方程(1)得到約化方程：

(14)

可以驗(yàn)證方程(14)擁有的李代數(shù)生成元為

Y1=?r,Y2=?z,Y3=?v,Y4=r?r+3z?z+(v+z)?v.

(15)

類似上一節(jié)的方法可以得到該李代數(shù)的一維子代數(shù)最優(yōu)系統(tǒng)為

U1=m1Y1+m2Y2+m3Y3,U2=Y4,

(16)

其中，m1,m2,m3是任意常數(shù).

不妨取m1=1,m2=-m,m3=1，即考慮算子U=?r-m?z+?v對(duì)應(yīng)的約化，對(duì)應(yīng)的典則坐標(biāo)為

s=mr+z,v=r+w(s).

(17)

將(17)代入方程(1)積分一次并取積分常數(shù)為0，得到

m5w(6)+(1+20m)m2w(4)+20m4w(1)w(4)+120m3(w(1))2w(2)+

12m(1+20m)w(1)w(2)+(121m+8)w(2)+40m4w(2)w(3)=c,

(18)

其中，w(i)(i=1,…,6)分別表示w(s)對(duì)變量s的各階導(dǎo)數(shù).

可以驗(yàn)證該方程(18)通過潘勒韋測試[9-10].

通過截?cái)嗯死枕f展開式得到方程(18)如下形式的自貝克隆變換：

(19)

其中，W(s)也滿足方程(18).

如果取種子解W(s)=0，并假設(shè)：

f(s)=1+eas.

(20)

代入方程(18)可以得到

m5a4+(m2+20m3)a2+121m+8=0.

(21)

由此，得到原方程(1)的一個(gè)孤立子解：

(22)

其中，m,a是滿足(21)式的任意非零常數(shù).這個(gè)解與文獻(xiàn)[1]中的已知結(jié)果都不同.

3 結(jié)語

本文應(yīng)用李對(duì)稱方法研究了一個(gè)(2+1)-維推廣的KdV6方程.首先，找到了保持該方程形式不變的對(duì)稱無窮小生成元，并借助李代數(shù)生成元之間的伴隨表示將對(duì)應(yīng)的一維子代數(shù)進(jìn)行等價(jià)分類.其次，將原(2+1)-維方程約化為(1+1)維，并進(jìn)一步討論了它的對(duì)稱約化.最終，將原方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程，從而通過求解該常微分方程得到原方程的精確解.限于篇幅，本文只選取特殊的對(duì)稱約化為例給出計(jì)算過程.由于過程的類似性，其余的約化過程可以直接給出結(jié)果，將在以后工作中進(jìn)一步研究.