一類新的廣義Fibonacci數(shù)列的通項和性質(zhì)

曾文建

(福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，福建 福州 350007)

Fibonacci數(shù)列是一個古老而頗有特色的遞推關(guān)系數(shù)列，它有很多奇妙而有趣的性質(zhì)[1-2]，深受廣大數(shù)學(xué)愛好者和科研工作者喜歡。Fibonacci數(shù)列和廣義的Fibonacci數(shù)列已深入到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，并在物理學(xué)、控制論、運籌學(xué)、金融學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域中起著非常重要的作用。廣義Fibonacci數(shù)列有著許多的形式，如文獻(xiàn)[3]給出了幾種形式，有的學(xué)者給出它的一些很好的性質(zhì)[4-6]，有的學(xué)者給出其求和公式[7-9]，有的學(xué)者給出關(guān)于它的一些恒等式[10-11]。本文將進(jìn)一步研究一類新的廣義Fibonacci數(shù)列，利用矩陣和遞推關(guān)系，推出其通項公式，得到了一些新的性質(zhì)和求和公式。

1 預(yù)備知識

現(xiàn)對廣義Fibonacci數(shù)列1進(jìn)行推廣。

證明用矩陣表示，

所以有

記，特征方程f(λ)=

特征值為α-1，β-1,由哈密頓-凱萊定理，有

解得

所以

計算矩陣第2行第2列：

2 性質(zhì)證明

證明當(dāng)n=1時,

假設(shè)當(dāng)n=k時, 等式成立,那么

即當(dāng)n=k+1時，等式也成立，性質(zhì)1得證。

證明對性質(zhì)1兩邊取行列式, 化簡,由性質(zhì)2得證。

證明左邊

性質(zhì)3得證。

性質(zhì)5F-m-n=bF-mF-n-1+F-m+1F-n

證明右邊

性質(zhì)5得證。

3 求和公式

公式1F-1+F-2+…+F-n=

證明設(shè)X=F-1+F-2+…+F-n，

則aX=aF-1+aF-2+…+aF-n，bX=bF-1+bF-2+…+bF-n，

進(jìn)而有aX+bX=bF-1+F0+F-1+F-2+…+F-n+1-bF-n-1，

(a+b-1)X=1-F-n-bF-n-1。

證明令Y=F-1-F-2+…+(-1)n+1F-n，

則aY=aF-1-aF-2+…+(-1)n+1aF-n，

bY=bF-1-bF-2+…+(-1)n+1bF-n，

aY-bY=-bF-1+F0-F-1+…+(-1)n-1F-n+1+(-1)n+2bF-n-1，

(a-b+1)Y=-1+(-1)nF-n+(-1)n+2bF-n-1，

證明令u=F-1+F-3+…+F-2n-1，v=F-2+F-4+…+F-2n，那么

(1-b)u=-bF-1-(bF-3-F-1)-…-(bF-2n-1-F-2n+1)+F-2n-1

=-1+aF-2+…+aF-2n+F-2n-1=-1+av+F-2n-1，

(1-b)v=F-2+F-4+…+F-2n-bF-2-bF-4-…-bF-2n

=-bF-2-(bF-4-F-2)-…-(bF-2n-F-2n+2)+F-2n

=-bF-2+aF-3+…+aF-2n+1+F-2n

于是得到方程組

當(dāng)(1-b)2-a2≠0時，利用行列式性質(zhì)可得

公式得證。

由性質(zhì)2，并利用等比數(shù)列求和公式，代入上式化簡得

隨著指數(shù)越來越大，對廣義Fibonacci數(shù)列2的求和計算就變得越來越復(fù)雜。本文對廣義Fibonacci數(shù)列2的研究，豐富了廣義Fibonacci數(shù)列1的內(nèi)容和內(nèi)涵，拓展了人們對廣義Fibonacci數(shù)列1的視野，提出了更多的研究課題，很好地推動了廣義Fibonacci數(shù)列的研究和發(fā)展。