一個凸函數(shù)不等式的控制證明

劉 兵, 王東生, 石煥南

(1.北京市商業(yè)學校, 北京 102209 ; 2.北京電子科技職業(yè)學院, 北京 100176;3.北京聯(lián)合大學師范學院, 北京 100011)

0 引言

定義 1[1～4]設 Ω? ?n,φ:Ω→?,

(a) 若對于任何x,y∈?n,α∈ [0,1], 總有αx+ (1 -α)y∈Ω, 則稱Ω為凸集.

(b) 設Ω為凸集, 若對于任何x,y∈Ω,α∈ [0,1], 總有

則稱φ為Ω上的凸函數(shù).若對于任何x,y∈Ω,x≠y,α∈ (0,1), 式(1)為嚴格不等式, 則稱φ為Ω上的嚴格凸函數(shù).若φ- 是Ω上的凸函數(shù), 則稱φ為Ω上的凹函數(shù).

對于凸(凹)函數(shù), 文[5]用分析方法證明了如下定理.

下文先給出受控理論的相關定義和引理, 然后給出不等式(2)的控制證明.

1 定義和引理

引理3的結果稱為Karamata不等式, 它是受控理論中一個非常重要的結論.

2 定理的控制證明

由引理2, 不難證明

據(jù)引理3, 由式(4)和(5)即可分別得到式(2)中左邊和右邊的不等式, 且若f(x)是嚴格凸(凹)函數(shù), 則式(2)中的不等式是嚴格的.

3 應用舉例

文[5]給出了定理在求和式數(shù)列極限中的兩例應用.下面利用定理建立幾個代數(shù)不等式.

例1令f(x) = lnx(x＞ 0), 則f(x)是凹函數(shù).根據(jù)定理, 有算術—幾何平均值不等式的加細:

特別當a= 1,b=n時, 得到關于n!的不等式

當a= 1,b= 2時, 有不等式

例4對于任意正整數(shù)n, 文[7]給出了如下不等式:

這樣就得到式(12)的反向不等式

例5文[6]介紹了如下三角函數(shù)不等式: