2020年全國(guó)高考Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題的解法與變式拓展

李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

2020年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題以直線和橢圓為背景，考查圓錐曲線的基本知識(shí)和直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)推理等核心素養(yǎng)，是一道難得的好題，值得我們細(xì)細(xì)研究，下面我們給出本題的幾種典型的解法，并從不同角度給出了一些拓展.

1 題目呈現(xiàn)

圖1

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

2 題目解析

2.1 第(1)問(wèn)解析

所以a2=9.

2.2 第(2)問(wèn)解析

證法1 設(shè)P(6,y0)，則直線AP的方程為

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程得

所以直線CD的方程為

評(píng)注用點(diǎn)P(6,y0)的坐標(biāo)表示C,D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CD的方程，此解法的優(yōu)點(diǎn)是思路自然，但缺點(diǎn)也很明顯，就是運(yùn)算量較大.

(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

策略1合理運(yùn)用韋達(dá)定理.

策略2恰當(dāng)消元，減少變量個(gè)數(shù).

策略3合理利用曲線方程簡(jiǎn)化運(yùn)算.

代入,得

在此變換下直線x=6變?yōu)閤′=2，點(diǎn)A,B變?yōu)锳′(-1,0),B′(1,0).

圖2

則tan∠P′B′x=tan∠A′B′D′=tan∠A′C′D′=3tan∠C′A′B′.

評(píng)注通過(guò)仿射變換化橢圓為圓來(lái)處理，然后利用圓的幾何性質(zhì)順利解決問(wèn)題，想法很巧妙，計(jì)算量很小，值得我們學(xué)習(xí).除了以上幾種解法外，本題還可以利用曲線系的方法求解，限于中學(xué)教學(xué)實(shí)際，這里我們就不細(xì)說(shuō).

3 問(wèn)題拓展

從橢圓和直線的角度來(lái)看，本題可以拓展如下：

(a2+m2b2)y2+2mnb2y+(n2-a2)b2=0.

于是n=t，直線CD過(guò)定點(diǎn)(t,0).

如圖3，用幾何畫(huà)板演示其結(jié)果是正確的，其本質(zhì)是圓錐曲線中的極點(diǎn)和極線問(wèn)題，但是用初等數(shù)學(xué)證明很困難.在雙曲線和拋物線中也有類似的結(jié)論，這里不再贅述.

圖3

從斜率的角度考慮，本題也可以拓展如下：

(36k2+4)x2-108k2x+81k2-36=0.

=3.

從逆命題的角度，我們可以得到如下問(wèn)題：

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P,Q(異于頂點(diǎn))，記橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1,A2，若直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S，證明：點(diǎn)S恒在直線y=4上.

(2)由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，P(x1,y1),Q(x2,y2).

結(jié)合目標(biāo)，消去x,得

(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2).

將韋達(dá)定理代入,得

從而y=4，即點(diǎn)S恒在直線y=4上.