高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

張俊校

(安徽省太湖中學(xué) 246400)

數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生分析以及抽象能力要求較高，既需要學(xué)生深刻理解題意，提煉出有效信息進(jìn)行合理抽象，又需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行正確求解.教學(xué)中為使學(xué)生掌握不同數(shù)學(xué)模型的建模思路與技巧，應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題為學(xué)生做好數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用講解.

1 三角函數(shù)模型的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，解答一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)常需要構(gòu)建三角函數(shù)模型.教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生認(rèn)真講解三角函數(shù)知識(shí)，使學(xué)生掌握不同三角函數(shù)圖象以及性質(zhì).同時(shí)，設(shè)計(jì)與人們生產(chǎn)生活相關(guān)的問(wèn)題情境，為學(xué)習(xí)者展示三角函數(shù)模型在解題中的具體應(yīng)用，展示建模過(guò)程，提高學(xué)生建模意識(shí)，積累相關(guān)的建模經(jīng)驗(yàn)，使其更好地把握運(yùn)用三角函數(shù)模型解題的思路與細(xì)節(jié).

所以構(gòu)建的函數(shù)模型為

教學(xué)實(shí)踐中通過(guò)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)者熟悉的問(wèn)題情境，有針對(duì)性地啟發(fā)其運(yùn)用三角函數(shù)模型進(jìn)行解題，不僅使學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)的重要作用，而且給學(xué)習(xí)者預(yù)留思考時(shí)間，使其參與到三角函數(shù)模型構(gòu)建中，積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，認(rèn)識(shí)到求解三角函數(shù)模型時(shí)既要考慮三角函數(shù)性質(zhì)，又要具體問(wèn)題具體分析注重導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用.

2 數(shù)列模型的應(yīng)用

教學(xué)中為使學(xué)生感受構(gòu)建數(shù)列模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型求解實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，課堂上應(yīng)圍繞具體的習(xí)題，通過(guò)與學(xué)生互動(dòng)，為學(xué)生講解數(shù)列模型的具體應(yīng)用，使學(xué)生把握構(gòu)建數(shù)列模型的相關(guān)細(xì)節(jié).

例2某生產(chǎn)企業(yè)準(zhǔn)備在A，B兩種產(chǎn)品上增加投入，2018年在A產(chǎn)品上投入16000萬(wàn)元，在B產(chǎn)品上投入1000萬(wàn)元，從2019年開(kāi)始A產(chǎn)品投入比上一年減少一半，B產(chǎn)品的投入比上一年增加一倍.從2018年(包含2018年)該生產(chǎn)企業(yè)從哪一年開(kāi)始兩項(xiàng)產(chǎn)品總投入之和不低于62000萬(wàn)元？

由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，

根據(jù)題意可知Tn≥62000.

令t=2n，則t2-40t-32≥0.

即2n≥40.78，又因?yàn)閚∈N*，所以n≥5.

從2018年算起的第5年即2022年開(kāi)始，A，B兩項(xiàng)產(chǎn)品的投入之和不低于62000萬(wàn)元.

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，因較為抽象，很多學(xué)習(xí)者感覺(jué)較為吃力.教學(xué)實(shí)踐中為增加學(xué)習(xí)樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)習(xí)者的積極性應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)相關(guān)問(wèn)題情境，組織學(xué)習(xí)者開(kāi)展數(shù)列建模比賽活動(dòng).課堂上通過(guò)為學(xué)習(xí)者展示上述問(wèn)題，很好地激發(fā)了學(xué)習(xí)者的思考熱情，不僅鞏固了所學(xué)，而且通過(guò)習(xí)題的順利作答，給予其針對(duì)性的表?yè)P(yáng)，有效增強(qiáng)了其學(xué)習(xí)自信，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果.

3 不等式模型的應(yīng)用

不等式模型是高中數(shù)學(xué)的重要模型之一.為提高學(xué)生運(yùn)用不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)學(xué)生較為熟悉的問(wèn)題情境，課堂上通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生解答，進(jìn)一步提高其應(yīng)用能力，尤其通過(guò)給予學(xué)生針對(duì)性的指引，使其掌握構(gòu)建、求解不等式模型的注意事項(xiàng)，更好地提高其運(yùn)用不等式模型解題的正確率.

例3某生產(chǎn)廠家準(zhǔn)備借助原有墻體建造一間墻高3m，底面積為12m2，且背面靠墻長(zhǎng)方體的小儲(chǔ)物室.后背靠墻不需建造費(fèi)用.甲施工隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：前面新建墻費(fèi)用為400元/m2，左右兩面墻體價(jià)格為150元/m2，屋頂和地面以及其他費(fèi)用合計(jì)為7200元.若左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度為xm(2≤x≤6).

(1)要使其報(bào)價(jià)最低，則左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少？

第(2)問(wèn)要想滿(mǎn)足題意只需當(dāng)2≤x≤6時(shí)，

不等式是解決最值問(wèn)題的常用知識(shí).教學(xué)實(shí)踐中展示相關(guān)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者構(gòu)建不等式模型進(jìn)行解答，使其更好地把握不等式模型的構(gòu)建細(xì)節(jié)，尤其在求解的過(guò)程中牢牢把握等號(hào)成立的條件，有效地鍛煉其運(yùn)用不等式模型正確解題的能力.

4 概率模型的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為使學(xué)生能夠構(gòu)建正確的概率模型解決實(shí)際問(wèn)題，既要做好概率模型知識(shí)的講解，使學(xué)生掌握不同概率模型之間的區(qū)別，更好地把握概率模型本質(zhì).同時(shí)，做好概率模型構(gòu)建過(guò)程的講解，使學(xué)生掌握構(gòu)建以及求解概率模型的相關(guān)技巧，使其能夠靈活運(yùn)用插空法、捆綁法等排列組合知識(shí)解答概率問(wèn)題.

例4某中學(xué)為慶祝教師節(jié)，豐富師生的校園生活，組織高二6個(gè)班級(jí)(包含甲、乙兩班)的學(xué)生開(kāi)展朗讀比賽活動(dòng)，比賽通過(guò)隨機(jī)抽簽的方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序.

(1)求甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的概率；

(2)甲乙兩班之間的班級(jí)數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

(2)甲乙兩班之間的班級(jí)數(shù)X可取0，1，2，3，4.

X01234P1341515215115

概率既是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，又是高考的重要考點(diǎn).教學(xué)實(shí)踐中通過(guò)為學(xué)習(xí)者展示概率模型在解題中的應(yīng)用，進(jìn)一步加深其對(duì)該部分知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，使其在構(gòu)建模型時(shí)更加全面地考慮問(wèn)題，避免其在以后的解題中走彎路，提高解題的正確性.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)建模知識(shí)，并能具體問(wèn)題具體分析，實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用，既要做好各種數(shù)學(xué)模型的講解與匯總，又要注重通過(guò)經(jīng)典例題的講解，使學(xué)生掌握不同數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用思路與技巧，把握構(gòu)建不同數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵點(diǎn)，在以后的應(yīng)用中少走彎路.