磁流變離合器非線性遲滯特性試驗與建模

王書友，肖鹿，陳飛，孟德遠,2，田祖織，李艾民，吳向凡

(1.中國礦業(yè)大學機電工程學院，江蘇徐州，221116；2.江蘇科技大學江蘇省船舶機械裝備先進制造與工藝技術重點實驗室，江蘇鎮(zhèn)江，212003；3.徐州工程學院機電工程學院，江蘇徐州，221018)

磁流變液(MRF)是一種能夠響應外磁場而快速可逆地改變其流變特性的智能材料[1-2]。由于其獨特的流變性能，它們被開發(fā)成各種各樣的裝置，如MR 阻尼器或MR 離合器。與傳統(tǒng)執(zhí)行器相比，磁流變執(zhí)行器具有設計簡單、控制性能優(yōu)越和控制消耗低等優(yōu)點。此外，該執(zhí)行器能夠瞬間且可逆地控制執(zhí)行器在執(zhí)行機構中的順應性。因此，采用磁流變執(zhí)行器可以有效提高傳統(tǒng)控制系統(tǒng)性能。

然而，MR離合器面臨著輸出轉矩和輸入電流之間的非線性關系，其固有的非線性滯回特性使其難以建立精確的數(shù)學模型。在實際應用中很難實現(xiàn)精確、快速和高效的控制，限制了磁流變技術在工業(yè)領域的廣泛應用。目前，已有各種描述MR 阻尼器位移/速度與輸出力之間關系的建模方法[3-11]，但很少有建立MR 離合器電流-轉矩滯回行為的動力學模型。磁流變離合器的電流-轉矩曲線中引入了滯環(huán)，給控制系統(tǒng)帶來跟蹤誤差、諧波和不穩(wěn)定[12]。因此，準確地評估這種非線性關系對于有效地控制MR離合器具有重要意義。

MR 離合器中廣泛使用的模型主要是靜態(tài)模型，包括Bingham 模型和Herschel-Bulkley 模型。這些模型將磁流變液的剪切應力與施加磁場聯(lián)系起來，適合大多數(shù)應用中磁流變離合器的分析和設計。但上述2種模型均忽略了磁流變離合器的遲滯特性，難以用于動態(tài)分析和控制。為了便于動力學分析，學者在MR離合器模型中引入了參數(shù)化模型。AN 等[13]提出了MR 離合器的非線性建模，包括鐵磁材料的Hodgdon 模型和MR 流體的Bingham模型，發(fā)現(xiàn)將Coleman-Hodgdon模型和非線性Bingham模型相結合可以較好地預測輸入電流和輸出轉矩之間的非線性關系；JEDRYCZKA等[14]將Jiles-Atherton 模型引入MR 制動器的遲滯行為中，發(fā)現(xiàn)所提出的遲滯模型能較好地描述電磁和磁流變耦合效應的行為；YADMELLAT 等[15]在以MR 離合器為基礎的執(zhí)行機構中引入了Preisach 模型，發(fā)現(xiàn)Preisach 模型基本可以描述MR 離合器的電流-轉矩曲線；LIU 等[16]提出了一種考慮MR 制動器遲滯現(xiàn)象的亞遲滯模型；YADMELLAT 等[17]提出了針對磁流變器件遲滯特性的自適應模型，采用多項式近似描述磁路(電流-磁場)的遲滯，采用Bingham 和Bouc-Wen 模型描述磁流變液(磁場-轉矩)的遲滯，發(fā)現(xiàn)自適應模型比Preisach 模型能更加準確地解釋遲滯現(xiàn)象。為了描述雙向磁流變器件的遲滯效應，NGUYEN 等[18]提出了一種基于CBH 的一致性遲滯模型。其他學者也開發(fā)了一些非參數(shù)模型來表示磁流變離合器的遲滯行為。NAJMAEI 等[19]提出了一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型來描述磁變流離合器輸出轉矩與磁場之間的非線性遲滯特性，并用試驗證明了該模型的有效性。YU等[20]提出了一種基于支持向量回歸(SVR)的磁流變彈性體隔離器的非參數(shù)化模型，發(fā)現(xiàn)訓練后的模型可以很好地捕捉到隔振器的動態(tài)響應。然而，非參數(shù)模型的訓練在數(shù)值上是密集且耗費時間，即使訓練好了模型，仍然難以保證其魯棒性和準確性。

建立基于磁流變器件模型的關鍵是簡化現(xiàn)有模型，同時還能保持相似的建模精度。在參數(shù)識別過程中，通常同時識別所有模型參數(shù)，這可能會增加計算成本，導致計算時間增長。此外，有些參數(shù)本質上是冗余的，通過刪除一些不必要的模型結構和參數(shù)，可以使數(shù)學模型能以更簡單的描述接近更真實的物理現(xiàn)象。同時，模型中存在的非線性或不連續(xù)性的數(shù)學公式往往會增加模型參數(shù)辨識的難度。如果不能預先選取到良好的初始值，辨識參數(shù)時將難以獲得全局最優(yōu)解。

為此，首先，搭建磁流變離合器遲滯特性測試臺，得到磁流變離合器轉矩-電流遲滯曲線；其次，探討和分析影響遲滯行為的因素，通過去除多余的描述黏性項與壓力項的模型結構，提出一種簡化的Bouc-Wen模型來詮釋MR離合器的電流-轉矩滯回行為；最后，針對Bouc-Wen 模型中的非線性和不連續(xù)性易導致模型參數(shù)辨識困難的問題，采用基于柯西變異的改進遺傳算法對不同參數(shù)條件下的相關模型參數(shù)進行識別。

1 磁流變離合器的遲滯特性

1.1 磁流變離合器原型

磁流變離合器因其優(yōu)異的性能而被廣泛應用于轉矩控制裝置中，它通常以剪切模式工作，通過外部磁場實現(xiàn)驅動和從動部件的柔性連接。設計1 種雙間隙單線圈的剪切式磁流變離合器結構，研究電流和轉矩之間的遲滯行為，如圖1所示。由圖1可見：主動轉子由左右驅動盤與隔磁環(huán)組成，并與驅動軸固定連接。隔磁環(huán)減少磁通在徑向的漏磁，并使驅動盤和從動盤分離，構成一定厚度的工作間隙。右驅動盤與從動軸之間存在動密封，可以有效地防止磁流變液的泄漏。磁路由磁殼、驅動盤和從動盤構成磁流變液的磁通路徑。通過在線圈中施加不同的電流強度，可以連續(xù)輸出轉矩。

圖1 磁流變離合器結構配置圖Fig.1 Structure configuration diagram of MR clutch

1.2 磁流變離合器的非線性遲滯特性

為了研究磁流變離合器的遲滯特性，對原型進行探索性試驗。

1)近似對稱的遲滯回線。圖2所示為遲滯特性曲線。由圖2(a)可見：設定勵磁電流在40 s 內由0 A 增大到1.6 A，然后再減小到0 A。試驗發(fā)現(xiàn)磁流變離合器的電流-轉矩曲線存在滯回現(xiàn)象，此外，遲滯回線表現(xiàn)出近似對稱性，這便于采用參數(shù)化模型來捕捉這種行為。

2)遲滯行為來源。遲滯行為實際上是由構成磁路組成部分的鐵磁材料和磁流變液本身的磁滯所引起的。圖2(b)為試驗測試的磁流變離合器鐵磁材料的遲滯特性，圖2(c)為試驗測試的磁流變液的遲滯特性。雖然鐵磁材料的磁滯特性比磁流變液強，但磁流變液本身也具有磁滯特性，而不是如AN等[13]所認為的近似線性的遲滯性能。減小磁滯損耗的可行方法是增大磁通路徑長度與流經(jīng)磁通截面積的比[21]，該比值與磁路的磁阻呈正比。

圖2 磁流變離合器遲滯特性曲線Fig.2 Curve of hysteresis property of MR clutch

3)轉速無關性。圖3所示為轉矩與轉速之間的關系(未濾波處理)。由圖3可見：勵磁轉速由300 r/min增大到1 500 r/min，然后減小到300 r/min。但從圖3可見，MR 離合器轉矩與轉速之間沒有明顯的滯后，說明轉速變化對轉矩沒有明顯動態(tài)影響。這可能是因為磁流變離合器在磁流變液的預屈服區(qū)工作所導致的。

圖3 轉矩與轉速之間的關系(未濾波處理)Fig.3 Curve of torque and rotational speed(without filtering)

4)頻率相關性。圖4(a)所示為不同電流頻率下磁流變離合器動態(tài)轉矩-電流特性的試驗曲線。試驗測試時，設定電流幅值為1.6 A，電流頻率分別為0.005，0.020 和0.100 Hz，采用半周三角波信號進行3 組試驗。由圖4(a)可見：電流-轉矩曲線在小頻率處近似為線性，滯回回路較窄。頻率越大，滯回線越寬，說明非線性特性越明顯。滯回曲線的形狀和位置隨電流頻率變化而變化，表明遲滯與電流頻率具有相關性。

5)幅值相關性。圖4(b)所示為不同電流幅值下磁流變離合器動態(tài)轉矩-電流特性的試驗曲線。試驗測試時，設定電流頻率為0.010 Hz，電流幅值分別為0.8，1.2 和1.6 A。由圖4(b) 可見：勵磁電流的幅值直接影響遲滯回線的形狀和大小。遲滯回線的幅值隨著電流幅值增大而增大。這說明磁流變離合器電流-轉矩之間的滯回現(xiàn)象具有宏觀的電流幅值相關性。這種非線性會對磁流變離合器的性能產(chǎn)生一定影響，如對控制系統(tǒng)帶來跟蹤誤差和極限環(huán)等。

圖4 轉矩-電流遲滯特性Fig.4 Hysteresis characteristics of torque relative to current

2 遲滯建模與參數(shù)辨識

2.1 磁流變離合器的Bingham模型

一般來說，剪切模式下工作的磁流變離合器或制動器通常采用Bingham 或Herschel-Bulkley 模型。Bingham 模型是一種最簡單、最常用的模型，其表現(xiàn)為在屈服前為剛體，在屈服后為牛頓流體。Bingham模型揭示了磁流變液的本構關系，被用于磁流變器件的結構幾何設計和初步性能分析。Bingham模型如式(1)所示：

式中：τ為剪切屈服應力；τy(H)為磁致剪切應力，取決于磁場強度H；為剪切速率；η為流體黏度。

2.2 磁流變離合器的Bouc-Wen模型

Bouc-Wen(B-W)模型由Bouc 提出并由Wen 對其進行了改進[22]，其數(shù)學形式簡單，能夠表示遲滯行為，本質上是1個一階非線性微分方程，它以1種滯后的方式將輸入與輸出聯(lián)系起來。通過選擇1組適當?shù)膮?shù)，使模型的響應適應于真實的遲滯回線。

考慮T=[t0,t]∈R。狀態(tài)量x(t)，z(t):T→R，矢量函數(shù)f:(Rm,Rm,R,R) →Rm和輸入量u(t):T→R。其中：T為時間向量；t0為初始時間；t為時間變量；R為實數(shù)；m為階次。

Bouc-Wen可以描述為

式中：x00和z分別為振子的位置和作用在振子上的滯回力；z0為振子在初始時刻的滯回力；A，β，γ和n分別為影響滯回線幅值、滯回線形狀參數(shù)、過渡段線性度和平滑度。

將基于B-W 的唯象模型引入到磁流變阻尼器中來描述位移/速度與輸出力的關系，該模型由阻尼器、彈簧和滯回系統(tǒng)并聯(lián)組成[23]，如圖5所示，其力學模型描述如下

圖5 Bouc-Wen模型結構Fig.5 Bouc-Wen model structure

遲滯變量z為

式中：x和為阻尼器兩端相對位移和相對速度；x0為彈簧的初始變形；F為阻尼力；c0為黏性常數(shù)；k0為彈簧剛度系數(shù)；α為滯回系數(shù)。

目前，磁流變離合器中尚未采用B-W 模型來描述電流與轉矩之間的非線性關系。在描述磁流變阻尼器的原始模型中，位移作為自變量，阻尼力作為輸出量。而在磁流變離合器模型中，電流作為自變量，轉矩作為輸出量。兩者的運行原理與表現(xiàn)形式完全不同，原始的Bouc-Wen 模型已不再適用。為描述磁流變離合器中轉矩與電流之間的非線性滯回，同時減少數(shù)學公式的復雜性，將B-W模型轉換為：

式中：z(t)為平滑滯回轉矩；i(t)為勵磁電流；T為輸出轉矩。

由式(6)和式(7)可以看出，相比原始B-W模型中存在7個參數(shù)，簡化B-W模型只有4個參數(shù)。本文提出的簡化B-W 模型以勵磁電流為變量，可以預測不同勵磁條件下的遲滯轉矩。

2.3 模型參數(shù)辨識

B-W 模型的數(shù)學描述存在著非線性和不連續(xù)性，導致其參數(shù)辨識困難。此外，應用傳統(tǒng)優(yōu)化算法時易收斂于局部最小值，而不能求得全局最小值。遺傳算法采用種群進化，在優(yōu)化過程中不依賴于待解問題的復雜性，在個體種群初始化和基因重組過程中具有隨機性。使用遺傳算法進行曲線擬合時，只需要目標函數(shù)值[24-25]，就可以直接測量目標函數(shù)和變量。遺傳算法的這種特性使其非常適合非連續(xù)性函數(shù)的優(yōu)化，但如果不能選擇到良好的參數(shù)初始值，遺傳算法同樣難以實現(xiàn)全局最優(yōu)化。為此，本文提出1種基于柯西變換作為搜索算子的遺傳算法，通過柯西分布積累函數(shù)對全部搜索的染色體變異，增加種群多樣性，從而提高遺傳算法的全局搜索能力。

采用遺傳算法對參數(shù)進行識別時，一旦確定解的結構，就會產(chǎn)生相應可行性解的染色體。需要辨識的參數(shù)是α，β，γ和n。因此，染色體Φ變成

式中：N為測試點個數(shù)。

目標函數(shù)影響遺傳進化，因此有必要確定目標函數(shù)。將模擬轉矩和實測轉矩之間的均方根誤差定義為目標函數(shù)J，可以用式(9)表示：

式中：和Ti(t)分別為模擬轉矩和試驗轉矩。

柯西分布在原點處峰值比較小，而在兩端的分布比較長，其概率密度函數(shù)如式(10)所示。柯西變異可以在當前變異個體附近生成更大的擾動，使得柯西變異范圍比較廣，因此，采用柯西變異的兩端分布更容易跳出局部極值。為充分利用柯西兩端變異的特點，本文采用如式(10)所示的柯西逆累積分布函數(shù)。

式中：x1為定義分布峰值位置的位置參數(shù)；ζ為最大值一半處的一半寬度的尺度參數(shù)。

當種群在進行全局搜索時，隨機選擇1個個體作為參考，其他個體隨機靠近參考個體。在傳統(tǒng)的遺傳算法中，參考個體是隨機選擇的，不易尋到全局最優(yōu)解。本文則以柯西逆累積分布函數(shù)[26]對個體進行變異，通過柯西分布有很長尾巴的特點，讓個體朝著更廣的范圍變異?？挛髂胬鄯e分布函數(shù)F-1(p,x1,ζ)如式(11)所示。

采用柯西變異的遺傳算法流程圖如圖6所示。

圖6 基于柯西變異的遺傳算法Fig.6 Genetic algorithm based on Cauchy mutation

系統(tǒng)辨識時，首先通過試驗采集一系列試驗數(shù)據(jù)點用于遺傳算法辨識模型參數(shù)，隨后將模型生成數(shù)據(jù)與實驗測試數(shù)據(jù)進行對比，直到滿足圖6所示的迭代程序。參數(shù)辨識原理圖如圖7所示。為了識別模型參數(shù)，需要將指標最小化，使系統(tǒng)的模擬行為盡可能接近試驗測試。

圖7 磁流變離合器模型參數(shù)辨識原理圖Fig.7 Schematic diagram of identification of model parameters for MR clutch

為了對比傳統(tǒng)遺傳算法與改進遺傳算法對B-W模型的參數(shù)辨識能力，分別進行2種遺傳算法(GA)下的參數(shù)辨識。表1所示為2 種GA 識別的B-W模型參數(shù)。

表1 2種GA識別的B-W模型參數(shù)Table 1 B-W model parameters identified by two kinds of GA

2.4 仿真與試驗結果的對比

試驗測試與2 種遺傳算法辨識的B-W 模型模擬結果對比如圖8所示。從圖8可見：相比傳統(tǒng)遺傳算法，改進遺傳算法辨識獲得的B-W 模型更加貼合試驗曲線，這說明：

圖8 傳統(tǒng)遺傳算法與改進遺傳算法下模型與試驗對比曲線Fig.8 Comparison curves between model and test identified by traditional GA and improved GA

1)提出的簡化B-W 模型能夠準確地描述磁流變離合器轉矩與電流之間的遲滯行為；

2)采用改進遺傳算法識別的模型參數(shù)具有更高精度。

傳統(tǒng)的遺傳算法具有較窄的搜索域，容易陷入局部最優(yōu)解而不能獲得全局最優(yōu)，初始解不同容易得到不同的最終解。而改進遺傳算法通過柯西分布積累函數(shù)對全部搜索的染色體進行變異，增加種群多樣性，從而提高遺傳算法的全局搜索能力。此外，相比滯回線中間部分仿真曲線與試驗曲線的差異，滯回線兩端部分有較大差異。這是因為試驗測試的遲滯特性并不是完全對稱的遲滯回線形狀，從而難以用B-W 模型在全局范圍內對電流-轉矩曲線進行一致地描述。

3 試驗驗證

3.1 MR離合器遲滯特性測試裝置

為了評估簡化的B-W 模型描述磁流變離合器電流-轉矩遲滯特性的能力，建立基于磁流變離合器樣機的試驗系統(tǒng)，如圖9所示。變頻器用于調節(jié)電機，以改變磁流變離合器的輸入速度。磁流變離合器的勵磁電流由直流電源提供。采用磁粉制動器(MPB)加載離合輸出軸，通過調節(jié)直流電源以調節(jié)負載轉矩。采用轉矩-轉速傳感器測量磁流變離合器輸入軸、輸出軸的轉速和轉矩，并將傳感信號通過采集卡傳輸?shù)絃abVIEW 軟件進行最終處理分析。

圖9 磁流變離合器遲滯特性測試的試驗裝置Fig.9 Experimental setup for hysteresis tes of MR clutch

3.2 試驗結果與分析

圖10顯示了在不同激勵電流頻率下，Bingham模型、提出的B-W 模型和試驗測試在輸出轉矩及其誤差隨時間變化的對比。從圖10可以看出，Bingham 模型與B-W 模型和試驗測試結果在時域上都有較好一致性，這表明靜態(tài)Bingham 模型和B-W模型都有預測磁流變離合器轉矩輸出的能力。但相比Bingham 模型，B-W 模型的轉矩誤差更小，尤其電流頻率增加時，靜態(tài)Bingham模型的轉矩誤差增大，精度降低，而動態(tài)B-W 模型始終可以跟隨頻率而保持較高精度。

圖10 不同激勵電流頻率下Bingham模型、B-W模型和試驗測試的輸出轉矩與誤差在時域上的結果對比Fig.10 Comparison between Bingham,B-W model and experimental tests in profiles of torque and error versus time at different excitation current frequencies

圖11顯示了在不同激勵電流幅值下，Bingham模型、提出的B-W 模型和試驗測試在輸出轉矩及其誤差隨時間變化的對比。從圖11可見：不同激勵電流幅值下，B-W 模型與Bingham 模型的輸出曲線都能跟隨試驗曲線變化。但相比Bingham 模型，B-W模型的輸出曲線更接近試驗曲線。在3個勵磁電流頻率和3個勵磁電流幅值下，B-W的下降沿轉矩與試驗測試之間的誤差都比Bingham模型的小。這表明B-W 模型能較好地反映磁流變離合器輸出轉矩與勵磁電流之間的遲滯行為，而靜態(tài)Bingham模型只能用于靜態(tài)設計和分析。

圖11 不同激勵電流幅值下Bingham模型、B-W模型和試驗測試的輸出轉矩與誤差在時域上的結果對比Fig.11 Comparison between the Bingham,B-W model and experimental tests in profiles of torque and error versus time at different excitation current amplitudes

表2和表3給出了按照式(9)計算的Bingham模型與B-W模型在不同電流頻率與電流幅值激勵下輸出轉矩的均方根誤差。從表2可見：A=1.6 A，f分別為0.005，0.020 和0.100 Hz 時，3 種激勵電流頻率下Bingham 模型的均方根誤差分別為5.27，8.40和12.42 N·m，而在相同情況下的B-W模型的均方根誤差分別為1.63，1.60 和1.88 N·m。從表3可以看出：f=0.010 Hz，A分別為1.6，1.2 和0.8 A 這3種激勵電流幅值下Bingham模型的均方根誤差分別為6.58，5.16和4.05 N·m，而在相同情況下的B-W模型的均方根誤差分別為1.83，0.74 和1.07 N·m，這同樣說明了B-W模型具有更高精度。

表2 不同電流頻率下2個模型的均方根誤差(RSME)Table 2 Root-mean-square error between two models and tests at different current frequencies(RSME) N·m

表3 不同電流幅值下2個模型及試驗的均方根誤差(RSME)Table 3 Root-mean-square error between two models and tests at different current amplitudes(RSME) N·m

4 結論

1)搭建磁流變離合器磁滯特性試驗平臺，試驗發(fā)現(xiàn)磁流變離合器遲滯曲線具有近似對稱性、轉速無關性、電流幅值相關性和電流頻率相關性。

2)提出一種簡化的Bouc-Wen模型描述磁流變離合器的遲滯特性，該模型結構簡單，參數(shù)較少，便于參數(shù)識別。相比靜態(tài)Bingham 模型，簡化的Bouc-Wen 模型能更精確地描述輸入電流與輸出轉矩之間的遲滯關系。

3)提出一種基于柯西變異的遺傳優(yōu)化算法，該方法能夠增加種群的多樣性，有助于算法局部最優(yōu)解的逃逸。相比傳統(tǒng)遺傳算法，改進的遺傳算法在辨識Bouc-Wen 模型參數(shù)時具有更高的穩(wěn)定性及尋求全局最優(yōu)解的能力。