軌下膠墊頻變黏彈性對軌道交通箱型梁動力響應影響分析

左志遠，劉林芽，秦佳良，劉全民，牛振宇

(華東交通大學鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌，330013)

軌道交通高架線路具有節(jié)約土地資源、保護環(huán)境的優(yōu)勢，同時可有效控制地基長期沉降，使線路具有良好的平順性和穩(wěn)定性，在已運營的高速鐵路線路形式中高架橋梁占有很大比例[1-3]。當列車在高架橋梁上高速行駛時，由于輪軌不平順激勵使輪軌系統(tǒng)產生劇烈振動并傳至軌下基礎，進而引起車-軌-橋系統(tǒng)的振動，影響車輛、軌道、橋梁各子系統(tǒng)的運行質量與使用壽命，以及會給沿線居民的生活帶來困擾[4-6]，因此，針對軌道交通高架橋梁動力響應的精確預測及控制研究尤為必要。

目前，國內外研究人員十分重視高速鐵路車-軌-橋系統(tǒng)振動控制，穿越敏感區(qū)域的高速鐵路高架線都采取了控制措施以降低結構振動，扣件是軌道結構中重要的組成部分，兼具固定鋼軌和減振的作用，其中提供減振性能的主要部件是扣件中的軌下膠墊[7]。國內外在以往車輛-軌道-橋梁系統(tǒng)的振動研究中，軌下膠墊的動態(tài)力學參數(shù)(剛度、阻尼)往往采用固定值[8-10]。實際上，由于軌下膠墊組分中包含橡膠高分子材料，其動態(tài)力學參數(shù)隨環(huán)境條件及加載工況的變化而改變，F(xiàn)ENANDER 等[11-16]的研究表明，橡膠高分子材料的動態(tài)力學特性具有頻變黏彈性(指橡膠材料在激振頻率因素影響下表現(xiàn)出的力學性能)。目前已有學者針對扣件的動態(tài)力學性能進行了研究，THOMPSON等[12]采用寬頻試驗機分析加載頻率對扣件膠墊動力性能的影響，發(fā)現(xiàn)扣件膠墊剛度對加載頻率具有明顯的依賴性。MAES等[13]對扣件彈性墊板進行1～3 000 Hz 寬頻激振試驗，發(fā)現(xiàn)扣件膠墊的剛度和阻尼隨頻率增大而增大。劉林芽等[16]通過試驗表明扣件的動態(tài)力學性能參數(shù)對頻率和溫度具有明顯的依賴性，采用高階分數(shù)階導數(shù)模型能準確表征其動態(tài)力學行為。王紹華等[17]通過試驗與仿真結合得出考慮鋼軌扣件膠墊剛度頻變特性可以更準確地預測鋼軌1 階垂向共振頻率。軌下膠墊頻變黏彈性會改變軌下膠墊的動態(tài)力學參數(shù)，從而影響車輛-軌道-橋梁系統(tǒng)的振動響應，目前，針對軌下膠墊頻變黏彈性對軌道交通箱型梁動力響應影響的探討較少。

為揭示軌下膠墊黏彈性對軌道交通箱型梁動力響應的影響規(guī)律，準確預測箱型梁的振動響應，進而為軌道交通箱型梁振動控制提供參考，本文作者提出一種考慮軌下膠墊頻變黏彈性的軌道交通箱型梁動力響應聯(lián)合仿真預測模型。模型以WJ-7B 型常阻力扣件的軌下膠墊為研究對象，采用FVMP 參數(shù)模型表征軌下膠墊頻變黏彈性，建立考慮軌下膠墊頻變黏彈性的車-軌-橋垂向耦合頻域分析模型，與箱型梁三維有限元模型結合，進一步對膠墊黏彈性對軌道交通箱型梁不同輸出點結構動力響應的影響進行分析。

1 基于扣件膠墊頻變黏彈性車-軌-橋動力耦合理論計算方法

1.1 軌下膠墊頻變黏彈性理論表征模型

軌下膠墊中參與車-軌-橋動力耦合計算的力學性能參數(shù)主要是剛度與損耗因子，為了更加清晰地描述黏彈性阻尼材料動態(tài)力學性能參數(shù)，通常需要用數(shù)學模型來近似擬合，本文選擇適用于黏彈性材料寬頻域擬合的高階分數(shù)階導數(shù)FVMP(fractional voigt and maxwell model in paralle)模型[15]來表征軌下膠墊黏彈性動態(tài)特性。

FVMP模型時域本構方程表示為

式中：Dα，Dβ和Dγ為分數(shù)階微分算子；σ(t)為應力；ε(t)為應變；μ1和μ2為FVMP模型的彈性系數(shù)；η1和η2為FVMP模型的黏性系數(shù)；α，β和γ為分數(shù)導數(shù)階數(shù)。

將式(1)經過變換、分離得到儲能模量Es、耗能模量El與損耗因子tanδ的參數(shù)模型：

式中：ω為固有角頻率。

建立的軌下膠墊的本構模型(FVMP 模型)示意圖如圖1所示。圖中，F(xiàn)為施加的荷載，X為在F作用下產生的位移。

1.2 基于動柔度法車-軌-橋耦合動力分析模型

采用的車-軌-橋耦合動力學模型如圖2所示。車輛系統(tǒng)以CRH380A動車為原型，采用單節(jié)車輛的10 自由度縱向半車模型[18]，其中，Zc和θc分別為車體的沉浮、點頭自由度；Zt1和θt1分別為前轉向架的沉浮、點頭自由度；Zt2和θt2分別為后轉向架的沉浮、點頭自由度；Zw1，Zw2，Zw3和Zw4分別為4個輪對的沉浮自由度。鋼軌簡化為Timoshenko梁，軌道板、底座板均簡化為兩端自由Euler-Bernoulli梁，橋梁簡化為兩端簡支Euler梁，扣件、CA砂漿層、滑動層和橋梁支座均考慮為離散的黏彈性支承單元。

1.2.1 車輛垂向振動模型

單節(jié)車輛振動方程如下：

式中：[Mv]為車輛系統(tǒng)質量矩陣；[Cv]為車輛阻尼矩陣；[Kv]為車輛剛度矩陣；分別為車輛系統(tǒng)的位移、速度和加速度矩陣；{P}為輪軌力。

對式(5)進行變量分離可得

式中：[βw] 為車輪在軌道的輪軌接觸點處動柔度矩陣，[βw]=(-ω2[Mv]+iω[Cv]+[Kv])-1；i 為虛部單位；[Zw]為輪對的垂向位移矩陣。

1.2.2 軌道-橋梁垂向耦合振動模型

軌-橋耦合系統(tǒng)主要包括鋼軌、軌道板、底座板、箱型梁，鋼軌和軌道板通過扣件連接，軌道板和底座板通過CA砂漿連接，底座板和箱型梁通過滑動層連接，箱型梁由安裝在橋墩上的支座支撐。

軌-橋系統(tǒng)各結構層的動柔度函數(shù)表達式[19]為

式中：k1和k2分別為沿鋼軌正、負方向傳播的振動波；β為動柔度；φn為第n階的振型；ωn為第n階固有角頻率；η為損耗因子；i為第i個車輪；Nc為計算模態(tài)數(shù)；下標r，s，d 和b 分別代表鋼軌、軌道板、底座板、橋梁。

軌-橋系統(tǒng)各結構層的振動位移表達式為

式中：Z為結構位移；P為輪軌力；Nw為輪對的數(shù)量；Ff，F(xiàn)j，F(xiàn)z和Fq分別為扣件力、CA 砂漿離散彈簧力、滑動層離散彈簧力、橋梁支座反力；N，M和H分別為扣件、CA砂漿離散彈簧和滑動層離散彈簧的數(shù)目；n，m，h，l和w分別為扣件、CA砂漿離散彈簧、滑動層離散彈簧、橋梁支座和輪對的編號。

扣件力、CA砂漿層離散支撐力、滑動層離散支撐力、支座力可以表示為

式中：Kf為扣件復剛度；Kj為CA砂漿離散彈簧復剛度；Kz為滑動層離散彈簧復剛度；Kq為箱型梁支座彈簧復剛度，其表達式為

式中：kf和ηf分別為扣件的剛度和損耗因子；kj和ηj分別為CA 砂漿層的剛度和損耗因子；kz和ηz分別為滑動層剛度和損耗因子；kq和ηq分別為橋梁支座的剛度和損耗因子。

將式(9)代入式(8)，整理可得

式中：[βK]為軌-橋系統(tǒng)各結構層的動柔度和復剛度相乘[20]；{Z}為軌道橋梁各結構層的位移矩陣；{P}為輪軌力。

由式(11)求解軌-橋耦合系統(tǒng)動柔度為

式中：ZTB為輪軌力作用下軌-橋耦合系統(tǒng)位移；軌-橋系統(tǒng)動柔度，即為單位簡諧荷載作用下軌-橋耦合系統(tǒng)位移。

1.2.3 輪軌接觸模型

本文假設輪軌線性Hertz 接觸。kc為接觸彈簧剛度系數(shù)，則其動柔度表示為

式中：βc為輪軌接觸彈簧動柔度。

1.2.4 軌道不平順

結合德國低干擾譜(波長為1～100 m)及Sato 譜(波長為0.01～1 m)作為軌道不平順激勵[21]，圖3所示為高低不平順譜。

1.2.5 求解車-軌-橋垂向耦合系統(tǒng)隨機動力響應

基于虛擬激勵法計算車-軌-橋隨機動力響應，車輛與軌道的相對位置不變，軌道不平順以車速沿鋼軌移動，進而在輪軌之間產生位移激勵。輪軌力的計算公式為

式中：R(ω)為輪對的虛擬激勵向量。將式(14)結合式(9)，(10)和(11)，即可求出滑動層離散彈簧力。

2 軌下膠墊頻變黏彈性對車-軌-橋系統(tǒng)隨機動力響應的影響分析

2.1 軌下膠墊動態(tài)特性模型表征

本文選用軌下膠墊在20 ℃時的模量及損耗因子如圖5所示。

為保證擬合精度，將頻域離散數(shù)據(jù)采用高階分數(shù)導數(shù)FVMP 模型的參數(shù)模型來分別進行擬合，結合遺傳算法對FVMP 參數(shù)模型的參數(shù)進行識別，各模型參數(shù)見表1。為驗證該模型的擬合效果，本文將軌下膠墊的頻域離散動參數(shù)數(shù)據(jù)與FVMP 模型的參數(shù)模型曲線進行對比，見圖4。

表1 軌下膠墊各模型參數(shù)Table 1 Parameter of each model of rubber pad under rail

由圖4可知：軌下膠墊模量與損耗因子均隨頻率增大而增大，且增大幅度逐漸變緩；FVMP參數(shù)模型能夠較好地描述其模量和損耗因子的頻變趨勢，表明FVMP 模型能夠準確地反映軌下膠墊的頻變黏彈性。

由于軌下膠墊中參與車輛-軌道耦合振動計算的參數(shù)是剛度、損耗因子，因此，需要將模量按照材料的結構尺寸轉化為剛度，計算方法見下式[22]：

式中：kf為軌下膠墊剛度；A和h分別為扣軌下膠墊的底面積、厚度；Es為軌下膠墊儲能模量。

2.2 軌下膠墊頻變黏彈性對車-軌-橋耦合系統(tǒng)動力響應的影響分析

選用CRH380A高速列車，軌道選用CRTSⅡ型板式無砟軌道，橋梁選用32 m 簡支箱型梁；為分析軌下膠墊參數(shù)(剛度和損耗因子)的頻變黏彈性對車-軌-橋垂向耦合振動的影響，分4種工況進行討論，計算工況見表2(工況中剛度與損耗因子所取定值均為20 ℃、4 Hz條件下軌下膠墊的參數(shù)[23])。

表2 計算工況Table 2 Calculated working condition

2.2.1 軌下膠墊頻變黏彈性對車-軌-橋系統(tǒng)動柔度的影響分析

選用第一位輪軌接觸點處的車-軌-橋系統(tǒng)動柔度為研究對象，4種工況下計算得到的車-軌-橋系統(tǒng)的動柔度幅值及相位分別如圖5～9所示。

由圖5～8可知：在4種工況下，車輪動柔度在1 Hz有峰值，該頻率是車輛系統(tǒng)的二系懸掛頻率；車輪的動柔度幅值曲線整體上隨頻率增大而減小；接觸彈簧的動柔度取定值；軌道-橋梁動柔度在5 Hz處有峰值，該頻率對應橋梁-支座系統(tǒng)的一階固有頻率；工況1和工況2在54 Hz處出現(xiàn)極小值，工況3 和工況4 在58 Hz 處出現(xiàn)極小值，由于車輪和軌-橋系統(tǒng)動柔度在對應頻率點幅值相等，相位相反，導致車輪和軌-橋系統(tǒng)動柔度對系統(tǒng)總動柔度貢獻量在此處部分抵消，該頻率點對應車-軌-橋系統(tǒng)的固有頻率；在[0，20)Hz頻段，車輪動柔度對耦合系統(tǒng)的總動柔度起主導作用；對于工況1和工況2，在[20，110)Hz 頻段，系統(tǒng)總動柔度主要由車輪、軌-橋動柔度決定，在[110，200) Hz 頻段，系統(tǒng)總動柔度主要由軌-橋動柔度決定；對于工況3 和工況4，在[20，130) Hz 頻段，系統(tǒng)總動柔度主要由車輪、軌-橋動柔度共同決定，在[130，200)Hz頻段，軌-橋動柔度對系統(tǒng)總動柔度起主導作用；本文動柔度及相位的計算結果與文獻[22]中結果吻合良好，驗證了模型的正確性。

由圖9可知：在全頻段內，工況1 和工況2 的總動柔度曲線走勢一致，工況3和工況4的總動柔度曲線走勢一致；在[0，20)Hz 以內，4種工況下總動柔度曲線基本重合；[20，200)Hz頻段，工況1～4 的動柔度幅值曲線極小值分別為1.599×10-9，1.616×10-9，1.345×10-9和1.363×10-9m/N，其極小值對應的頻率分別為54，54，58和58 Hz；工況1～4 的動柔度幅值曲線極大值分別為5.580×10-8，5.281×10-8，4.300×10-8和4.052×10-8m/N，其極大值對應的頻率分別為141，141，162和162 Hz，由此可知，工況3相對于工況1(或工況4相對于工況2)，主要變量為軌下膠墊剛度頻變，動柔度幅值曲線整體向高頻移動，這是因為軌下膠墊的剛度隨頻率升高而升高，導致軌道結構整體剛度增大；針對較高頻段內4 種工況的總動柔度幅值差異，工況2相對于工況1(或工況4相對于工況3)，其主要變量為軌下膠墊損耗因子頻變，由于損耗因子隨頻率增大而升高，導致工況2相對于工況1(或工況4相對于工況3)而言，其總動柔度曲線幅值在較高頻段固有頻率附近耗能明顯；軌下膠墊頻變對總動柔度相位的影響規(guī)律與總動柔度類似。

2.2.2 軌下膠墊參數(shù)頻變特性對車-軌-橋系統(tǒng)隨機動力響應的影響分析

采用虛擬激勵法計算車速350 km/h 下車-軌-橋系統(tǒng)的隨機動力響應。

1)垂向輪軌力。圖10所示為4 種工況下計算出的動態(tài)輪軌力。

為準確分析軌下膠墊參數(shù)頻變特性下的輪軌力頻譜圖，提取圖10中曲線主峰值及對應的峰值頻率，如表3所示。

表3 輪軌力峰值及對應頻率Table 3 Peak value and corresponding frequency of wheel-rail force

從圖10和表3可以看出：在[0，20)Hz以下頻段，4 種工況下計算的輪軌力頻譜圖曲線基本重合，而在[20，200) Hz 頻段內的差異比較明顯；工況1和工況2的輪軌力曲線基本重合，其峰值分別為4.222×104N 和4.160×104N，對應頻率均為51 Hz；工況3和工況4的輪軌力曲線基本重合，其峰值分別為3.711×104N 和3.646×104N，對應頻率均為55 Hz；由工況3 相對于工況1(或工況4 相對于工況2)的輪軌力頻譜數(shù)據(jù)可知，在剛度頻變條件下，軌下膠墊剛度隨頻率增大而增大，因此，輪軌力主峰值對應的峰值頻率向高頻偏移，進而表現(xiàn)出較高頻段輪軌力的幅值增大；由工況2相對于工況1(或工況4相對于工況3)的輪軌力頻譜數(shù)據(jù)可知，由于考慮損耗因子頻變，軌下膠墊損耗因子隨頻率增大而增大，因此，在較高頻段固有頻率附近表現(xiàn)出輪軌力幅值曲線小幅降低。

2)滑動層等效離散彈簧力。圖11所示為滑動層等效離散彈簧力。

由圖11可知：軌下膠墊參數(shù)頻變對滑動層等效離散彈簧力的影響規(guī)律與輪軌力的相似；4種工況下的滑動層離散彈簧力曲線在[0，20)Hz內基本重合，軌下膠墊參數(shù)頻變主要影響[20，200)Hz頻段范圍內的滑動層等效離散彈簧力。由于剛度頻變導致工況3相對于工況1(或工況4相對于工況2)的滑動層等效離散彈簧力主頻向高頻遷移，損耗因子頻變導致在較高頻段固有頻率附近表現(xiàn)出滑動層等效離散彈簧力小幅降低。

3)橋梁振動加速度。為分析箱型梁跨中各輸出點的動力響應，將滑動層離散彈簧力加載至箱型梁有限元模型頂板，如圖12所示。

引入加速度振級與插入損失Ls來評價工況2，工況3 和工況4 相對于工況1 的箱型梁各輸出點動力響應的影響效果，其表達式為

式中：ai為4 種工況下橋梁各輸出點振動加速度；a1為工況1橋梁輸出點振動加速度。

箱型梁在4種工況下不同輸出點的加速度振級及插入損失，如圖13～17所示。

由圖13～17可知：軌下膠墊的參數(shù)頻變黏彈性對箱型梁動力響應有明顯影響，且箱型梁各輸出點在不同工況下的動力響應規(guī)律一致，以1號輸出點的動力響應為例進行分析。1號輸出點4種工況的加速度振級峰值分別為117.9，117.8，116.5 和116.4 dB，對應的峰值頻率分別為51，51，55 和55 Hz，工況3相對于工況1(或工況4相對于工況2)由于剛度頻變導致加速度振級主頻向高頻遷移，工況2 相對于工況1(或工況4 相對于工況3)，由于損耗因子頻變導致加速度振級在峰值處有所降低。工況1與工況2、工況3與工況4的插入損失曲線在低頻段內基本重合，且工況1 與工況2 僅在大于140 Hz頻段兩曲線出現(xiàn)最大0.44 dB的偏離，工況3與工況4 僅在大于140 Hz 頻段兩曲線出現(xiàn)最大0.45 dB的偏離；工況3相對于工況1(或工況4相對于工況2)在51 Hz 與57 Hz 處的插入損失絕對差值最大，最大值約為6 dB；與軌下膠墊力學性能參數(shù)(剛度、損耗因子)取定值相比，在[20，54) Hz 和[177，200)Hz 頻段考慮軌下膠墊頻變黏彈性會導致箱型梁動力響應偏低，在[54，137)Hz頻段考慮軌下膠墊頻變黏彈性會導致箱型梁動力響應偏高。

3 結論

1)軌下膠墊的頻變黏彈性表現(xiàn)為其模量值與損耗因子均是隨頻率增大而增大，且增大幅度逐漸變緩；FVMP模型能夠準確反映軌下膠墊的頻變黏彈性。

2)軌下膠墊的參數(shù)頻變特性對總動柔度及其相位有明顯影響。剛度頻變，總動柔度的極小值就越小，總動柔度極小值頻率會向高頻方向偏移，總動柔度相位在較高頻段向高頻遷移，這使剛度頻變導致軌下膠墊儲能剛度增大，軌道-橋梁系統(tǒng)的整體剛度也會隨之變大；損耗因子頻變僅會降低較高頻段的固有頻率附近動柔度和相位角幅值。

3)軌下膠墊參數(shù)(剛度、損耗因子)頻變對接觸力(輪軌力、滑動層等效離散彈簧力)的影響規(guī)律相似；軌下膠墊參數(shù)頻變對在[0，20)Hz頻段的接觸力影響較小，軌下膠墊參數(shù)頻變主要影響[20，200)Hz 頻段范圍內的接觸力。由于剛度頻變導致接觸力主頻向高頻遷移，損耗因子頻變導致在較高頻段固有頻率附近表現(xiàn)出接觸力小幅降低。

4)軌下膠墊的參數(shù)頻變特性對箱型梁動力響應有明顯影響，且箱型梁各輸出點在不同工況下的動力響應規(guī)律一致，軌下膠墊損耗因子頻變導致加速度振級主頻向高頻遷移，軌下膠墊損耗因子頻變導致加速度振級在固有頻段附近有所降低；與軌下膠墊力學性能參數(shù)(剛度、損耗因子)取定值相比，考慮軌下膠墊頻變黏彈性會導致箱型梁動力響應在[20，54) Hz 和[177，200) Hz 頻段偏低，在[54，137)Hz頻段偏高。