輕量化異構(gòu)三維點陣融合設(shè)計及界面力學(xué)性能分析*

劉婷婷，梁焯恒，任方喜，廖文和，張長東，李大偉

（南京理工大學(xué)，南京 210094）

輕量化設(shè)計一直是航空、航天等領(lǐng)域高端裝備追求的永恒主題。近年來，隨著增材制造 （Additive manufacturing，AM）技術(shù)的深入發(fā)展及廣泛應(yīng)用，基于三維點陣的輕量化設(shè)計制造方法成為航空結(jié)構(gòu)減重增效的全新途徑[1]。

三維點陣結(jié)構(gòu)是將微單元按照一定周期排列而形成的空間多孔陣列式結(jié)構(gòu)，在具備輕量化固有特性的同時，還表現(xiàn)出優(yōu)異的超高承載、隔熱防熱、緩沖吸能、屏蔽電磁等多功能特性。相較于結(jié)點控制的傳統(tǒng)桁架類點陣結(jié)構(gòu)[2]，基于隱函數(shù)控制的三重周期最小曲面 （Triply periodic minimal surfaces，TPMS）[3]點陣結(jié)構(gòu)因易于實現(xiàn)參數(shù)化自主可控設(shè)計和有效避免應(yīng)力集中，得到研究者的廣泛關(guān)注。以此為基礎(chǔ)，具備高強度、高剛度、低膨脹率、高吸能比、抗沖擊等不同優(yōu)異性能的新型TPMS 點陣單元結(jié)構(gòu)得到發(fā)展[4–8]。

然而，單一構(gòu)型的TPMS 點陣一般僅具備單一的、有限的功能特性[9]。如P 型TPMS 點陣結(jié)構(gòu)一般具備較高的屈服強度，但能量吸收較差；而G 型TPMS 點陣結(jié)構(gòu)抗沖擊性好，但強度低，無法滿足工程應(yīng)用的多功能機械特性需求。為了充分發(fā)揮不同點陣構(gòu)型的功能優(yōu)勢，融合多種構(gòu)型的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計理念應(yīng)運而生。Yang 等[10]首先提出采用SF 法構(gòu)建異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了不同點陣結(jié)構(gòu)間的光滑過渡，然而，這種方法無法準確控制過渡邊界的寬度，且過渡界面的結(jié)構(gòu)難以調(diào)整。Yoo 等[11]依據(jù)植物生長過程的柔性不對稱生長函數(shù)，提出了基于β 生長函數(shù)的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，實現(xiàn)了異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)過渡邊界寬度的精確控制，但這種方法生成的過渡界面連通性可能較低。Maskery 等[12]通過增加局部體積分數(shù)來改善過渡界面連通性，但是當兩個以上的子結(jié)構(gòu)融合時，這種方法將難以實現(xiàn)。楊輝[13]提出基于影響球分區(qū)的局部異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，能夠?qū)崿F(xiàn)任意過渡邊界、多種TPMS 點陣結(jié)構(gòu)的融合。

盡管上述各類設(shè)計方法均能實現(xiàn)異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計，但各自存在的局限性，如過渡邊界仍存在極小桿徑、拓撲不連續(xù)等問題，極大影響了異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)的承載性能。此外，異構(gòu)點陣混合排列模式對其性能規(guī)律的影響機制仍不清楚，限制了其在復(fù)雜航空構(gòu)件中的應(yīng)用。為此，本文提出基于子結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)控的異構(gòu)三維點陣過渡邊界優(yōu)化方法，充分考慮多構(gòu)型、多子結(jié)構(gòu)方向、高連通性的界面優(yōu)化設(shè)計，開展異構(gòu)三維點陣融合設(shè)計及界面力學(xué)性能分析，為航空航天重大工程裝備的輕量化設(shè)計提供技術(shù)基礎(chǔ)。

1 異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)幾何設(shè)計

1.1 TPMS 點陣單元造型設(shè)計

水平集近似方程是描述TPMS曲面最簡單，也是使用最多的方法，幾種TPMS 三維點陣 （P、G、D、IWP型點陣）的曲面隱式方程如下。

P 型點陣曲面方程為

G 型點陣曲面方程為

D 型點陣曲面方程為

IWP 型點陣曲面方程為

式中，X= 2πx/L；Y=2πy/L；Z=2πz/L；L為控制點陣單元尺寸，通過水平集常數(shù)t控制點陣結(jié)構(gòu)的相對密度。幾種常見的TPMS曲面結(jié)構(gòu)如圖1所示。

1.2 基于子結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)控的異構(gòu)三

維點陣結(jié)構(gòu)過渡邊界優(yōu)化設(shè)計

不同的TPMS 單元可以組合在一起生成復(fù)合TPMS 結(jié)構(gòu)。一個新的復(fù)合TPMS 單元可以表示為

式中，φ1、φ2為兩種點陣結(jié)構(gòu)對應(yīng)的隱式函數(shù)表達式；u1是權(quán)重常數(shù)，其值在[0，1]之間。

為了說明復(fù)合TPMS 的幾何特征，圖2 展示了復(fù)合TPMS 從P 單元到G 單元的漸變過程。相對密度統(tǒng)一設(shè)置為0.3，G 單元或P 單元的權(quán)重設(shè)置為0～1，步長為10%。隨著G 單元比例的增加，P 單元的中心區(qū)域材料逐漸減少，且原有的互相垂直的桿分布，逐漸過渡為螺旋狀的彎曲桿分布。因此，可以將復(fù)合TPMS 應(yīng)用于異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)的過渡區(qū)，以實現(xiàn)點陣類型間的光滑過渡。

受復(fù)合TPMS 思想啟發(fā)，為設(shè)計出具有幾何高階連續(xù)性的高承載異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，提出了基于子結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)控的異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，通過引入權(quán)重函數(shù)作為點陣類型隱式函數(shù)的局部參數(shù)，能夠自主可控調(diào)節(jié)過渡區(qū)域的相對密度變化梯度，從而改善過渡區(qū)域的拓撲材料分布，增加連接桿厚度，實現(xiàn)多類點陣類型之間的光滑過渡，表達式為

式中，n為基于TPMS 的點陣結(jié)構(gòu)類型數(shù)量；ai、bi（i=1，2，…，n–1）為調(diào)節(jié)點陣類型間過渡的密度變化梯度；ui為第i個點陣結(jié)構(gòu)對應(yīng)的權(quán)重函數(shù)。

圖1 常見點陣結(jié)構(gòu)Fig.1 Several common lattice structures

圖2 復(fù)合TPMS 從P 單元到G 單元漸變過程Fig.2 Gradual change of compound TPMS from P unit to G unit

式中，G（x，y，z）為過渡邊界函數(shù)；ki描述點陣類型之間的躍遷過渡寬度，較小的ki值會表現(xiàn)出更寬廣的過渡區(qū)域，從而使點陣類型間過渡得更加緩慢。

通過圖3 可知，式（6）能夠?qū)崿F(xiàn)包含多個TPMS 點陣結(jié)構(gòu)組成的多類型異構(gòu)點陣融合設(shè)計，該方法最大的優(yōu)點是提供了一個通用的和系統(tǒng)的設(shè)計模式，能夠在一個集成的設(shè)計框架中設(shè)計出各種類型的異構(gòu)點陣。此外，該方法具有局部靈活性，對于每個相鄰點陣類型間的混合區(qū)域，可以通過調(diào)整ai、bi和躍遷過渡寬度ki值實現(xiàn)混合區(qū)域拓撲結(jié)構(gòu)的自主可控調(diào)整，從而滿足零件的使用性能需求。

圖3 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計案例Fig.3 Design cases of multi-lattice structures

2 異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)性能分析

2.1 過渡邊界對異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)性能影響

為了測試所提方法對結(jié)構(gòu)性能提升的有效性，本研究選擇P–G 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)作為設(shè)計對象，設(shè)計域為30 mm×30 mm×30 mm，所選擇的單胞尺寸L均為6 mm，P 型和G 型點陣的相對密度分別設(shè)置為10%和20%。分別采用SF 法[10]和本文提出的基于子結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)控的異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計方法生成該模型，如圖4所示。

圖4 過渡邊界對異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)性能影響模型設(shè)計Fig.4 Model design of the influence of transition boundary on the performance of 3D multi-lattice structure

為了獲得超高精度的點陣結(jié)構(gòu)，選擇了工程廣泛使用的具有優(yōu)異韌性和可加工性的工程樹脂材料RC31，材料參數(shù)如表1 所示。使用Kings 系列激光3D 打印機進行光固化加工，切層厚度設(shè)置為25 μm，精度為± 0.05 mm，每個樣品制造3 個。采用Abaqus/explicit 2016 進行數(shù)值模擬計算，預(yù)測點陣結(jié)構(gòu)壓縮力學(xué)性能和變形行為。為點陣結(jié)構(gòu)賦予樹脂（RC31）材料參數(shù)，網(wǎng)格劃分采用的單元類型為C3D10M，對模型上表面施加垂直向下的位移載荷，下表面邊界條件設(shè)置為ZASYMM，將限制結(jié)點在xoy平面的移動以及繞z軸的旋轉(zhuǎn)。

表1 樹脂RC31 材料參數(shù)Table 1 Material parameters of RC31 resin

在室溫下用Instron5969 萬能試驗系統(tǒng)對樣品開展準靜態(tài)壓縮測試，根據(jù)ISO 527–1—2012 測試標準將壓縮速率設(shè)置為0.45 mm/min，壓縮與準靜態(tài)仿真結(jié)果如圖5 所示，可以看出，在相同參數(shù)且樣品制造精度符合標準的情況下，仿真與試驗的結(jié)果基本一致。采用SF 法生成的P–G 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)由于過渡邊界缺乏橫桿的連接，沿著壓縮方向存在細長桿，當壓力逐漸增加到某一極限時，壓桿的直線平衡被破壞，從而逐漸過渡為曲桿，此時桿件已發(fā)生失穩(wěn)。隨著壓力的微小增加，將引起桿件彎曲變形的顯著增大，導(dǎo)致桿件喪失承載能力，在過渡區(qū)域發(fā)生破壞。而采用本文方法生成的P–G 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，其在過渡邊界自主可控生成的拓撲結(jié)構(gòu)，能夠有效地將載荷從G 型點陣傳遞到P 型點陣，最終整個結(jié)構(gòu)由于達到P 型點陣的抗壓強度而發(fā)生破壞。

每個模型進行3 次重復(fù)試驗，并將基于萬能試驗系統(tǒng)得到的壓力–位移數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin 2018 進行后處理，從中挑選出可重復(fù)性較好的兩組數(shù)據(jù)進行對比分析，得到圖6 所示的應(yīng)力–應(yīng)變曲線。結(jié)合表2 進行分析可知，在相對密度幾乎相同的情況下，采用基于子結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)控的異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計方法生成的P–G異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)強度提升52.2%，剛度幾乎不變。這是因為兩種結(jié)構(gòu)的主要差異在于是否存在橫桿，而垂直于壓力方向的橫桿并不會影響結(jié)構(gòu)沿著壓力方向抵抗變形的能力。說明過渡邊界的拓撲形狀是影響異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)性能指標的關(guān)鍵因素，同時也驗證了所提方法的高承載特性。

2.2 不同構(gòu)型的異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析

為了探索混合排列模式對異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)變形行為和承載能力的影響，研究了平行和垂直兩種主要的空間布置模式，如圖7 所示。平行模式被認為載荷方向平行于異構(gòu)融合方向；而垂直模式則為承載方向垂直于融合方向。

為此，設(shè)計了分別由P、G、IWP兩兩融合形成的3 種類型異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，用于評估平行和垂直排列模式對其承載能力和變形行為的影響，并設(shè)計了P、G 和IWP 單一構(gòu)型的均勻點陣結(jié)構(gòu)作為對比分析，如圖8 所示。其中點陣單元尺寸為5 mm，設(shè)計域為30 mm×30 mm×30 mm，每種類型的點陣單元相對密度為10%。

使用商用軟件ABAQUS 進行準靜態(tài)壓縮仿真模擬，分析不同類型點陣結(jié)構(gòu)變形破壞模式，仿真參數(shù)的設(shè)置與2.1 節(jié)一致。仿真結(jié)果如圖9 所示，展示了6 種點陣結(jié)構(gòu)平行加載模式下的應(yīng)力云圖。從變形破壞模式看，P 型點陣由于其所有桿的拓撲方向均為沿著或垂直于加載方向，在承受壓力后，沿著壓力方向的最小截面處首先因應(yīng)力達到材料屈服強度而發(fā)生逐層破壞，為典型的拉伸主導(dǎo)型點陣結(jié)構(gòu)，該類結(jié)構(gòu)具有較強的屈服強度和較低的斷裂應(yīng)變，如圖9（a）所示；而G 和IWP 型點陣由于所有桿的拓撲方向均與加載方向具有一定角度，隨著壓縮應(yīng)變的進行，桿的內(nèi)部產(chǎn)生的彎矩也在逐漸增加，使得結(jié)點處的應(yīng)力逐漸增大，最終達到材料彎曲強度而發(fā)生破壞，整個結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為剪切帶破壞，為彎曲主導(dǎo)型點陣結(jié)構(gòu)，該類結(jié)構(gòu)具有較低的抗壓強度和較高的塑性應(yīng)變，如圖9（b）和（c）所示；而對于3 種異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，在承受壓力后，應(yīng)力由A 型點陣通過界面?zhèn)鬟f到B 型點陣，其破壞的起始點均為達到弱相的屈服點而發(fā)生失效，如圖9（e）～ （f）。值得一提的是，觀察到的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)變形模式與文獻中報道的完全不同[14]，在這些研究中，異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)均在界面處發(fā)生失效，這種失效機制歸因于界面處的質(zhì)量分布不均。

圖5 SF 法和本文方法生成的P–G 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)試驗與仿真結(jié)果Fig.5 Experiment and simulation results of P-G multi-lattice structures generated by SF method and our method

圖6 SF 法和本文方法生成的P–G 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)應(yīng)力–應(yīng)變曲線Fig.6 Stress–strain curve of P–G multi-lattice structures generated based on SF method and our method

表2 不同過渡邊界的異構(gòu)三維點陣結(jié)構(gòu)機械性能Table 2 Mechanical properties of 3D multi-lattice structures with different transition boundaries

圖7 具有兩種子結(jié)構(gòu)的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)典型排列模式Fig.7 Typical arrangement patterns of multi-lattice structure composed of two substructures

圖8 3 種類型異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)及P、G、IWP 均勻點陣結(jié)構(gòu)Fig.8 Three types of multi-lattice structures and uniform P, G, IWP lattice structures

圖9 加載方向平行于融合方向的應(yīng)力云圖Fig.9 Stress cloud diagram with loading direction parallel to the fusion direction

如圖10 所示，從承載能力看，對于單一構(gòu)型點陣結(jié)構(gòu)，P 型點陣承載效果顯著高于G 型和IWP 型點陣結(jié)構(gòu)，強度分別為G 型、IWP 型的1.7倍和2.8 倍，而模量更是高達5 倍以上，但其達到屈服時的應(yīng)變非常小，這對于能量吸收效果是不利的，這也表明不同點陣結(jié)構(gòu)具有獨特的性能優(yōu)勢，同時也說明了沿著加載方向的桿能顯著提升結(jié)構(gòu)強度，具有一定角度的桿能增加結(jié)構(gòu)的塑性。而對于平行模式的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，其強度與模量均在構(gòu)成該異構(gòu)點陣的兩種均質(zhì)點陣子結(jié)構(gòu)的強度與模量之間。就數(shù)值而言，模量和強度為：P–G>P–IWP>IWP–G，這表明構(gòu)成異構(gòu)點陣的子結(jié)構(gòu)承載能力越高，表現(xiàn)出的機械性能越好。

圖10 加載方向平行于融合方向的應(yīng)力–應(yīng)變曲線及機械性能Fig.10 Stress-strain curves and mechanical properties of the loading direction parallel to the fusion direction

對于垂直模式的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，其與平行模式有著明顯不同的變形破壞模式，如圖11 所示。對于P–G異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)為拉伸主導(dǎo)與彎曲主導(dǎo)型點陣結(jié)構(gòu)的組合，承受載荷后，P 型點陣沿著載荷方向的桿承受較大的壓力，率先達到屈服，進而產(chǎn)生破壞的起始點，表現(xiàn)出逐層破壞，隨著壓縮應(yīng)變的進一步增大，載荷通過界面?zhèn)鬟f到G 型點陣，此時，整個結(jié)構(gòu)主要為G 型點陣承受載荷，發(fā)生剪切破壞，P 型點陣的垂直桿也被拉拽成與載荷方向成一定角度桿，從而表現(xiàn)出逐層與剪切帶組合的變形破壞模式，如圖11（a）所示。P–IWP 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)與P–G 表現(xiàn)出類似的變形破壞模式,如圖11（b）所示。而對于IWP–G 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，其為兩種彎曲主導(dǎo)型點陣結(jié)構(gòu)的組合，變形時出現(xiàn)的起始剪切帶從G型點陣通過界面擴展到IWP型點陣，整個結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出剪切帶破壞，如圖11（c）所示。

圖11 加載方向垂直于融合方向的應(yīng)力云圖Fig.11 Stress cloud diagram with loading direction perpendicular to the fusion direction

表3 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)楊氏模量理論預(yù)測Table 3 Theoretical prediction of Young’s modulus of multi-lattice structures

如圖12 所示，展示了垂直模式下的6 種點陣結(jié)構(gòu)應(yīng)力–應(yīng)變曲線及強度與模量值。數(shù)值上，就強度與模量而言：P–G>P–IWP>IWP–G；與平行模式的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)具有一致的結(jié)論，垂直模式的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)的強度與模量也介于構(gòu)成該異構(gòu)點陣的兩種均質(zhì)點陣子結(jié)構(gòu)的強度與模量之間。但垂直模式的模量顯著高于平行模式的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)，這是因為垂直模式由兩種均質(zhì)點陣結(jié)構(gòu)共同承受載荷，而平行模式破壞的起始點為弱相。

事實上，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一般框架中，通常利用復(fù)合材料的混合規(guī)則來預(yù)測異質(zhì)結(jié)構(gòu)的宏觀性能，該框架亦可應(yīng)用于預(yù)測異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)的楊氏模量，對于平行模式的楊氏模量可以由式（8）預(yù)測。式中，E為異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)的理論預(yù)測值；n為總層數(shù)；Ei為對應(yīng)層的彈性模量。該模型類似于彈簧串聯(lián)的等效剛度求解。對于垂直模式的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)楊氏模量預(yù)測為非常狹窄的，其楊氏模量通常難以通過數(shù)值仿真精確求解，為簡化預(yù)測公式，忽略過渡區(qū)對異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)楊氏模量的影響，同時將該模型用于檢查融合效果的參考。如表3 所示，相較于平行模式，垂直模式下的預(yù)測精度較高；兩種模式下，理論預(yù)測的楊氏模量均低于有限元仿真值，這表明本文設(shè)計方法的融合過渡區(qū)域的拓撲結(jié)構(gòu)具有較高的抵抗變形能力，能夠保證不因界面的弱剛度而使結(jié)構(gòu)發(fā)生失效。

3 結(jié)論

理論上，應(yīng)該將異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)劃分為A 型點陣、過渡區(qū)和B 型點陣3 部分，但過渡區(qū)域的寬度往往是

（1） 通過自主可控調(diào)節(jié)過渡區(qū)域的相對密度變化梯度，實現(xiàn)了融合邊界的幾何高階連續(xù)優(yōu)化，改善了不同點陣構(gòu)型之間的連通性。

（2）異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)合理的界面形態(tài)能夠有效傳遞載荷，避免載荷集中在界面處，造成結(jié)構(gòu)發(fā)生災(zāi)難性破壞。

圖12 加載方向垂直于融合方向的應(yīng)力–應(yīng)變曲線及機械性能Fig.12 Stress–strain curves and mechanical properties of the loading direction perpendicular to the fusion direction

（3） 異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)的強度與模量均在構(gòu)成該異構(gòu)點陣的兩種均質(zhì)點陣子結(jié)構(gòu)的強度與模量之間；此外，垂直模式下的模量與強度高于平行模式。

（4）在平行模式下，異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)破壞的起始點均為達到子結(jié)構(gòu)弱相的屈服點而發(fā)生失效；而垂直模式下，對于拉伸與彎曲主導(dǎo)組成的異構(gòu)點陣結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出逐層與剪切帶組合的變形破壞模式。