PC簡支梁預(yù)應(yīng)力效應(yīng)與結(jié)構(gòu)自振頻率研究

周國賢

(北京市建設(shè)工程質(zhì)量第三檢測所有限責(zé)任公司，北京 100037)

0 引 言

隨著預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)在我國橋梁工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，其在服役過程中受荷載和環(huán)境的影響，產(chǎn)生不同程度的預(yù)應(yīng)力損失，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的使用性能下降。準(zhǔn)確快速識別現(xiàn)存有效預(yù)應(yīng)力，對結(jié)構(gòu)性能的量化評估具有重要意義。

利用結(jié)構(gòu)自振頻率來識別預(yù)應(yīng)力筋的有效應(yīng)力是一種理論可行的無損檢測方法。由經(jīng)典理論[1]提出的梁在軸向力作用下橫向自由振動方程得到隨軸向力增加，固有頻率減小的結(jié)論，為預(yù)應(yīng)力有效應(yīng)力識別提供了理論依據(jù)。但Saiidi[2]等人對一系列預(yù)應(yīng)力損失的情況進(jìn)行動力試驗表明一階自振頻率隨著軸向力的增大而增大，與預(yù)測結(jié)果不符。對于Saiidi的試驗結(jié)果：Dallasta和Dezi[3]認(rèn)為在線彈性范圍內(nèi)，預(yù)應(yīng)力對梁彎曲振動頻率的影響可以忽略，出現(xiàn)上述情況是由于未考慮預(yù)應(yīng)力筋的非線性效應(yīng)。Jain和Goel則指出預(yù)應(yīng)力屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力，不會引起“壓縮軟化”效應(yīng)。Miyamoto[4]等人分析體外預(yù)應(yīng)力加固梁結(jié)構(gòu)時建立的考慮預(yù)應(yīng)力增量的運動方程卻得到隨預(yù)應(yīng)力增大，自振頻率趨于降低的結(jié)論。Chan和Yung[5]也在預(yù)應(yīng)力識別的理論研究中指出“壓縮軟化”效應(yīng)造成橋梁自振頻率隨預(yù)應(yīng)力的增大而降低。而Hamed和Frostig[6]通過能量法對粘結(jié)與無粘結(jié)情況分析中得出預(yù)應(yīng)力大小不會影響結(jié)構(gòu)自振頻率的結(jié)論。

同時，預(yù)應(yīng)力效應(yīng)與結(jié)構(gòu)自振頻率的關(guān)系受到多種因素的影響。張耀庭[7-8]等人通過對粘結(jié)和無粘結(jié)簡支梁試驗，都得到預(yù)應(yīng)力增大，結(jié)構(gòu)自振頻率增大的結(jié)果。劉齡嘉[9]等人通過不同梁截面試驗得出預(yù)應(yīng)力對混凝土梁的振動頻率的影響與梁截面形式有關(guān)，而且振動頻率隨預(yù)應(yīng)力值的增大而增大。陳一飛[10]等人通過三根無粘結(jié)簡支梁試驗得出預(yù)應(yīng)力對頻率的影響分為前后兩個階段。(1)前期，自振頻率隨著預(yù)應(yīng)力增加而增加；(2)后期，自振頻率隨著預(yù)應(yīng)力增加而下降。并將其歸結(jié)于預(yù)應(yīng)力對混凝土內(nèi)部微裂紋的作用。熊輝霞[11]等人基于損傷理論對結(jié)構(gòu)彈性模量分析提出了負(fù)損傷理論，認(rèn)為預(yù)應(yīng)力提高了彈性模量，從而增強結(jié)構(gòu)剛度。吳澤玉[12]等人又討論了不同布筋形式對自振頻率的影響，得到直線布筋對頻率的影響小于折線布筋和曲線布筋，折線布筋對頻率的影響略大于曲線布筋。譚國金[13]等人提出了偏心直線配筋的預(yù)應(yīng)力簡支梁自振頻率計算方法，公式表明自振頻率隨預(yù)應(yīng)力增大而增大，而且與偏心距有關(guān)。

目前，預(yù)應(yīng)力效應(yīng)機理尚未明確，現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)動力檢測方法并不能直接用于評估橋梁的內(nèi)力狀態(tài)，尤其是預(yù)應(yīng)力橋梁結(jié)構(gòu)中現(xiàn)存應(yīng)力的識別。預(yù)應(yīng)力構(gòu)件作為結(jié)構(gòu)的承重體系的主要構(gòu)件，預(yù)應(yīng)力損失過大必定影響結(jié)構(gòu)的安全性，而預(yù)應(yīng)力效應(yīng)機理及其影響因素研究是建立有效預(yù)應(yīng)力快速識別指標(biāo)的基礎(chǔ)。

1 預(yù)應(yīng)力效應(yīng)機理分析

1.1 有無“壓縮效應(yīng)”分析

經(jīng)典理論對承受軸向力的梁做出了分析，給出了考慮軸向力影響的梁的彎曲振動方程。

(1)

自振頻率表達(dá)式為

(2)

式中：m(x)為分布質(zhì)量；N為軸力；EI(x)為彎曲剛度；ωn為n階自振頻率。

顯然，軸向力與曲率的乘積形成了作用在梁上的附加豎向荷載，導(dǎo)致頻率降低。

值得注意的是，經(jīng)典模型中的軸向力與預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的等效軸力并不相同，對于預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，任何配筋形式的梁在振動過程中，預(yù)應(yīng)力筋與梁軸線相對位置不會發(fā)生改變，其產(chǎn)生的等效軸力方向會隨曲率變化而變化，從而振動方程中軸力與曲率的乘積始終為零，微元兩側(cè)軸力受到預(yù)應(yīng)力筋長度變化的影響，數(shù)值會增大，但不會對梁產(chǎn)生附加豎向荷載，即預(yù)應(yīng)力等效軸力只是改變了結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平，并不會引起“壓縮軟化”效應(yīng)，其橫向振動方程仍為

=P(x,t)

(3)

自振頻率計算式為

(4)

1.2 影響因素分析

公式(4)表明結(jié)構(gòu)自振頻率與跨度L、彈性模量E、截面慣性矩I、分布質(zhì)量m有關(guān)。結(jié)構(gòu)跨度是結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要參數(shù)之一，高跨比能夠直接反應(yīng)結(jié)構(gòu)的整體剛度，從而對結(jié)構(gòu)自振頻率產(chǎn)生直接影響。然而，對于已有預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，跨度和質(zhì)量往往是固定的，不會引起自振頻率的變化。文獻(xiàn)[11]中試驗表明應(yīng)力水平與材料彈性模量之間存在關(guān)系。預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中由于預(yù)應(yīng)力的存在，給予了結(jié)構(gòu)一個初始的應(yīng)力狀態(tài)，從而引起材料內(nèi)部的變化，使得混凝土原生微裂縫收縮，從而提高彈性模量，增強結(jié)構(gòu)剛度，結(jié)構(gòu)自振頻率隨預(yù)應(yīng)力的增大而增大。隨預(yù)應(yīng)力的不斷增大，結(jié)構(gòu)處于高應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)預(yù)應(yīng)力達(dá)到一定限值時，繼續(xù)增大預(yù)應(yīng)力，混凝土內(nèi)部開始出現(xiàn)由預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的次生微裂縫，降低了結(jié)構(gòu)的剛度，導(dǎo)致自振頻率下降，從而表現(xiàn)出兩階段的性質(zhì)。結(jié)構(gòu)采用不同的配筋形式和偏心距會影響截面慣性矩的計算，對于曲線和折線配筋的橋梁結(jié)構(gòu)，截面慣性矩沿橋梁長度方向發(fā)生變化，由于配筋形式引起截面慣性矩變化導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的自振頻率與配筋形式有關(guān)。對于直線配筋的結(jié)構(gòu)，截面慣性矩沿梁的長度不會發(fā)生變化，但是改變偏心距同樣會對截面慣性矩產(chǎn)生影響。因此，預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響是預(yù)應(yīng)力對彈性模量和截面慣性矩綜合作用的結(jié)果。

2 粘結(jié)和無粘結(jié)機理分析

2.1 截面慣性矩取值

對于粘結(jié)和無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)均不會產(chǎn)生“壓縮軟化”效應(yīng)，二者在預(yù)應(yīng)力大小等值的情況下使結(jié)構(gòu)處于相同的應(yīng)力狀態(tài)，所以彈性模量變化是相同的。但是對于粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，預(yù)應(yīng)力筋與混凝土之間能夠共同工作，設(shè)計[14]中采用換算截面計算結(jié)構(gòu)剛度，而無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力筋與混凝土之間可以相對滑動，采用去除管道面積的凈截面計算結(jié)構(gòu)剛度?？紤]截面慣性矩取值，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的自振頻率要大于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。

2.2 變形協(xié)調(diào)

在振動過程中，由于混凝土與預(yù)應(yīng)力筋之間存在粘結(jié)力，使得預(yù)應(yīng)力筋的變形與周圍混凝土的變形保持一致，即在動力反應(yīng)中，預(yù)應(yīng)力筋與混凝土變形協(xié)調(diào)。對于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力筋與混凝土之間可以發(fā)生相對滑動，預(yù)應(yīng)力筋的變形與周圍混凝土的(軸向)變形并不一致。為了分析粘結(jié)與無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)對自振頻率的影響，可以將預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)視為混凝土與預(yù)應(yīng)力筋兩個子結(jié)構(gòu)，計算預(yù)應(yīng)力筋對整體結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)大小。忽略預(yù)應(yīng)力筋的彎曲剛度(拉力影響的分布參數(shù)體系)，其自振頻率可采用下式[6]。

(5)

式中：Lcable、mcable和T分別表示預(yù)應(yīng)力筋長度、分布質(zhì)量和拉力。

可以看到，影響預(yù)應(yīng)力筋自振頻率的關(guān)鍵參數(shù)是拉力T。在拉力相同的情況下，預(yù)應(yīng)力筋對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)與其和混凝土工作時的接觸方式有關(guān)。粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋受到周圍混凝土的固結(jié)約束，而由于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋存在套管，混凝土不能形成對預(yù)應(yīng)力筋的軸向約束，使得在振動過程中，無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋的軸向應(yīng)變小于相應(yīng)位置上混凝土的應(yīng)變，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋則與相應(yīng)位置混凝土應(yīng)變相同。振動過程中，由于粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋增量產(chǎn)生的附加拉力ΔT大于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋產(chǎn)生的附加拉力ΔT′，從附加預(yù)應(yīng)力大小的角度，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)自振頻率大于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。

變形協(xié)調(diào)對自振頻率的影響還可以從能量角度得到解答，體系中的總能量包括系統(tǒng)動能和應(yīng)變能。

(6)

式中:E為系統(tǒng)總能量，EK為系統(tǒng)動能，ES為應(yīng)變能，ρ為密度，u(x,t)為結(jié)構(gòu)的橫向位移，“·”表示位移對時間的導(dǎo)數(shù)，σx和εx、σxcab和εxcab分別表示混凝土應(yīng)力應(yīng)變和預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力應(yīng)變。

由于預(yù)應(yīng)力筋有無粘結(jié)與結(jié)構(gòu)密度和結(jié)構(gòu)橫向位移無關(guān)，所以兩種情況系統(tǒng)動能理論上等值，其主要差異在于系統(tǒng)應(yīng)變能中由預(yù)應(yīng)力筋變形產(chǎn)生的應(yīng)變能。由上述對預(yù)應(yīng)力筋附加拉力的分析可知，與混凝土接觸方式導(dǎo)致無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力應(yīng)變能小于粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)變能，即在給予結(jié)構(gòu)相同初始振動條件下，采用無粘結(jié)形式的結(jié)構(gòu)振動應(yīng)變能總是小于相同條件下粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，即粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的剛度大于無粘結(jié)結(jié)構(gòu)，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)自振頻率大于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。

2.3 接觸剛度

預(yù)應(yīng)力筋有無粘結(jié)還存在與混凝土的接觸剛度問題，對于接觸剛度有如下結(jié)論[15]。動態(tài)相對位移幅值越大，動態(tài)接觸剛度增量和接觸阻尼也越大。粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋與混凝土的接觸剛度明顯大于無粘結(jié)情況，所以在相同位移幅值情況下，其接觸阻尼大于無粘結(jié)情況，已有試驗[16]也表明粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)阻尼較大，其耗能能力優(yōu)于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。

粘結(jié)與無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)自振頻率影響是上述三個方面的綜合作用，對截面慣性矩取值和變形協(xié)調(diào)影響分析得到粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)自振頻率大于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，考慮接觸阻尼，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)擁有較好的耗能能力。

3 分析驗證

3.1 模型建立

對文獻(xiàn)[16]中試驗梁進(jìn)行建模分析，梁的計算跨度為4 000 mm，矩形截面高300 mm，寬200 mm，截面上部配置2根直徑14 mm的HRB335架立筋，底部配置3根直徑18 mm的HRB335縱向鋼筋，曲線配置2根預(yù)應(yīng)力直徑15.2 mm的低松弛高強鋼絞線。梁體材料為C40混凝土，彈性模量為3.45×104MPa，阻尼比為0.05，預(yù)應(yīng)力鋼絞線彈性模量為1.95×105MPa，阻尼比為0.02。

模型采用一致質(zhì)量法和Lanczos法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力分析，得到結(jié)構(gòu)的前三階自振頻率，模型所得數(shù)據(jù)與試驗和ANSYS模型數(shù)據(jù)統(tǒng)計見表1。采用midas Civil建立的結(jié)構(gòu)模型計算結(jié)果，一階頻率與試驗數(shù)據(jù)的最大誤差為3.7%。利用該模型可以分析不同線型的預(yù)應(yīng)力筋自振頻率的變化規(guī)律。

表1 模型結(jié)果與文獻(xiàn)[16]數(shù)據(jù)對比

改變布筋形式和偏心距分析粘結(jié)與無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，可以得到不同線型和不同偏心距簡支梁的自振頻率變化規(guī)律。對預(yù)應(yīng)力筋形狀分為直線、折線和拋物線三種，其中直線偏心距又分為0 mm、50 mm和100 mm三種，折線和拋物線偏心距分為50 mm和100 mm兩種。運行分析得到不同條件下簡支梁的一階自振頻率，通過比較不同條件下一階頻率的變化規(guī)律，分析偏心距和線型對粘結(jié)與無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力簡支梁動力特性影響。

3.2 粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)果分析

對于粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，不同布筋形式的截面慣性矩的取值不同，相同偏心下，直線配筋沿梁長度方向上預(yù)應(yīng)力筋換算面積與混凝土梁中性軸之間的距離不變，且數(shù)值與偏心距e相等。曲線配筋和折線配筋的預(yù)應(yīng)力筋與中性軸之間的距離沿梁長度方向發(fā)生變化，且數(shù)值≤偏心距e。所以相同偏心距下，直線配筋慣性矩最大，曲線配筋略大于折線配筋，由自振頻率計算式(4)，結(jié)構(gòu)自振頻率：直線>曲線>折線。直線偏心不同偏心距，截面慣性矩按下式計算

I=Ih+Is+(αEp-1)Ap×e2

(7)

式中：Ih和Is分別表示混凝土截面慣性矩和普通鋼筋的換算截面慣性矩，αEp為預(yù)應(yīng)力筋彈性模量與混凝土彈性模量之比，AP為預(yù)應(yīng)力鋼筋截面面積，e為偏心距。

公式(7)表明截面慣性矩取值與偏心距e的平方成正比。結(jié)構(gòu)自振頻率隨偏心距增大呈現(xiàn)非線性增長。

通過模型數(shù)據(jù)作圖分析，發(fā)現(xiàn)對圖粘結(jié)預(yù)應(yīng)力不同條件下一階頻率的變化趨勢與理論分析一致。

(1)相同偏心下，一階頻率直線布筋最大，曲線次之，折線最小，三者之間呈現(xiàn)線性增長關(guān)系。

(2)直線偏心下，一階頻率隨偏心距增大呈現(xiàn)非線性增長，偏心距越大頻率增長速率越快。

3.3 無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)果分析

對于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，截面慣性矩采用去除孔道的凈截面計算。

I=Ik+Is+[(αEp-1)Ap-AK]×e2

(8)

式中:AK為預(yù)應(yīng)力孔道面積，其余各項含義同式(7)。由于直線配筋距離截面中性軸最遠(yuǎn)所以慣性矩?fù)p失最大，曲線次之，折線最小。由自振頻率計算式，不同配筋形式的自振頻率關(guān)系為：直線<曲線<折線。同理，直線配筋不同偏心的情況，自振頻率隨偏心距增長非線性下降。無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力不同條件下一階頻率的變化趨勢與理論分析結(jié)果一致。

(1)相同偏心下，一階頻率折線布筋最大，曲線次之，直線最小，三者之間呈現(xiàn)線性增長關(guān)系。

(2)直線偏心下，一階頻率隨偏心距增大呈現(xiàn)非線性下降，偏心距越大頻率下降速率越快。

上述規(guī)律表明粘結(jié)預(yù)應(yīng)力簡支梁結(jié)構(gòu)與無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力簡支梁結(jié)構(gòu)自振頻率表現(xiàn)出相反的的性質(zhì)。粘結(jié)預(yù)應(yīng)力簡支梁一階自振頻率按照直線布筋、曲線布筋和折線布筋依次近似線性遞減(忽略考慮尺寸效應(yīng))，而無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力簡支梁則接近線性遞增?？紤]直線配筋不同偏心時，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)一階自振頻率隨偏心距增加呈非線性增長，偏心距越大，頻率越高，變化速率越快。無粘結(jié)一階自振頻率隨偏心距增大快速降低，偏心距越大，頻率越低。總體來看粘結(jié)預(yù)應(yīng)力簡支梁一階頻率要大于無粘結(jié)簡支梁，其中直線布筋差別最為顯著，曲線次之，折線最小，分別為1.24%、0.87%和0.47%?？紤]截面慣性矩的影響，討論預(yù)應(yīng)力線型和偏心結(jié)構(gòu)自振頻率的變化時，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力和無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力的變化趨勢相反，實際工作中應(yīng)該將兩者分開考慮。同時，表1中數(shù)據(jù)，無粘結(jié)和有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋的一階頻率試驗結(jié)果分別為30.68 rad/s和33.19 rad/s，由頻率計算公式(4)，剛度比為頻率比的平方，可以得到無粘結(jié)的剛度為有粘結(jié)的85.4%。

圖1 粘結(jié)與無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力一階頻率變化趨勢

4 結(jié) 論

(1)從有無豎向附加荷載分析預(yù)應(yīng)力不會產(chǎn)生“壓縮軟化”效應(yīng)，軸向力模型不適用于預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。預(yù)應(yīng)力效應(yīng)通過引起彈性模量和截面慣性矩的變化影響結(jié)構(gòu)自振頻率。

(2)從截面慣性矩取值、變形協(xié)調(diào)和接觸剛度討論了粘結(jié)和無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)影響自振頻率的差異，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)自振頻率大于無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。

(3)考慮截面慣性矩的影響討論預(yù)應(yīng)力線型和偏心結(jié)構(gòu)自振頻率的變化時，粘結(jié)預(yù)應(yīng)力和無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力的變化趨勢相反，實際工作中應(yīng)該將兩者應(yīng)該分開考慮。