從幾道考研題談線性變換與矩陣命題的轉(zhuǎn)化

尹小艷, 施德才

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安 710071)

0 引言

線性空間的結(jié)構(gòu)及其上的線性變換理論是高等代數(shù)的精髓。但由于其概念的高度抽象性和形式的復(fù)雜多樣性，線性變換歷來是線性代數(shù)、高等代數(shù)教與學(xué)的核心和難點(diǎn)，也是各類考試，尤其是研究生招生這類綜合性較強(qiáng)的選拔類考試中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題[1-3]。

高等代數(shù)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想就是化抽象為具體,將抽象的線性變換轉(zhuǎn)化為具體的矩陣問題研究便是這種思想的典型體現(xiàn)。設(shè)V為數(shù)域P上任意n維線性空間，記L(V)為V上所有線性變換構(gòu)成的線性空間，記Pn和Pn×n分別為數(shù)域P上所有n維向量和所有n階方陣構(gòu)成的線性空間。取定V的一組基ε1,ε2,…,εn，則?α∈V，α在這組基下有唯一的坐標(biāo)x=(x1,x2,…,xn)T∈Pn與之對(duì)應(yīng)；同時(shí)，對(duì)任意σ∈L(V),σ在這組基下有唯一的矩陣A與之對(duì)應(yīng)(σ(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)A)。于是, 分別在抽象的線性空間V和L(V)與具體簡(jiǎn)單的空間Pn和Pn×n之間自然地形成兩個(gè)重要映射:

4)σα=λα,α≠0?Ax=λx,x≠0，即向量α∈V是線性變換σ的特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)其坐標(biāo)x是矩陣A的特征向量；

5) dimσV=rank(A),dimσ-1(0)=n-rank(A)；

6) 記A=(a1,a2,…,an),σ(εi1),σ(εi2),…,σ(εir)為σV的基當(dāng)且僅當(dāng)ai1,ai2,…,air為A的列空間的基。

由此，不管V中的元素是什么，也不管V中加法和數(shù)乘如何抽象復(fù)雜，V中的線性運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為Pn中的簡(jiǎn)單運(yùn)算；同樣，L(V)中線性變換之間抽象的加法、復(fù)合、逆變換可以對(duì)應(yīng)為簡(jiǎn)單、具體、熟悉的矩陣求和、矩陣乘法及矩陣求逆運(yùn)算。于是, 簡(jiǎn)單直觀的矩陣與向量運(yùn)算自然成為處理線性變換問題的利器。許多抽象復(fù)雜的線性變換問題，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的矩陣問題，利用矩陣技巧求解，往往給人柳暗花明的驚喜。

1 幾個(gè)具體的例子

比如歐氏空間中正交變換的分解問題。

定義[1]設(shè)η為n維歐氏空間V中一單位向量，線性變換σ,則

σα=α-2(η,α)η

稱為鏡面反射。

引理2[4]已知σ是n維歐氏空間V上的一個(gè)線性變換,σ為鏡面反射的充要條件是σ在V的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣都形如I-2ωωT(稱之為鏡面反射矩陣), 其中ω為Rn中的單位向量。

由(I-2ωωT)(I-2ωωT)=I知，鏡面反射矩陣的逆仍是自身。

例1(2012年浙江大學(xué)考研高等代數(shù)試題) 已知V是n維歐氏空間。

1)設(shè)α0,β0是V上任意兩個(gè)不同的單位向量, 證明存在一個(gè)鏡面反射σ, 使得σα0=β0；

2)證明V上任一正交變換都可以表示成一系列鏡面反射的乘積。

分析這一命題也可見文獻(xiàn)[2], 用線性變換的語言證明非常抽象,過程冗長(zhǎng)繁瑣，且因?yàn)樵趎維空間上，幾何直觀性不強(qiáng)，很難理解。

根據(jù)引理1，任取V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基ε1,ε2,…,εn，V上任意不同的單位向量α0,β0在這組基下對(duì)應(yīng)于Rn中任意單位向量x,y，鏡面反射σ對(duì)應(yīng)于鏡面反射矩陣H,σα0=β0當(dāng)且僅當(dāng)Hx=y。于是例1用矩陣的語言可描述為：

例21)設(shè)x,y是任意兩個(gè)不同的單位實(shí)向量, 證明存在一個(gè)鏡面反射矩陣H,使得Hx=y；

2)證明任一正交矩陣都可以表示成一系列(最多n個(gè))鏡面反射矩陣的乘積。

A=(Hn-1…H2H1)-1=H1H2…Hn-1；

若a=-1，有

這里用矩陣的語言描述和證明例1,簡(jiǎn)潔明了、易于接受。為了強(qiáng)調(diào)矩陣與線性變換的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這種轉(zhuǎn)換的理解，用線性變換的語言做進(jìn)一步說明。

定義σ為σ(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)H，由引理2和引理1知，σ為鏡面反射變換，且必有σα0=β0。

再比如2021年復(fù)旦大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試高代試題中有如下線性變換的題目。

例3已知復(fù)線性空間V上線性變換φ,ψ滿足

φψ-ψφ=φ+ψ,

證明存在V的一組基,使得φ,ψ在這組基下的矩陣都為上三角形。

分析任取空間V的一組基ε1,ε2,…,εn,記線性變換φ,ψ在該基下的矩陣分別為A,B。由引理1，線性變換φ,ψ滿足φψ-ψφ=φ+ψ,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A,B滿足AB-BA=A+B；同時(shí)，由相似關(guān)系的幾何意義(同一線性變換在不同基下的矩陣相似，反之，相似矩陣可以理解為同一線性變換在不同基下的矩陣)知,要證明存在V的一組基,不妨記為e1,e2,…,en，使得φ,ψ在e1,e2,…,en下的矩陣都為上三角形，即要證明矩陣A,B同時(shí)相似于三角形矩陣。

于是上述命題等價(jià)于如下的矩陣同時(shí)相似三角化問題：

例4若復(fù)矩陣A,B滿足AB-BA=A+B,則A,B可同時(shí)相似于上三角形矩陣。

由結(jié)論，要證存在可逆矩陣P,使得P-1AP和P-1BP均為上三角形矩陣，將P按列分塊，不難發(fā)現(xiàn)，滿足條件的矩陣P的第1列必為A,B的公共特征向量。一般地，公共特征向量往往是矩陣同時(shí)對(duì)角化或三角化問題的突破口，找到公共特征向量，再借助于基的擴(kuò)充定理和數(shù)學(xué)歸納法便可得到結(jié)論。

證明首先證A,B有公共特征向量。

令A(yù)+B=C，由AB-BA=A+B知AC-CA=C。取矩陣A的實(shí)部最大的特征值λ，對(duì)應(yīng)特征向量α1，即Aα1=λα1。在等式AC-CA=C兩端右乘α1，得ACα1=(λ+1)Cα1，于是Cα1=Aα1+Bα1=0，否則λ+1為A的特征值，與λ為A的實(shí)部最大的特征值矛盾。從而，Bα1=-Aα1=-λα1，可見α1也是矩陣B的特征向量，對(duì)應(yīng)于特征值-λ。

其次對(duì)階數(shù)n做數(shù)學(xué)歸納以證明原命題。

當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。假設(shè)命題對(duì)n-1階矩陣成立，以下考慮n階的情形。

由第一步結(jié)論，A,B有公共特征向量α1，且Aα1=λα1,Bα1=-λα1，這里λ為A的實(shí)部最大的特征值。將α1擴(kuò)充成Cn的一組基α1,α2,…,αn，令T=(α1,α2,…,αn)，則T可逆，且

其中A1,B1為n-1階復(fù)矩陣。代入條件AB-BA=A+B可得A1B1-B1A1=A1+B1。

注記1事實(shí)上，回到例3線性變換的語言，有

于是，令(e1,e2,…,en)=(ε1,ε2,…,εn)P,則必有φ,ψ在基e1,e2,…,en下的矩陣分別為三角陣Λ和Δ。

當(dāng)然，也可以利用線性變換的思想方法解決許多棘手的矩陣問題，比如矩陣逆及秩的等式及不等式等[5-6]。下面給出關(guān)于矩陣特征向量的命題，若僅從矩陣的角度，較難證明，借助于線性變換的概念，可以容易地解決。

例5[1]設(shè)n階復(fù)矩陣A,B滿足AB=BA，則A,B有公共特征向量。

用線性變換的語言描述：

例6設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，σ,τ是V上的線性變換，且στ=τσ，證明σ,τ至少有一個(gè)公共特征向量。

證明先證若λ是線性變換σ的特征值, 則Vλ={ξ|σξ=λξ}是線性變換τ的不變子空間。事實(shí)上, ?ξ∈Vλ,由σ(τξ)=τσξ=λ(τξ)知τξ∈Vλ。

下證σ,τ至少有一個(gè)公共特征向量。

注記2在將矩陣的命題與線性變換的命題相互對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換時(shí)，要注意基的適當(dāng)選取。

比如歐氏空間中，正交變換和正交矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 對(duì)稱(反對(duì)稱)變換與對(duì)稱(反對(duì)稱)矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系等，基必須取空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，因?yàn)樵诜菢?biāo)準(zhǔn)正交基下,正交變換的矩陣也可能是非正交的, 且正交陣對(duì)應(yīng)的線性變換也可以不是正交變換。

注記3熟練掌握和靈活運(yùn)用線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換，要深刻理解矩陣的幾種關(guān)系。

1)同一線性變換在不同基下的矩陣相似，反之，相似矩陣必可以看成同一線性變換在不同基下的矩陣，這是矩陣相似關(guān)系的幾何意義；

2)實(shí)對(duì)稱矩陣合同關(guān)系的本質(zhì)是實(shí)二次型在非退化的線性替換前后的矩陣之間的關(guān)系，也是同一歐氏空間中不同基的度量矩陣之間的關(guān)系。

2 結(jié)論

線性空間與線性變換是幾何結(jié)論，矩陣是代數(shù)方法。V與Pn及L(V)與Pn×n的同構(gòu)映射架起了幾何直觀和代數(shù)方法的橋梁。在高等代數(shù)的教學(xué)過程中，需要著意強(qiáng)化和反復(fù)體現(xiàn)這一重要的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生靈活切換，熟練地用矩陣技巧解決線性變換問題，同時(shí)從線性變換觀點(diǎn)思考某些矩陣問題。

除同構(gòu)外，高等代數(shù)中還蘊(yùn)含著許多其他豐富精妙的數(shù)學(xué)思想，比如等價(jià)分類思想、數(shù)形結(jié)合思想等。在教學(xué)過程中，要不斷總結(jié)、強(qiáng)調(diào)和應(yīng)用這些思想方法，潤(rùn)物無聲地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)。