基于矩陣填充的二維稀疏高分辨ISAR 成像方法

徐 芳，劉詩(shī)釗，陳 莉，程 琪，朱逸飛，呂明久，徐 健

（1.空軍預(yù)警學(xué)院雷達(dá)士官學(xué)校，湖北 武漢 430019；2.中國(guó)人民解放軍 95980 部隊(duì)，湖北 襄陽(yáng) 441000）

0 引言

逆合成孔徑雷達(dá)（ISAR）系統(tǒng)通過(guò)發(fā)射寬帶信號(hào)實(shí)現(xiàn)高的距離分辨，并利用合成孔徑獲得方位高分辨，高的二維分辨率可以提供更為精細(xì)的目標(biāo)特征。步進(jìn)頻率（SF）波形通過(guò)發(fā)射載頻連續(xù)跳變的窄帶子脈沖，在接收端實(shí)現(xiàn)大的合成寬帶，并利用多個(gè)發(fā)射脈沖串實(shí)現(xiàn)方位向高分辨，這樣不僅可以實(shí)現(xiàn)高的二維分辨能力，而且對(duì)于降低系統(tǒng)復(fù)雜度、實(shí)現(xiàn)雷達(dá)多模工作方式均具有重要意義。

在SF ISAR 成像過(guò)程中，SF 信號(hào)需發(fā)射多個(gè)子脈沖才能獲得大的信號(hào)帶寬，因此需要較長(zhǎng)的相關(guān)處理時(shí)間（CPI）。雖然長(zhǎng)CPI 可以提高方位分辨率，但現(xiàn)代雷達(dá)的多功能工作模式使得其很難只對(duì)單個(gè)目標(biāo)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間觀(guān)測(cè)。此外，實(shí)際環(huán)境中存在的噪聲、雜波等干擾也會(huì)造成部分回波數(shù)據(jù)不可用的情況。針對(duì)上述情況，通過(guò)發(fā)射稀疏步進(jìn)頻率波形，即僅發(fā)射完整脈沖串中的部分子脈沖，不僅可以避開(kāi)干擾頻段，而且極大縮短了脈沖串之間的相干時(shí)間。然而，子脈沖的稀疏以及相關(guān)處理時(shí)間的減少會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)處理算法成像分辨率的降低。近年來(lái)提出的稀疏表示特別是壓縮感知（CS）理論為稀疏條件下的高分辨成像提供了新的途徑。例如，文獻(xiàn)［2，4］等研究了基于CS 方法的稀疏調(diào)頻步進(jìn)信號(hào)高分辨成像方法，獲得了回波稀疏條件下的高分辨圖像。目前基于CS的SF ISAR 成像方法大都假設(shè)子脈沖回波是塊稀疏的，也就是回波信號(hào)矩陣的整行或者整列數(shù)據(jù)缺失，而這種回波稀疏方式對(duì)應(yīng)的是所有發(fā)射脈沖串中發(fā)射的子脈沖個(gè)數(shù)以及載頻均是相同的。但是實(shí)際應(yīng)用中，子脈沖稀疏位置、每組脈沖串發(fā)射的子脈沖個(gè)數(shù)等通常隨外界環(huán)境、雷達(dá)系統(tǒng)多模工作任務(wù)的變化而變化，因此回波矩陣通常是隨機(jī)稀疏的。此時(shí)，傳統(tǒng)CS 方法無(wú)法直接處理這種稀疏回波模型，雖然可以通過(guò)矩陣向量化來(lái)進(jìn)行處理，但帶來(lái)的卻是計(jì)算復(fù)雜度的大幅提升，其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值大打折扣。

矩陣填充（MC）作為繼壓縮感知理論之后被提出的另一類(lèi)稀疏數(shù)據(jù)恢復(fù)理論，與CS 重構(gòu)理論需要數(shù)據(jù)滿(mǎn)足稀疏性相似，假設(shè)回波數(shù)據(jù)存在低秩特性且缺失數(shù)據(jù)存在隨機(jī)性，那么就可以將完整數(shù)據(jù)的恢復(fù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行精確重構(gòu)。由于其具有簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，因此在圖像恢復(fù)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，本文提出一種基于矩陣填充的二維隨機(jī)稀疏高分辨ISAR 成像方法。首先，基于SF ISAR 回波信號(hào)具有的隨機(jī)稀疏特征以及回波數(shù)據(jù)具有的低秩特性，將完整回波數(shù)據(jù)的恢復(fù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為MC 填充重構(gòu)模型；然后基于MC 算法得到恢復(fù)的全數(shù)據(jù)矩陣；最后，利用得到的全數(shù)據(jù)矩陣，直接進(jìn)行二維FFT 處理即可得到最終的高分辨ISAR 成像結(jié)果。該方法利用矩陣填充理論來(lái)解決回波矩陣隨機(jī)稀疏情況下的數(shù)據(jù)恢復(fù)問(wèn)題，既避免了傳統(tǒng)CS 方法的向量化處理，獲得了高分辨的成像結(jié)果，又具有簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)。仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

1 二維SF ISAR 成像模型

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射的為頻率步進(jìn)信號(hào)，在成像過(guò)程中總共需要發(fā)射N組脈沖串，每組脈沖串中含有個(gè)子脈沖，其第n組脈沖串中的第個(gè)子脈沖信號(hào)可以表示為：

經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償后，ISAR 模型可以轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)臺(tái)模型進(jìn)行處理。假設(shè)目標(biāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，此時(shí)R(n NT)可以等效為：

假設(shè)用來(lái)表示整個(gè)回波信號(hào)矩陣，那么式（6）表示為矩陣形式為

式中，∈C即為最終的二維成像結(jié)果，∈C以及∈C分別表示距離向以及方位向傅里葉矩陣，因此可以直接將回波矩陣進(jìn)行二維FFT 處理即可得出最終的高分辨成像結(jié)果。

由于SF 信號(hào)在發(fā)射過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)外界環(huán)境以及雷達(dá)多模工作模式所導(dǎo)致的回波信號(hào)稀疏的情況，回波信號(hào)缺失的數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)出如圖1 所示的隨機(jī)性。

圖1 稀疏回波數(shù)據(jù)示意圖（黑色部分代表缺失的數(shù)據(jù)，白色部分表示接收的回波數(shù)據(jù)）

假設(shè)存在只包含“0”和“1”元素的稀疏采樣矩陣∈C，其中“0”表示缺失的子脈沖數(shù)據(jù)，“1”代表接收的回波數(shù)據(jù)?；谑剑?），上述稀疏回波采樣過(guò)程可以表示為：

對(duì)于上述經(jīng)過(guò)向量化處理的二維重構(gòu)模型，可以利用CS 方法進(jìn)行稀疏重構(gòu)。假設(shè)全數(shù)據(jù)矩陣維度為256×256，目標(biāo)場(chǎng)景劃分的維度大小為512×512。那么此時(shí)的字典矩陣的維度為256×512，二維重構(gòu)結(jié)果對(duì)應(yīng)的一維向量長(zhǎng)度為512。對(duì)于如此大的矩陣維度，一般性能的計(jì)算機(jī)將會(huì)無(wú)能為力，為此提出一種基于MC 的二維稀疏高分辨成像方法。

2 基于MC 的稀疏高分辨成像方法

2.1 回波數(shù)據(jù)低秩特性分析

對(duì)于MC 理論，其前提條件為數(shù)據(jù)矩陣必須具有低秩特性以及稀疏回波具有隨機(jī)性。在上一節(jié)的分析中可以看出回波稀疏位置滿(mǎn)足隨機(jī)性分布，為此分析回波數(shù)據(jù)矩陣的低秩性質(zhì)。

為不失一般性，首先考慮只有一個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn)的情況。此時(shí)，式（7）可以表示為：

根據(jù)式（12）可以看出，回波信號(hào)的秩小于目標(biāo)散射點(diǎn)個(gè)數(shù)。在ISAR 成像中，目標(biāo)散射點(diǎn)往往只占目標(biāo)場(chǎng)景的很小一部分，因此?min(，N)。因此，可以看出回波信號(hào)矩陣具有低秩特性。

2.2 基于MC 的稀疏回波重構(gòu)模型

假設(shè)Γ 表示回波信號(hào)中接收信號(hào)位置的索引，此時(shí)接收的稀疏回波數(shù)據(jù)可以表示為：

由于式（14）所示的最小化問(wèn)題為一個(gè)NP 難問(wèn)題，在實(shí)際中往往無(wú)法求解。為此可以將其松弛為如下的核范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解：

對(duì)于上述最小化問(wèn)題，則可以利用相應(yīng)的優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化，如SVT 算法、ADMiRA 算法以及SVP 算法等。SVT 算法具有優(yōu)化速度快、重構(gòu)精度高等優(yōu)勢(shì)，因此本文采用SVT 算法進(jìn)行全數(shù)據(jù)的恢復(fù)，相應(yīng)的算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程可以參考文獻(xiàn)［10］。

對(duì)于上述恢復(fù)的全數(shù)據(jù)回波矩陣，可以利用CS算法進(jìn)行矩陣形式的二維成像處理。實(shí)際上，直接利用二維FFT 即可得出最終的高分辨ISAR 成像結(jié)果。本文方法的實(shí)現(xiàn)流程圖如圖2 所示。

圖2 本文方法實(shí)現(xiàn)流程示意圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提方法的有效性，本節(jié)利用實(shí)測(cè)坦克T-72 數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，該數(shù)據(jù)為步進(jìn)頻率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)維度為221×79，其實(shí)物原型以及全數(shù)據(jù)條件下的成像結(jié)果如圖3 所示。假設(shè)用表示采樣率，其計(jì)算方法為=/NN，其中為所有接收到的子脈沖采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。對(duì)目標(biāo)場(chǎng)景進(jìn)行網(wǎng)格劃分是假設(shè)=2以及=2N。向量化CS 方法要求的內(nèi)存容量巨大，普通計(jì)算機(jī)根本無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因此此處沒(méi)有給出其相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，只給出了傳統(tǒng)RD 算法以及矩陣形式CS 處理的結(jié)果作為對(duì)比，其中矩陣CS 方法直接利用稀疏數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，且采用的是2D-SL0 算法。圖4 為不同采樣率條件下不同算法的成像結(jié)果。

圖3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)示意圖

從圖4 的結(jié)果可以看出：在回波隨機(jī)稀疏條件下，傳統(tǒng)RD 算法出現(xiàn)很多虛假的重構(gòu)點(diǎn)，使得重構(gòu)圖像不能很好地聚焦。利用CS 方法進(jìn)行重構(gòu)，在進(jìn)行矩陣維直接處理時(shí)無(wú)法根據(jù)數(shù)據(jù)的隨機(jī)稀疏設(shè)置對(duì)應(yīng)的距離、方位二維稀疏基字典，因此最終的重構(gòu)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較多的虛假點(diǎn)，另外由于2D-SL0 算法在重構(gòu)時(shí)只得到目標(biāo)較強(qiáng)的散射點(diǎn)，丟失了很多目標(biāo)細(xì)節(jié)信息，與原圖像相比，重構(gòu)圖像存在明顯的失真。而本文所提出的基于MC 的重構(gòu)方法，首先可以根據(jù)數(shù)據(jù)低秩特征恢復(fù)出全數(shù)據(jù)，然后再利用二維FFT 得到最終的成像結(jié)果，從結(jié)果可以看出相比于其他2 種方法成像結(jié)果最好，具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

圖4 不同采樣率條件下的成像結(jié)果對(duì)比

為進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的有效性，圖5 中給出了不同采樣率以及不同信噪比條件下的重構(gòu)結(jié)果均方誤差（RMSE）曲線(xiàn)，其中研究不同采樣率條件下的重構(gòu)性能時(shí)，固定信噪比為10 dB 不變，同樣的對(duì)于不同信噪比下的重構(gòu)誤差仿真，其采樣率設(shè)置為0.5 不變。從圖5 中也可以看出，矩陣維直接處理的CS 方法沒(méi)有根據(jù)數(shù)據(jù)隨機(jī)稀疏位置設(shè)置稀疏基，從而存在模型失配的問(wèn)題，因此在不同條件下重構(gòu)誤差最大。而本文方法由于進(jìn)行全數(shù)據(jù)恢復(fù)，因此其重構(gòu)誤差明顯小于直接進(jìn)行RD 處理的誤差，上述結(jié)果也進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的有效性。

圖5 不同條件下的成像結(jié)果誤差對(duì)比曲線(xiàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新的二維稀疏SF ISAR 高分辨成像方法。利用觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)矩陣的低秩性質(zhì)，用MC 方法首先估計(jì)出完整的數(shù)據(jù)矩陣。在恢復(fù)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，直接利用二維FFT 得出最終的高分辨率圖像。與其他方法相比，該方法在低采樣率和低信噪比條件下可以有效地抑制虛假重構(gòu)，獲得高分辨率圖像，具有簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)，最后的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。另外，在實(shí)際雷達(dá)工作中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)干擾等惡劣情況，干擾的存在使得傳統(tǒng)矩陣填充方法性能下降，因此強(qiáng)干擾下的稀疏恢復(fù)問(wèn)題將是下一步研究的重點(diǎn)?！?/p>