濾波辨識(1):有限脈沖響應(yīng)滑動平均系統(tǒng)的濾波增廣參數(shù)估計

丁 鋒,劉喜梅

(1.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無錫214122;2.青島科技大學(xué) 自動化與電子工程學(xué)院,山東 青島266061)

系統(tǒng)辨識的基本方法包括投影辨識方法、隨機梯度辨識方法、最小二乘辨識方法、牛頓辨識方法。這些方法與一些新思想、新理論、新原理、新概念,如 輔助模型辨識思想、多新息辨識理論、遞階辨識原理、耦合辨識概念、濾波辨識理念等[1-7]相結(jié)合,誕生出許多辨識方法,如輔助模型投影方法、輔助模型隨機梯度方法、輔助模型最小二乘方法、輔助模型牛頓辨識方法等。

從2017年開始在《青島科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》連載“信號建?！闭撐?從2018年開始連載“傳遞函數(shù)辨識”論文26篇,即遍歷26個字母A,B,C,…,Z。最近的連載論文研究了線性回歸系統(tǒng)、方程誤差系統(tǒng)和輸出誤差系統(tǒng)的遞階遞推辨識方法和遞階迭代辨識方法[8-16]。有限脈沖響應(yīng)(FIR)模型在信號處理和濾波器設(shè)計中用得很多。這里考慮一類有色噪聲干擾的有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng),其干擾是滑動平均(moving average,MA)過程,即有限脈沖響應(yīng)滑動平均模型(FIR-MA 模型)描述的一類最簡單有色噪聲干擾的隨機控制系統(tǒng),連載論文研究了有限脈沖響應(yīng)滑動平均系統(tǒng)的遞階遞推參數(shù)估計[9]和遞階增廣迭代參數(shù)估計方法[10]。本研究利用濾波辨識理念,研究FIR-MA 系統(tǒng)的濾波增廣遞推辨識方法,即濾波增廣參數(shù)估計方法。

1 FIR-MA 系統(tǒng)及其濾波辨識模型

有限脈沖響應(yīng)滑動平均(FIR-MA)模型又稱為受控滑動平均模型(controlled moving average model,CMA模型)。

考慮下列有限脈沖響應(yīng)滑動平均模型(FIRMA模型)描述的隨機控制系統(tǒng),

假設(shè)階次n b和n d已知,記n:＝n b＋n d。設(shè)t≤0時,各變量的初值為零:u(t)＝0,y(t)＝0,v(t)＝0。

對應(yīng)于含有滑動平均噪聲D(z)v(t)干擾的系統(tǒng)辨識方法稱為“增廣”辨識方法,即將噪聲模型的參數(shù)d i增加到參數(shù)向量中。因此,當(dāng)系統(tǒng)中涉及滑動平均噪聲項,即MA 噪聲干擾時,對應(yīng)的辨識方法名稱中都有“增廣”二字,以示區(qū)別。

定義參數(shù)向量和信息向量:

注1 式(11)和(5)是經(jīng)過數(shù)據(jù)濾波后得到的兩個辨識模型,即FIR-MA 系統(tǒng)的濾波辨識模型(filtered identification model),一個包含了系統(tǒng)模型的參數(shù)向量b,另一個包含了噪聲模型的參數(shù)向量d,它們包含了系統(tǒng)的所有參數(shù)。

注2 濾波辨識模型(11)和(5)中只包含了白噪聲干擾v(t),但是濾波輸出yf(t),濾波輸入信息向量φf(t),噪聲w(t)和噪聲向量ψ(t)都是未知的,因此必須利用可得到的觀測數(shù)據(jù){y(t),φ(t)},采用遞推或迭代方案,通過對這些未知變量yf(t),φf(t),w(t),ψ(t)和v(t)進(jìn)行估算,從而提出相應(yīng)的濾波辨識方法。

2 基于濾波的增廣隨機梯度方法

3 基于濾波的多新息增廣隨機梯度方法

4 基于濾波的多新息增廣投影方法

下面利用最速下降法推導(dǎo)濾波多新息增廣投影辨識方法?？紤]從j＝t－p＋1到j(luò)＝t的數(shù)據(jù)窗里的p組數(shù)據(jù)。定義堆積噪聲向量:

假設(shè)步長(step size)為μf(t)和μ(t)。使用最速下降法(負(fù)梯度搜索),極小化準(zhǔn)則函數(shù)J3(b)和J4(d),可以得到梯度遞推關(guān)系:

聯(lián)立式(58)～(63)和(46)～(57),就得到辨識FIRMA 系統(tǒng)參數(shù)向量b和d的基于濾波的多新息增廣投影辨識算法,簡稱濾波多新息增廣投影算法(filtered multi-innovation extended projection algorithm,F-MI-EProj算法):

則式(70)～(85)構(gòu)成了簡化的濾波多新息增廣投影算法(F-MI-EProj算法)。

5 基于濾波的遞推增廣梯度方法

根據(jù)式(6),(11)和(5),定義堆積輸出向量Y(t)和堆積輸入信息矩陣Φ(t),堆積濾波輸出向量Yf(t)和堆積濾波輸入信息矩陣Φf(t),堆積噪聲向量W(t)和堆積噪聲矩陣Ψ(t)如下:

根據(jù)式(11)和(5),定義二次準(zhǔn)則函數(shù):

6 基于濾波的多新息遞推增廣梯度方法

這個算法也稱為基于殘差的F-MI-REG 算法,讀者可以寫出基于新息的F-MI-REG 算法,并研究它們的收斂性[3]

7 基于濾波的遞推增廣最小二乘方法

極小化準(zhǔn)則函數(shù)J5(b)和J6(d),可以得到下列最小二乘遞推關(guān)系:

L1(t)∈?nb和L2(t)∈?n d為增益向量(gain vector),P1(t)∈?nb×nb和P2(t)∈?n d×n d為協(xié)方差矩陣(covariance matrix)。

8 基于濾波的多新息增廣最小二乘方法

當(dāng)p＝1時,上述算法退化為濾波遞推增廣最小二乘算法(139)～(151)。

注3多新息辨識方法包含多新息遞推辨識方法和多新息迭代辨識方法。對于多新息遞推辨識方法,常常省略“遞推”兩個字,將多新息遞推最小二乘辨識方法簡稱為多新息最小二乘辨識方法。如,濾波多新息遞推增廣最小二乘辨識算法簡稱為濾波多新息增廣最小二乘算法,濾波多新息遞推增廣最小二乘辨識算法簡稱為濾波多新息增廣最小二乘算法。

9 結(jié) 語

針對最簡單的方程誤差滑動平均(EEMA)系統(tǒng),即有限脈沖響應(yīng)滑動平均系統(tǒng),研究和提出了濾波(多新息)增廣隨機梯度辨識算法、濾波多新息增廣投影辨識算法、濾波(多新息)遞推增廣梯度辨識算法、濾波(多新息)增廣最小二乘辨識算法。盡管這些濾波增廣辨識方法是針對滑動平均噪聲干擾下的有限脈沖響應(yīng)隨機系統(tǒng)提出的,但是其思想可以推廣到有色噪聲干擾下的線性和非線性多變量輸出誤差隨機系統(tǒng)中[17-31]。