考慮應(yīng)變軟化和凍融循環(huán)影響的粉質(zhì)黏土修正雙曲線模型

熊華濤

(中鐵十六局集團(tuán)鐵運(yùn)工程有限公司，河北高碑店 074000)

天然原狀土多具有結(jié)構(gòu)性，變形過程會(huì)伴隨著土體結(jié)構(gòu)的破壞，路基、地基等經(jīng)過壓實(shí)處理的重塑土則多處于超固結(jié)狀態(tài)，由此土工構(gòu)筑物中的土體往往會(huì)表現(xiàn)出剪脹、應(yīng)變軟化等特性[1-2]。在不同的土性、邊界和周圍環(huán)境等因素影響下，土體變形特性還會(huì)出現(xiàn)不同的變化趨勢。其中，在寒冷地區(qū)，淺層地基和路基伴隨季節(jié)變化出現(xiàn)的凍融循環(huán)過程會(huì)引起土體劣化，是影響工程穩(wěn)定性的主要因素之一[3]。本構(gòu)模型可以定量描述土體的變形和強(qiáng)度特性，因此建立考慮凍融循環(huán)影響的本構(gòu)模型是寒區(qū)工程穩(wěn)定性評(píng)價(jià)與預(yù)測的基本研究內(nèi)容之一。

在考慮凍融循環(huán)影響的本構(gòu)模型方面，文獻(xiàn)[4-5]基于雙曲線模型提出了新的歸一化因子，包括極限偏應(yīng)力和凍融循環(huán)損傷量，進(jìn)而建立了凍融循環(huán)下粉砂土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的預(yù)測模型。崔宏環(huán)等基于巖土彈塑性力學(xué)體系下的屈服面理論，在p-q平面上以橢圓方程擬合體變屈服面，以拋物線方程擬合剪切屈服面，采用塑性關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，建立了考慮凍融循環(huán)影響的粉質(zhì)黏土彈塑性本構(gòu)模型[6]。常丹等指出可以分別采用橢圓型曲線和過原點(diǎn)的線性函數(shù)描述p-q平面上的體積屈服面和剪切屈服面；分別采用雙曲線函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)表示剪切硬化參數(shù)和體積硬化參數(shù)與塑性應(yīng)變的關(guān)系，其中函數(shù)系數(shù)均為以凍融循環(huán)次數(shù)為因子的三次多項(xiàng)式；進(jìn)而引入非相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，建立了考慮凍融循環(huán)影響的雙屈服面本構(gòu)模型[7]。上述模型能夠預(yù)測土體在不同圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。問題在于，傳統(tǒng)的非線性彈性模型和彈塑性模型均基于增量法概念，不能描述土體的應(yīng)變軟化特性[8]。上述考慮凍融循環(huán)影響的本構(gòu)模型也是如此，僅能反映正常固結(jié)土的應(yīng)變硬化特性。

為建立可以反映應(yīng)變軟化的本構(gòu)模型，目前主要是在已有的非線性彈性模型和彈塑性模型基礎(chǔ)上，采用不同的改進(jìn)方法建立修正模型。Hashiguchi等提出了下加載屈服面的概念，為反映超固結(jié)土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系提供了途徑[9]。Asaoka等將下加載面概念與劍橋模型相結(jié)合，提出了上加載面概念，將其應(yīng)用于超固結(jié)土和結(jié)構(gòu)性土[10]。姚仰平等基于Hvorslev面、當(dāng)前屈服面和參考屈服面之間的相互關(guān)系提出潛在強(qiáng)度概念，并將其與特征狀態(tài)應(yīng)力比引入到統(tǒng)一硬化參數(shù)中來建立超固結(jié)土的本構(gòu)模型[11]。黃茂松等利用一個(gè)殘余狀態(tài)應(yīng)力比和峰值應(yīng)力比的公式來反映應(yīng)變軟化，建立了可以反映應(yīng)變軟化的雙屈服面本構(gòu)模型[12]。鑒于彈塑性模型表達(dá)式相對(duì)復(fù)雜，鄧肯-張模型的應(yīng)用仍然最為廣泛和成熟，針對(duì)應(yīng)變軟化的修正方法也相對(duì)較多。Lee等指出鄧肯-張模型的本質(zhì)缺陷在于其反映的是線性的剛度軟化，即割線彈性模量線性減小，但實(shí)際上土體剛度隨應(yīng)變增加而非線性軟化，故不能反映應(yīng)變軟化及結(jié)構(gòu)性的影響[13]。針對(duì)這一問題，沈珠江將損傷力學(xué)的概念引入土力學(xué)，提出損傷比的概念，建立考慮黏土結(jié)構(gòu)破損過程的損傷力學(xué)模型，可以定量研究土的應(yīng)變軟化和逐漸破損現(xiàn)象[14-15]。王立忠等進(jìn)而將應(yīng)變軟化型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分為三個(gè)階段，在鄧肯-張模型的基礎(chǔ)上，引入損傷比的概念，建立了考慮土體結(jié)構(gòu)損傷的修正模型[16]。Desai等將土體視為由處于相對(duì)完整狀態(tài)和完全調(diào)整狀態(tài)的兩種基本部分所組成的混合物，基于擾動(dòng)狀態(tài)概念構(gòu)造土的本構(gòu)模型，為鄧肯-張模型的應(yīng)變軟化修正提供了另一種思路[17]。王常明等基于擾動(dòng)狀態(tài)原理，以孔隙水壓力為參量定義擾動(dòng)函數(shù)，構(gòu)建了描述結(jié)構(gòu)性土不排水剪性狀的鄧肯-張模型，可以統(tǒng)一描述應(yīng)變軟化型和應(yīng)變硬化型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[18]。此外，F(xiàn)ahey等基于割線模量定義提出一種新的雙曲線模型形式，采用分段函數(shù)描述土體剛度的非線性軟化規(guī)律，建立了可以反映應(yīng)變軟化的修正雙曲線模型[19]。王軍等采用基于割線模量定義的雙曲線模型，預(yù)測了不同水泥摻入比黏土的應(yīng)變軟化特性[20]。綜上所述，目前已有大量關(guān)于土體應(yīng)變軟化的本構(gòu)模型研究，但是針對(duì)寒區(qū)巖土工程問題，尚未見到關(guān)于同時(shí)考慮應(yīng)變軟化和凍融循環(huán)影響的本構(gòu)模型的研究報(bào)道。

針對(duì)上述問題，在大量凍融循環(huán)試驗(yàn)和三軸試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，分析了凍融循環(huán)影響下粉質(zhì)黏土應(yīng)變軟化和剛度軟化的變化規(guī)律，通過對(duì)Konder雙曲線非線性彈性模型的拓展，基于雙曲線函數(shù)形式和割線模量定義，變換得到割線模量與偏應(yīng)力關(guān)系的分段函數(shù)表達(dá)式，即可以反映應(yīng)變軟化的修正雙曲線模型。然后，擬合模型參數(shù)與凍融循環(huán)次數(shù)的回歸關(guān)系，進(jìn)而提出了能夠反映應(yīng)變軟化特性和凍融循環(huán)影響的修正雙曲線模型。

1 試驗(yàn)土樣及方案

1.1 試驗(yàn)土樣

試驗(yàn)土料為粉質(zhì)黏土，顆粒級(jí)配關(guān)系為：小于0.005 mm的顆粒占15.2%，0.005～0.010 mm的顆粒占6.3%，0.01～0.05 mm的顆粒占37.9%，0.050～0.075 mm的顆粒占13.9%，0.075～0.250 mm的顆粒占11.6%，0.25～0.50 mm的顆粒占4.2%，0.5～1.0 mm的顆粒占5.5%，1.0～2.0 mm的顆粒占5.4%，其顆粒分布曲線如圖1所示。土粒相對(duì)密度為2.64，液限為28%，塑性指數(shù)為10.3%，最大干密度為1.828 g/cm3，最優(yōu)含水率為14.8%。以壓實(shí)度100%和最優(yōu)含水率為標(biāo)準(zhǔn)，采用分層擊實(shí)法制取直徑為39.1 mm、高度為80 mm的圓柱體試樣。

圖1 土體顆粒分布曲線

1.2 試驗(yàn)方案

選擇圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)為試驗(yàn)變量，進(jìn)行兩個(gè)因素的全面試驗(yàn)。前期研究表明:1～5次凍融循環(huán)對(duì)土體強(qiáng)度的影響最為強(qiáng)烈，而后影響逐漸減小，趨于穩(wěn)定[6]，因此取6次凍融循環(huán)為試驗(yàn)條件，研究凍融對(duì)土體強(qiáng)度的影響規(guī)律。圍壓分別選取20，40，60 kPa，凍融循環(huán)次數(shù)分別選取0、1、2、4、6次，共計(jì)15組試樣。凍融循環(huán)試驗(yàn)在恒溫恒濕試驗(yàn)箱中進(jìn)行，環(huán)境溫度分別設(shè)置為-5，20 ℃。凍結(jié)和融化時(shí)間各設(shè)置為12 h，以保證試樣完全凍結(jié)和充分融化，此過程即為一次凍融循環(huán)。達(dá)到設(shè)計(jì)凍融循環(huán)次數(shù)后取出所需試樣進(jìn)行三軸試驗(yàn)，其余繼續(xù)進(jìn)行凍融循環(huán)試驗(yàn)。

由于低滲透性特征和壓實(shí)過程的超固結(jié)應(yīng)力歷史，以及賦存環(huán)境和行車荷載特征，運(yùn)營中黏性土路基的固結(jié)、蠕變通常僅在加載瞬間出現(xiàn)增大現(xiàn)象。因此，三軸試驗(yàn)類型為不固結(jié)不排水剪。試驗(yàn)儀器選用南京土壤儀器廠的TSZ-1型三軸儀，應(yīng)變速率設(shè)置為0.5%/min，結(jié)束應(yīng)變設(shè)置為20%。

2 試驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 應(yīng)力-應(yīng)變曲線

根據(jù)GB/T 50123—2019《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》的要求，隨著試樣軸向應(yīng)變的遞增，對(duì)試樣斷面積和應(yīng)力進(jìn)行了修正。不同圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)下試樣的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯觯涸谌N圍壓下，應(yīng)力-應(yīng)變曲線均呈應(yīng)變軟化型，且隨著軸向應(yīng)變的增加表現(xiàn)為脆性破壞。應(yīng)力-應(yīng)變曲線位置隨凍融循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸下降，峰值偏應(yīng)力對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢。峰值偏應(yīng)力變化率隨凍融循環(huán)次數(shù)呈逐漸增大的變化規(guī)律，減小率在20%以內(nèi)，如圖3所示。

a—圍壓20 kPa；b—圍壓40 kPa；c—圍壓60 kPa。

圍壓20 kPa；圍壓40 kPa；圍壓60 kPa。

2.2 剛度軟化規(guī)律

靜三軸試驗(yàn)中，常用割線模量Es的大小來描述土的剛度，割線模量的定義為偏應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線上某點(diǎn)與原點(diǎn)連線所得直線的斜率[1]，即式(1)：

(1)

式中：σ1、σ3為大、小主應(yīng)力；εa為軸向應(yīng)變。

圖4為不同圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)下試樣的剛度-應(yīng)變關(guān)系曲線。可以看出，割線模量隨著軸向應(yīng)變的增加而逐漸減小，即發(fā)生剛度軟化現(xiàn)象。加載初期割線模量的減小幅度相對(duì)較大，之后隨著軸向應(yīng)變的增加而逐漸平緩。同時(shí)，隨著圍壓的減小或者凍融循環(huán)次數(shù)的增加，相同軸向應(yīng)變對(duì)應(yīng)的土體剛度呈逐漸減小的變化趨勢。

a—圍壓20 kPa；b—圍壓40 kPa；c—圍壓60 kPa。

3 修正的雙曲線模型

3.1 基于割線模量的雙曲線模型

Kondner提出土體加荷時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以采用雙曲線函數(shù)表示為：

(2)

式中：q為偏應(yīng)力；a、b為試驗(yàn)參數(shù)。

由于dσ2=dσ3=0，割線模量Es定義為：

(3)

在應(yīng)變很小即加載之初時(shí)，試樣處于彈性變形階段，εa=0，Es=Ei，則初始模量Ei為：

(4)

當(dāng)應(yīng)變趨于無窮大時(shí)，理想雙曲線關(guān)系漸進(jìn)線所對(duì)應(yīng)的是極限偏應(yīng)力(σ1-σ3)ult，即：

(5)

極限偏應(yīng)力在試驗(yàn)中不易測取，而土體的破壞強(qiáng)度可以確定。如果按照鄧肯-張模型的方法，定義經(jīng)驗(yàn)破壞比Rf為：

(6)

那么，雙曲線模型可以表示為：

(7)

對(duì)于三軸試驗(yàn)，根據(jù)割線模量Es的定義對(duì)雙曲線形式進(jìn)行變換，則式(5)可以表示為：

(8)

式中：Es/Ei表示無量綱化割線模量；q/qmax表示無量綱化偏應(yīng)力。

由式(8)可以看出，此時(shí)雙曲線模型反映的q/qmax-Es/Ei關(guān)系為線性關(guān)系。根據(jù)凍融循環(huán)0次時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果繪制q/qmax-Es/Ei關(guān)系曲線，如圖5所示。圖中直線即為鄧肯-張模型假設(shè)的E/Ei-q/qmax關(guān)系特征?？梢钥闯?，隨著圍壓的增加，q/qmax-Es/Ei曲線逐漸向直線接近。但是，q/qmax-Es/Ei實(shí)際上并不是線性關(guān)系，q/qmax達(dá)到1之前，Es/Ei隨q/qmax的增加而減小，曲線向右發(fā)展；q/qmax達(dá)到1之后，Es/Ei和q/qmax同時(shí)減小，曲線轉(zhuǎn)而向左發(fā)展，即開始發(fā)生應(yīng)變軟化。因此，q/qmax-Es/Ei關(guān)系是由兩段曲線前后銜接而成的組合關(guān)系，應(yīng)該采用分段函數(shù)對(duì)q/qmax-Es/Ei關(guān)系進(jìn)行描述。

圖5 凍融循環(huán)0次時(shí)試樣的q/qmax-Es/Ei關(guān)系曲線

Fahey等分別采用冪函數(shù)和線性函數(shù)擬合試樣應(yīng)變軟化前、后的q/qmax-Es/Ei關(guān)系[19]。由圖5可見，試樣應(yīng)變軟化前、后的q/qmax-Es/Ei關(guān)系中均呈非線性，因此均采用冪函數(shù)進(jìn)行擬合，擬合函數(shù)形式如式(9)所示。

(9)

式中：f定義為破壞剛度比,近似等于Rf；g、β為決定曲線形狀，其大小與圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)有關(guān)，g=1時(shí)退化為鄧肯-張模型形式。

式(9)即為可以考慮應(yīng)變軟化的修正雙曲線模型，其中，對(duì)于初始切線模量Ei，其與圍壓有關(guān)，Janbu建議的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系為：

(10)

式中：K為材料參數(shù)；pa為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的大氣壓力，取值為101.3 kPa。

對(duì)于峰值偏應(yīng)力qmax，根據(jù)摩爾-庫侖極限平衡理論，qmax的計(jì)算式為：

(11)

式中：c、φ分別為黏聚力和內(nèi)摩擦角。

因此，新的模型參數(shù)包括c、φ、K、n、f、g、α、β，共計(jì)8個(gè)參數(shù)，均可由常規(guī)三軸試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變試驗(yàn)結(jié)果換算得到。

3.2 考慮凍融循環(huán)影響的修正模型

土體性質(zhì)在凍融循環(huán)作用下發(fā)生劣化，模型參數(shù)會(huì)隨之改變，因此通過確定模型參數(shù)隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律及相應(yīng)的回歸關(guān)系來反映凍融循環(huán)的影響。根據(jù)不同試驗(yàn)條件下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)結(jié)果，確定上述模型參數(shù)隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律及其函數(shù)表達(dá)式，包括c(N)、φ(N)、K(N)、n(N)、f(N)、g(N)、α(N)、β(N)。

3.2.1c(N)和φ(N)的確定

按照應(yīng)力路徑法，以(σ1+σ3)/2為橫坐標(biāo)、(σ1-σ3)/2為縱坐標(biāo)繪制摩爾應(yīng)力圓，作通過各圓頂點(diǎn)的平均直線，然后根據(jù)直線傾角及其在縱坐標(biāo)軸上的截距計(jì)算內(nèi)摩擦角和黏聚力，即：

φ=arcsin tanα

(12)

c=d/cosφ

(13)

式中：α為平均直線的傾角；d為平均直線在縱坐標(biāo)軸的截距。

不同凍融循環(huán)次數(shù)下試樣的不排水抗剪強(qiáng)度指標(biāo)值如表1所示?？梢钥闯?，黏聚力隨凍融循環(huán)次數(shù)的增加呈逐漸減小的變化規(guī)律，而內(nèi)摩擦角呈逐漸增大的規(guī)律。兩者與凍融循環(huán)次數(shù)的回歸關(guān)系均可以采用Logistic函數(shù)進(jìn)行擬合，即式(14)，結(jié)果如圖6所示，擬合參數(shù)取值如表2所示。

表2 抗剪強(qiáng)度指標(biāo)與凍融循環(huán)次數(shù)關(guān)系曲線的參數(shù)擬合值

圖6 抗剪強(qiáng)度指標(biāo)隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律

表1 不同凍融循環(huán)次數(shù)下試樣的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)值

(14)

式中：x0為未凍融試樣的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)取值；N為凍融循環(huán)次數(shù)，A1、A2、A3為擬合參數(shù)。

3.2.2K(N)、n(N)的確定

根據(jù)不同試驗(yàn)條件下試樣的初始切線模量Ei，繪制lg(σ3/pa)-lg(Ei/pa)關(guān)系曲線，如圖7所示。可以看出，擬合直線的位置隨凍融循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸降低，直線斜率也隨之發(fā)生改變。K和n的取值如表3所示，K隨凍融循環(huán)次數(shù)的增加呈逐漸減小的變化規(guī)律，而n呈逐漸增大的規(guī)律。K和n與凍融循環(huán)次數(shù)的回歸關(guān)系均可以采用Logistic函數(shù)描述，結(jié)果如圖8所示，擬合參數(shù)取值如表4所示。

表4 K(N)和n(N)曲線的參數(shù)擬合值

圖8 K和n隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律

表3 凍融循環(huán)下試樣的K、n值

圖7 凍融循環(huán)下試樣的lg(σ3/pa)-lg(Ei/pa)關(guān)系曲線

3.2.3f(N)、g(N)、α(N)、β(N)的確定

根據(jù)圖5無量綱化割線模量Es/Ei與無量綱化偏應(yīng)力q/qmax的關(guān)系，然后通過式(9)擬合兩者的回歸曲線，結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯觯涸趹?yīng)變硬化階段，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加，相同圍壓下q/qmax對(duì)應(yīng)的Es/Ei值呈逐漸減小的變化規(guī)律；在應(yīng)變軟化階段，相同圍壓下q/qmax對(duì)應(yīng)的Es/Ei值隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律則不明顯，原因在于試樣應(yīng)變軟化階段的剪裂面發(fā)展具有一定隨機(jī)性。

a—圍壓為20 kPa；b—圍壓為40 kPa；c—圍壓為60 kPa。

不同凍融循環(huán)次數(shù)下的f、g和α、β值分別如表5和表6所示?？梢钥闯觯弘S著凍融循環(huán)次數(shù)或圍壓的增加，f值呈逐漸增大的變化規(guī)律，g值呈逐漸減小的規(guī)律。f、g與凍融循環(huán)次數(shù)的回歸關(guān)系均可以用Logistic函數(shù)擬合，結(jié)果如圖10～12所示，相應(yīng)的擬合參數(shù)取值如表7～9所示。不同試驗(yàn)條件下的β值則呈小幅度波動(dòng)變化特征，說明試樣應(yīng)變軟化階段的軟化趨勢類似，因此β取平均值，結(jié)果為11.614。

表7 f(N)曲線的參數(shù)擬合值

圖10 f值隨圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律

表5 不同圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)下的f、g值

表6 不同圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)下的α、β值

4 修正模型的驗(yàn)證

將上述模型參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式代入式(7)，即得到以凍融循環(huán)次數(shù)為影響因子的修正雙曲線模型。模型計(jì)算結(jié)果如圖13所示。

表8 g(N)曲線的參數(shù)擬合值

由圖13可以看出：在圍壓為20 kPa時(shí)，模型計(jì)算值與試驗(yàn)實(shí)測值吻合良好；在圍壓為50 kPa時(shí)，土體呈應(yīng)變軟化特征，未經(jīng)凍融循環(huán)時(shí)峰值強(qiáng)度介于圖1所示圍壓40～60 kPa，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增大，峰值強(qiáng)度逐漸減小，且峰值強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變值逐漸增大，與試驗(yàn)實(shí)測規(guī)律一致；模型可同時(shí)計(jì)算圍壓較大時(shí)土體的應(yīng)變硬化特性?？梢?，該修正雙曲線模型可以反映應(yīng)變軟化和凍融循環(huán)的影響。

圖11 g值隨圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律

圖12 α值隨圍壓和凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律

表9 α(N)曲線的參數(shù)擬合值

a—圍壓20 kPa；b—圍壓50 kPa；c—圍壓1 000 kPa。

5 結(jié)束語

1)按照割線模量定義對(duì)傳統(tǒng)雙曲線模型的函數(shù)形式進(jìn)行變換，得到無量綱化割線模量Es/Ei和無量綱化偏應(yīng)力q/qmax的關(guān)系函數(shù)。根據(jù)軟化型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)結(jié)果，分別采用冪函數(shù)和線性函數(shù)對(duì)應(yīng)變軟化前后割線模量隨偏應(yīng)力的變化規(guī)律進(jìn)行描述，由此得到了可以反映應(yīng)變軟化特性的修正雙曲線模型。模型包括c、φ、K、n、f、g、α、β共計(jì)8個(gè)參數(shù)，均可由三軸試驗(yàn)確定。

2)試樣的峰值偏應(yīng)力和剛度均會(huì)隨圍壓的減小或凍融循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸減小，可以通過確定模型參數(shù)隨凍融循環(huán)次數(shù)變化規(guī)律，來反映凍融循環(huán)對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。分析結(jié)果表明隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加，峰值強(qiáng)度和黏聚力c逐漸減小，內(nèi)摩擦角φ逐漸增大，初始割線模量E0逐漸減小，n值逐漸增大，f和α分別逐漸增大和減小，g逐漸減小，上述參數(shù)與凍融循環(huán)次數(shù)的回歸關(guān)系均可以采用Logistic函數(shù)擬合。

3)將以凍融循環(huán)次數(shù)為因子的模型參數(shù)表達(dá)式嵌入Es/Ei-q/qmax關(guān)系函數(shù)中，即得可以同時(shí)考慮應(yīng)變軟化和凍融循環(huán)影響的修正雙曲線模型。基于Excel電子表格編制修正雙曲線模型的計(jì)算程序，結(jié)果表明模型可以計(jì)算土體的應(yīng)變軟化與應(yīng)變硬化特性，計(jì)算值符合圍壓與凍融循環(huán)對(duì)土體的影響規(guī)律，表明基于割線模量定義的修正雙曲線模型可以用來反映土體的應(yīng)變軟化特性和凍融循環(huán)效應(yīng)。