圓形或扇形薄板的橫向振動(dòng)問題(二)扇形薄板情形下偏微分方程的分離變量

吳崇試

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

前文[1]討論了圓形薄板的橫振動(dòng)問題，分析了現(xiàn)有文獻(xiàn)中有關(guān)圓心處的(自然)邊界條件，指出了它們不能正確反映圓形薄板圓心處的真實(shí)物理狀態(tài)，表現(xiàn)為它們會(huì)導(dǎo)致連續(xù)譜，甚至是復(fù)連續(xù)譜.基于這種分析，筆者提出了圓心處邊界條件的新提法，由此能夠唯一地確定圓形薄板橫振動(dòng)的本征頻率，從數(shù)理方程的角度，比較理想地給出了圓形薄板橫振動(dòng)問題的完整提法.

作為前文的繼續(xù)，本文將討論扇形薄板的橫向振動(dòng)問題.和圓形薄板的相同之處是，有關(guān)圓心處邊界條件的提法仍然適用，不同之處是周期條件不再適用，需要考慮沿扇形兩條直邊(半徑)上的邊界條件.后面的分析表明，這又與四階偏微分方程的分離變量密切相關(guān).

前文曾經(jīng)提到，筆者針對(duì)文獻(xiàn)[2-6]有關(guān)扇形薄板橫振動(dòng)問題的論文提出過質(zhì)疑[7].質(zhì)疑涉及兩方面，即邊界條件(包括周期條件不適用以及圓心處的邊界條件)和四階偏微分方程的分離變量問題.前者在前文中已有比較仔細(xì)的分析，不再贅述.關(guān)于后者，筆者曾誤認(rèn)為四階偏微分方程在直角坐標(biāo)系及平面極坐標(biāo)系中均無(wú)法分離變量.其實(shí)，就矩形薄板的橫振動(dòng)問題而言，至少它的數(shù)學(xué)表述，在有些數(shù)學(xué)物理方程的教材[8]中已有涉及.受此啟發(fā)，本文將介紹扇形薄板橫振動(dòng)問題中偏微分方程在平面極坐標(biāo)下中的分離變量，同時(shí)也就明確了對(duì)于兩條直邊(θ=常量)上邊界條件的限制.

1 本征值問題中四階偏微分方程的分離變量

考慮張角為π/2的扇形薄板.假設(shè)沿圓弧r=a固定，而沿θ=0及π/2兩條半徑的邊界條件待定，因此本征值問題為

(▽4-k4)w=0

(1)

w(r,θ)在θ=0,π/2兩條半徑上邊界條件(待定)

(2)

w|r=0有界

(3)

▽2w|r=0有界

(4)

w(r,θ)|r=a=0

(5)

(6)

令u(r,θ)=R(r)Θ(θ)，代入式(1)，就得到

R1(r)Θ(4)(θ)+R2(r)Θ″(θ)+R3(r)Θ(θ)-k4R(r)Θ(θ)=0

(7)

其中R1(r)、R2(r)、R3(r)都只是r的函數(shù)：

(8)

(9)

(10)

因?yàn)镽(r)和Θ(θ)都不恒為0，所以，兩端同除以R1(r)Θ(θ)=r-4R(r)Θ(θ)，有

(11)

再對(duì)r求導(dǎo)，得

亦即

因?yàn)樯鲜阶蠖酥皇莚的函數(shù)，與θ無(wú)關(guān)，而右端只是θ的函數(shù)，與r無(wú)關(guān)，此等式成立，必須等于既與θ無(wú)關(guān)、又與r無(wú)關(guān)的常數(shù)，記為λ，因而可以分離變量，得到

Θ″(θ)+λΘ(θ)=0

(12)

而且，將此式兩端再微商兩次，還進(jìn)一步有

Θ(4)(θ)+λΘ″(θ)=0

(13)

以及

Θ(4)(θ)-λ2Θ(θ)=0

(14)

再將(12)和(14)式代入方程(1)，就能導(dǎo)出徑向方程：

或者寫成

(15)

2 兩條直邊(半徑)上的邊界條件

因?yàn)殛P(guān)于Θ(θ)的微分方程(12)是二階方程，所以在直邊上只需要各有一個(gè)一、二、三類形式的邊界條件.例如兩條直邊固定，邊界條件就是

w(r,θ)|θ=0=0,w(r,θ)|θ=π/2=0

(16)

這樣，式(1)分離變量后，可以得到本征值問題：

因此，有

而徑向方程則為

通解為

R(r)=c1J2m(kr)+c2N2m(kr)+c3I2m(kr)+c4K2m(kr)

按照前文的討論，根據(jù)關(guān)于r的邊界條件(3)、(4)，可以定出c2=c4=0，再由邊界條件(5)、(6)，有

c1J2m(ka)+c3I2m(ka)=0,c1J′2m(ka)+c3I′2m(ka)=0

因此，根據(jù)

Rmi(r)=I2m(kmia)J2m(kmir)-J2m(kmia)I2m(kmir)

當(dāng)然還可以出現(xiàn)第二類或第三類邊界條件，或者兩條直邊上有不同形式的邊界條件，也可以寫出類似的結(jié)果.不再贅述.

3 求解本征值問題的先后次序問題

上面的方程(1)，加上邊界條件(3)—(6)式以及(16)式，構(gòu)成偏微分方程的本征值問題.將此本征值問題分離變量，就得到兩個(gè)常微分方程的本征值問題，在實(shí)際操作中，其實(shí)還是有先后次序的，我們是先得到Θ(θ)滿足的二階常微分方程(12)，然后代回到方程(7)中，才能得到徑向方程(15).表現(xiàn)在待定參量上，在方程(12)中有參量λ，而方程(15)中在形式上有兩個(gè)參量，λ和k4.這樣就決定了在求解本征值問題時(shí)，也有先后次序，必須先求解由方程(12)和相應(yīng)的齊次邊界條件構(gòu)成的本征值問題，定出本征值λ，而后在徑向方程(15)及相應(yīng)的邊界條件組成的本征值問題中，才只有一個(gè)待定參量(本征值)k4，求解本征值問題，才能定出k4.

其實(shí)，在數(shù)理方程中，我們已經(jīng)遇到過這種求解次序的問題.對(duì)于偏微分方程的定解問題或本征值問題，只要空間變量不是一維的，分離變量后，總會(huì)得到不止一個(gè)常微分方程的本征值問題.在平面極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，都存在這種現(xiàn)象.例如，在扇形區(qū)域(不妨假設(shè)張角仍為π/2)的熱傳導(dǎo)問題中，最簡(jiǎn)單的定解問題是

u|θ=0=0,u|θ=π/2=0

u|r=0有界,u|r=a=0

u|t=0=φ(r,θ)

令u(r,θ,t)=v(r,θ)T(t)，代入，分離變量，就得到偏微分方程的本征值問題：

▽2v+λv=0,

v|θ=0=0,v|θ=π/2=0

v|r=0有界,v|r=a=0

再令v(r,θ)=R(r)Θ(θ)，繼續(xù)分離變量，就得到兩個(gè)常微分方程的本征值問題：

Θ″(θ)+μΘ(θ)=0

Θ(0)=0,Θ(π/2)=0

和

R(0)有界，R(a)=0

在求解時(shí)，也必須先求解Θ(θ)，再求解R(r).這個(gè)次序不可顛倒.

對(duì)于扇形薄板的橫振動(dòng)問題，我們也遇到類似的情況.我們看到，如果在上面的討論中，對(duì)于方程(11)改為對(duì)θ微商，則得到

亦即

因此也能得到

R2(r)+2μR1(r)=0

(17)

亦即

r2R″-rR′+(2+μ)R=0

(18)

這是歐拉型常微分方程，即使在r=0端加上有界條件[注意方程(18)的權(quán)函數(shù)是1/r3，所以應(yīng)當(dāng)要求R(r)/r3/2平方可積]，再在r=a端加上一、二、三類邊界條件，此本征值問題也無(wú)解.這里表現(xiàn)形式不同，但同樣說明，求解這兩個(gè)本征值問題，存在先后次序的問題：必須先求解Θ(θ)，再求解R(r).

4 分析和討論

以上討論了扇形薄板的橫振動(dòng)問題，介紹了相關(guān)四階偏微分方程的分離變量，在此基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)在扇形的兩條直邊上，只需各給出一個(gè)邊界條件，而在圓心及圓弧上各給出兩個(gè)邊界條件，就能毫不困難地定出扇形薄板的固有振動(dòng)頻率及相應(yīng)的振動(dòng)模式.作為示例，通過比較簡(jiǎn)單的邊界條件，顯示了方案的可行性.這里需要說明，以上的分析，純粹是從數(shù)理方程的角度進(jìn)行的.在彈性力學(xué)的實(shí)際問題中，還需要根據(jù)實(shí)際狀況，列出相應(yīng)的邊界條件.

這里存在一個(gè)問題，即本征值問題中的偏微分方程(1)，是四階方程，未知函數(shù)w(r,θ)，對(duì)于r和θ的偏導(dǎo)數(shù)，最高都是四階，但在邊界條件的數(shù)目上，卻出現(xiàn)了不均等的情況，即對(duì)于θ為常量的兩條邊，只需要寫出各自一個(gè)邊界條件，而對(duì)于r為常量的圓心以及弧形邊上，卻需要給出各自兩個(gè)邊界條件.這是分離變量法的計(jì)算過程所導(dǎo)致的.而從純粹數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，在平面極坐標(biāo)系中就存在這種不均等性，在幾何結(jié)構(gòu)上變量r和變量θ就是不均等的.

在扇形薄板的橫振動(dòng)問題中，經(jīng)過分離變量，得到兩個(gè)常微分方程的本征值問題，這兩個(gè)本征值的求解次序，有先后之分.

還值得討論一下扇形薄板兩條直邊θ=0和π/2上的邊界條件.按照上面的分析，因?yàn)棣?θ)滿足的是二階常微分方程，所以，在這兩條直邊只需要各加上一個(gè)邊界條件，例如上面的邊界條件(16).但是，從振動(dòng)力學(xué)的角度來(lái)看，在邊界上有所謂簡(jiǎn)支和固定等不同情形，在每條邊界上均出現(xiàn)兩個(gè)邊界條件.例如要求θ=0的直邊固定，有

Θ(0)=0,Θ′(0)=0

則不論在θ=π/2的直邊上加上何種邊界條件，此問題均無(wú)解，而如果要求邊界簡(jiǎn)支，有

Θ(0)=0,Θ″(0)=0

則從微分方程來(lái)看，因?yàn)棣ā?θ)=-λΘ(θ)，所以這兩個(gè)條件彼此相容，本質(zhì)上還只是一個(gè)邊界條件.現(xiàn)在的問題是，前者肯定無(wú)解.這是不是說，在扇形薄板的情形下，直邊上只能出現(xiàn)邊緣簡(jiǎn)支，而不可能出現(xiàn)邊緣固定？

致謝：作者感謝和楊孔慶教授及宣本金教授進(jìn)行的有益的討論.