靜電平衡、靜電屏蔽有極限么？

李祖斌，趙 欣，宋 峰

(1. 南開大學 物理科學學院，天津 300071；2. 天津工業(yè)大學 物理科學與技術(shù)學院，天津 300387)

靜電學中，導體在靜電場中的性質(zhì)是比較重要的一個知識點，涉及了導體在靜電場中的靜電平衡現(xiàn)象以及兩類空腔導體的靜電屏蔽等內(nèi)容. 如圖1所示，在外靜電場E0中的均勻?qū)w(以金屬導體為例)，其內(nèi)部的自由電子在電場力作用下做定向運動，使得電子在導體一側(cè)聚集帶負電，而在另一側(cè)失去電子而帶正電.這些感應(yīng)電荷的重新分布在導體內(nèi)部產(chǎn)生了與外加電場相反的附加電場E′.當導體內(nèi)部總場強E總=E0+E′=0時，導體內(nèi)部場強處處為零，就達到了靜電平衡狀態(tài).而靜電屏蔽正是利用了靜電平衡的特性，使用空腔導體或外表面接地的空腔導體，使得外部電場不能影響空腔之內(nèi)或內(nèi)部電場不會影響空腔之外，從而實現(xiàn)了靜電屏蔽效果.

圖1 靜電平衡的原理

以上內(nèi)容是大學物理電磁學中的基本教學內(nèi)容[1]，本文就不再贅述了.這里想討論的問題是：靜電平衡或者靜電屏蔽是一直能實現(xiàn)的么？它們是否在某些情況下可以被打破，它們的極限在哪里？

1 靜電平衡的極限

靜電平衡的關(guān)鍵是導體內(nèi)存在大量自由電荷，這些自由電荷能夠移動到導體表面形成附加電場從而抵消外加電場的作用.但自由電荷并不是無窮多的，終究是有限的，如果外加電場足夠大，使得全部自由電荷都移動到導體邊緣也無法抵消時，導體內(nèi)部的總電場也就不可能為零了，靜電平衡也就被打破了.那么，這樣的外加電場要多大才能破壞靜電平衡呢？

關(guān)于靜電平衡的極限問題有些文獻已經(jīng)給出了一些討論.文獻[2]中以金屬球為模型討論了所有電子都移動到球表面時能達到靜電平衡的最大場強；文獻[3]中采用了金屬導線連接的平行金屬板模型，討論了臨界厚度與外加電場之間的關(guān)系.不過，兩篇文獻都沒有討論隨著外加電場增強，自由電荷的具體分布情況，以及靜電屏蔽被打破的具體過程和臨界界限。

這里我們將以長方體形金屬導體為研究對象，施加均勻的垂直于導體某個面的電場，此時可以認為導體內(nèi)自由電子的定向運動是均勻的，自由電子在外場作用下的重新分布也是可以預測的. 這樣，我們可以逐漸增強外加電場，分析自由電子的分布情況；并討論隨著外加電場的增強，靜電平衡在某個臨界場強開始被打破,直到靜電平衡被完全打破的極限狀態(tài)的變化過程. 同時我們也將以金屬外殼為模型討論靜電屏蔽的極限問題.

1.1 簡化模型及臨界場強

假設(shè)有一個長方體金屬導體，外加電場垂直于導體左右端面，如圖1所示. 靜電平衡時，導體左右端面出現(xiàn)感應(yīng)電荷. 根據(jù)靜電平衡條件，感應(yīng)電荷只在導體表面，導體內(nèi)部凈電荷量處處為零. 從結(jié)果看，可以簡單的認為右端面損失了自由電子帶正電，而左端面獲得了等量的電子帶負電.

如果增大外加電場，為保持靜電平衡狀態(tài)，右端面會繼續(xù)失去自由電子，左端面會出現(xiàn)更多電子的積累，以保證附加電場能夠與外加電場抵消. 當外加電場增加到某個臨界場強時，使得右端面表層原子的自由電子全部損失，全部移動到左端面. 如果再繼續(xù)增加外加場強，右端面表層就沒有更多的自由電子可以移動了，但此時導體內(nèi)部并未達到靜電平衡，導體內(nèi)的自由電子還會繼續(xù)定向移動，左端面將繼續(xù)積累電子，直到導體內(nèi)部電場為零自由電子不再繼續(xù)移動為止. 而此時，為補充移動到左端面的自由電子，導體內(nèi)部必然會有一部分失去了自由電子而帶正電. 而這部分導體只能在導體最右側(cè)靠近右端面附近. 此時正電荷將不僅僅存在于右端面，也會存在于導體右側(cè).

根據(jù)以上分析，當外加場強大于這個臨界場強時，靜電平衡開始被打破. 此時，導體內(nèi)部會有正電荷的積累，此部分導體中總電場不再為零. 但導體其他部分仍保持靜電平衡狀態(tài)，內(nèi)部場強仍為零.

先來看一下這個臨界場強會有多大. 設(shè)導體端面面積為S，厚度為t，此金屬每個原子外層的自由電子數(shù)為n，金屬密度為ρ，摩爾質(zhì)量為M. 假設(shè)導體中原子均勻排列，設(shè)金屬原子半徑為r. 當外加場強為臨界場強時，處于右端面的第一層原子完全失去自由電子，則此部分自由電子總數(shù)為

(1)

此時左右端面積累的正負電荷量為

(2)

假設(shè)金屬導體S>>t2，忽略邊緣效應(yīng)，可以將端面看作無限大帶電平板，則由兩端面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的附加電場場強大小為

(3)

其方向與外加電場相反. 靜電平衡下，此臨界外加場強的大小就等于附加場強的大小，即

(4)

考慮常見的金屬導體，以銅為例，則n=2,ρ=8.96g/cm3，M=63.5 g/mol，r=0.128 nm，代入數(shù)據(jù)，可得E臨界=E′=7.86×1011V/m. 若厚度t=0.001 m，可知此時外加電場施加在導體兩側(cè)的電壓為U=E臨界t=7.86×108V. 也就是說，對于1 mm厚的銅板，靜電平衡狀態(tài)可以抵抗7億伏特量級的電壓，而基于靜電平衡的靜電屏蔽必然也會屏蔽同等量級的電壓. 這遠大于目前自然界(閃電瞬間電壓最大可達億伏特量級)或人類能達到的程度(百萬伏特量級).

而想要形成這樣的臨界狀態(tài)，所需要的能量為(假設(shè)S=1 m2)

(5)

這雖然不是特別大的能量，但是要注意這僅僅只是表面的一層原子完全失去自由電子達到靜電平衡所需的能量，而金屬中的自由電子的數(shù)量是十分巨大的.

1.2 極限場強

盡管打破臨界的靜電平衡的就已經(jīng)需要如此大的電勢差，現(xiàn)實中很難達到，但是我們還是可以繼續(xù)討論一下，如果繼續(xù)增大外加場強會怎樣？

隨著外加場強繼續(xù)增大，導體中失去自由電子的部分會逐漸增加，直到導體中所有的自由電子都被移動到導體的左端面，而此時導體內(nèi)部的原子全部變成帶正電的陽離子，均勻的分布在導體中，如圖2所示.

圖2 自由電子全部移動到左端的極限狀態(tài)

以左端面為坐標原點構(gòu)建坐標系，忽略邊緣效應(yīng)，可將正電荷分布看作很多無限大的薄板的疊加.所以，這種電荷分布產(chǎn)生的在導體內(nèi)部的附加電場分布為

(6)

附加電場

此時，導體中所有自由電子都在左端面，導體內(nèi)部不再有自由電子的定向運動，但導體內(nèi)部場強并不為零，靜電平衡被完全打破，更無法實現(xiàn)靜電屏蔽.

(7)

比1.1節(jié)中臨界狀態(tài)的能量大了13個數(shù)量級，約等于每天太陽照射到地球的能量(約1.5×1022J).

與1.1節(jié)中臨界狀態(tài)相比，導體達到極限狀態(tài)所需要的電勢差和能量都達到了一個巨大的量級，已經(jīng)遠遠超出人類或自然界能達到的程度. 其實，如此巨大的差別就來自于自由電子數(shù)的多少. 打破臨界狀態(tài)只需要移動表面一層原子的自由電子，而極限狀態(tài)則是1 mm厚度的導體的所有自由電子. 自由電子數(shù)的巨大差異反映在結(jié)果的巨大差異上.

由1.1和1.2的結(jié)果可以知道，靜電平衡是有極限的，這源自于自由電子數(shù)量的有限. 但是，在實際應(yīng)用中，靜電平衡以及基于靜電平衡的靜電屏蔽效應(yīng)其實是很難打破的，因為只要少量的自由電子參與(較薄的外層金屬導體)，就需要施加遠大于自然界和人類能達到的電場強度和電勢差才能突破靜電屏蔽的極限.

1.3 過渡階段

當然，從1.1節(jié)討論的臨界狀態(tài)到1.2節(jié)的極限狀態(tài)，還有一個過渡階段. 此時，外加場強介于臨界場強和極限場強之間.在此階段，靠近右端面的部分導體失去自由電子帶正電荷(這部分自由電子全部移動到左端面)，此區(qū)域總電場不為零；靠近左端面的部分導體仍保持電中性，總電場為零. 其總電場分布如圖4所示.

圖4 過渡階段總電場分布

由此可知，如果是具有一定厚度的金屬導體，當外加場強超過臨界場強時，雖然靜電平衡部分被打破，但是仍有一部分區(qū)域(圖4中總電場為零的部分)是可以實現(xiàn)靜電平衡的，而這部分金屬中也就仍然可以實現(xiàn)靜電屏蔽.

2 靜電屏蔽的極限

由以上討論可知，靜電平衡是有極限的，是由導體內(nèi)部自由電荷的多少決定的. 那么，基于靜電平衡原理的導體空腔的靜電屏蔽效應(yīng)必然也是有極限的. 下面我們用一個簡易的模型，來討論一下靜電屏蔽的極限是多少. 實際生活中，電子儀器為了防止外界電場的干擾常常用鐵質(zhì)外殼包裹. 為模擬這種情況，假設(shè)有一個邊長為a=0.5 m的立方體鐵質(zhì)空腔(第一類靜電屏蔽空腔)，厚度均勻為t=0.001 m，如圖5所示.

圖5 鐵質(zhì)導體空腔

鐵的密度為ρ=7.86g/cm3，摩爾質(zhì)量為M=55.8 g/mol，原子半徑r=0.127 nm，利用1.1節(jié)討論的方法，可以算出達到臨界狀態(tài)時的外加電場強度的大小為

(8)

外加電場在鐵殼兩端的電勢差為

U=E臨界a=5.85×1011V

(9)

這是非常大的場強和電勢差，達到了五千億伏特量級，需要非常強的電場才能破壞靜電屏蔽的效果.即便是自然界最強大的閃電也是無法突破這一極限的. 而如果考慮1.3節(jié)中的過渡階段，如果鐵殼某一面的鐵板中自由電子被完全移動，在鐵殼內(nèi)部仍然可以實現(xiàn)屏蔽，而此時能屏蔽的電場強度或電勢差將增大106～107量級. 這就是一層原子中的自由電子和1 mm金屬中自由電子數(shù)量導致的差異.

3 討論

由上述計算和分析可見，靜電平衡以及基于靜電平衡的靜電屏蔽都是有極限的，這是由導體中的自由電子的多少決定的. 當然，要想突破這種極限需要施加在導體上的電場強度是非常強的，所需要的能量仍然是非常大的，遠超出了自然界放電現(xiàn)象的強度和現(xiàn)階段人類能夠達到的程度. 所以，在實際使用中并不需要擔心這種靜電屏蔽效果會被打破.

根據(jù)本文的計算結(jié)果，實際應(yīng)用中，靜電屏蔽的外殼可以不必做的很大很厚，完全可以用很薄的金屬外殼就可以實現(xiàn)足夠的靜電屏蔽效果.當然我們還需要注意的是，靜電屏蔽和電磁波屏蔽是不同的[4]，雖然它們都可以通過金屬外殼來實現(xiàn). 而現(xiàn)實中的屏蔽通常既需要靜電屏蔽也需要電磁屏蔽. 所以在實際使用中，還要結(jié)合電磁屏蔽的具體要求來設(shè)計金屬外殼的厚度.