新工科背景下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探索

吳振英

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

隨著以互聯(lián)網(wǎng)和工業(yè)智能為核心的新工科建設(shè)的推進(jìn)，眾多高校在探索和研究創(chuàng)新型人才培養(yǎng)模式的過程中，逐步認(rèn)識到強(qiáng)化理工科基礎(chǔ)教育是培養(yǎng)新工科人才的重要舉措。目前，工科專業(yè)學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)主要是由微積分、空間解析幾何、微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、無窮級數(shù)等內(nèi)容組成。作為應(yīng)用型本科院校各工科專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)課程的重要性不言而喻。但研究表明，包括高等數(shù)學(xué)課程在內(nèi)的傳統(tǒng)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)已不能滿足新工科人才培養(yǎng)的需要。

為了充分發(fā)揮高等數(shù)學(xué)課程在工科專業(yè)后繼課程的基礎(chǔ)與服務(wù)功能，促進(jìn)工科生在更高層次和境界上進(jìn)行創(chuàng)造性工作，提升高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果便尤為重要和急迫。課堂是教學(xué)活動(dòng)的主要場所，課堂質(zhì)量是教學(xué)質(zhì)量的決定性因素。本文旨在結(jié)合作者多年來從事高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索新工科背景下高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革，以提升其教學(xué)的有效性。

一、結(jié)合學(xué)生實(shí)際和專業(yè)特點(diǎn)、整合和加工教學(xué)內(nèi)容

基于當(dāng)前大部分工科高校高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多、學(xué)時(shí)緊的現(xiàn)實(shí)情況，如果按部就班地遵從教材安排，只要是教材里有的內(nèi)容全部都教，往往會(huì)陷入匆忙趕進(jìn)度、疲于教學(xué)的境地，難以取得理想的教學(xué)效果。為了保障學(xué)生在可接受的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)到相對完整的高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，順利達(dá)成預(yù)期教學(xué)目標(biāo)。教師不僅要考慮課程各部分知識內(nèi)容的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以及彼此之間的關(guān)聯(lián)性，更需要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)的知識儲(chǔ)備、現(xiàn)實(shí)需求以及后續(xù)專業(yè)發(fā)展特點(diǎn)，并以此為依據(jù)來整合加工教材內(nèi)容。

首先，高等數(shù)學(xué)課程要做好與高中數(shù)學(xué)課程的銜接。高等數(shù)學(xué)是不少工科生在進(jìn)入大學(xué)階段后接觸的第一門數(shù)學(xué)課程，因此教師有必要了解學(xué)生在高中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容及新課標(biāo)對這些內(nèi)容的相關(guān)要求。例如，包括導(dǎo)數(shù)、積分在內(nèi)的微積分內(nèi)容被納入了高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系，大學(xué)生已具備了一定的微積分知識和利用所學(xué)知識解決問題的能力。因此教師在高數(shù)課程的教學(xué)上要利用學(xué)生已有的微積分基礎(chǔ)，對于現(xiàn)行高中和高數(shù)教材中重合的知識點(diǎn)如初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)、積分的性質(zhì)等進(jìn)行簡單概述，重點(diǎn)讓學(xué)生理解微積分背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想以及追溯微積分產(chǎn)生的過程。學(xué)生在高中階段僅對正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)有較深入的學(xué)習(xí)，教師在教學(xué)上要側(cè)重于補(bǔ)充余切、正割、余割函數(shù)，并適當(dāng)介紹和差化積公式、積化和差公式及半角公式、理解這些函數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系并能夠進(jìn)行函數(shù)間的靈活變形，為后續(xù)求導(dǎo)數(shù)、求積分奠定基礎(chǔ)。

其次，高等數(shù)學(xué)課程要做好與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的銜接。大學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)主要是學(xué)以致用，在于落實(shí)與行動(dòng)?；诓簧賹W(xué)生在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過程中常常會(huì)產(chǎn)生諸如“為何而學(xué)”“學(xué)有何用”的疑問，因此高等數(shù)學(xué)教學(xué)不能拘泥于數(shù)學(xué)，就數(shù)學(xué)而教數(shù)學(xué)，而需要邀請工科專業(yè)的相關(guān)領(lǐng)導(dǎo)與老師共同參與教學(xué)大綱的修訂和課程的建設(shè)，把高等數(shù)學(xué)作為推動(dòng)學(xué)生專業(yè)發(fā)展的杠桿，通過學(xué)科之間的交叉與融合，探究高等數(shù)學(xué)與學(xué)生所學(xué)專業(yè)之間的關(guān)聯(lián)性、應(yīng)用以及在學(xué)生后繼學(xué)習(xí)和生活中的價(jià)值，以更好地支撐相應(yīng)專業(yè)人才的培養(yǎng)目標(biāo)。只有學(xué)生認(rèn)識到這門學(xué)科的價(jià)值與應(yīng)用后，才有學(xué)習(xí)的動(dòng)力。目前不少工科專業(yè)采用的教材——《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)版），雖然很好地突出了數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性與嚴(yán)密性，但仍難以顧及到工科不同專業(yè)的具體需求，使得工科專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了盡管存在專業(yè)差異，但課程內(nèi)容幾乎完全一致的問題。因此在教學(xué)中需要結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有針對性的再處理和設(shè)計(jì)，突出這些知識點(diǎn)在學(xué)生專業(yè)發(fā)展過程中的作用。例如，利用微分方程模型來描述細(xì)菌的繁殖、疾病的發(fā)生規(guī)律，借助直線的投影、曲面立體（圓錐體）三視圖等更好地進(jìn)行工業(yè)制圖、利用微分方程及傅里葉級數(shù)來學(xué)習(xí)信號系統(tǒng)課程等，盡可能體現(xiàn)新工科、新產(chǎn)業(yè)對高數(shù)內(nèi)容及相應(yīng)知識的需求變化。

二、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，深化對知識的理解與應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)課程之所以成為眾多工科專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程，不僅在于高等數(shù)學(xué)知識是工科生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)，而且數(shù)學(xué)知識背后所蘊(yùn)含的定量化、模型化思想都是精準(zhǔn)解釋和刻畫所屬專業(yè)中相關(guān)現(xiàn)象的工具，對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要作用。因此在教學(xué)中不能把重心全部著眼于現(xiàn)成結(jié)論的傳授和訓(xùn)練，也要重視知識的發(fā)生過程和思維過程。例如，高等數(shù)學(xué)的精髓——微積分和解析幾何的建立標(biāo)志著數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)時(shí)期過渡到了變量數(shù)學(xué)時(shí)期，從此變量進(jìn)入了數(shù)學(xué)、辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上里程碑式的大事件。其中，貫穿于微積分和解析幾何中的變量思想、極限思想以及數(shù)形結(jié)合思想都有助于學(xué)生更好地理解充斥著變化的現(xiàn)實(shí)世界，而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，則在形成學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維和數(shù)學(xué)建模能力方面具有重要作用。

例如學(xué)習(xí)完某一章節(jié)的內(nèi)容后，讓學(xué)生用思維導(dǎo)圖軟件X-mind 將孤立的、非結(jié)構(gòu)化的零散知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)和梳理，能夠避免學(xué)生在學(xué)習(xí)中只見樹木不見森林的不足，有助于學(xué)生用整體的、聯(lián)系的觀點(diǎn)看待所學(xué)知識。如通過提煉極限、不定積分、定積分的求解方法，加深和鞏固學(xué)生對所學(xué)知識的理解和掌握；通過導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用與相關(guān)知識構(gòu)建的張網(wǎng)式結(jié)構(gòu)（如圖1 所示）勾勒導(dǎo)數(shù)以及定積分產(chǎn)生的背景、相關(guān)應(yīng)用以及彼此之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的思想和內(nèi)涵、感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的作用。

圖1 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用與相關(guān)知識構(gòu)建的張網(wǎng)式結(jié)構(gòu)

三、重視人文情感的滲透，凸顯數(shù)學(xué)的育人功能

新工科的內(nèi)涵是以立德樹人為引領(lǐng)，以應(yīng)對變化、塑造未來為建設(shè)理念，以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑，培養(yǎng)未來多元化、創(chuàng)新型卓越人才。作為工科專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課程，高等數(shù)學(xué)課程責(zé)無旁貸地承載著立德樹人的根本任務(wù)，它在大學(xué)生形成正確人生觀、價(jià)值觀等方面具有獨(dú)特作用。數(shù)學(xué)思想、精神、方法的運(yùn)用反映出深蘊(yùn)其中的文化價(jià)值，影響著人們的思維方式、智力發(fā)展、審美情趣、倫理道德。因此，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅要注重知識的傳授和習(xí)題的演練，還需要重視人文情感的滲透，凸顯數(shù)學(xué)的育人功能。

（一）融入數(shù)學(xué)史內(nèi)容，加深學(xué)生對課程內(nèi)容的理解

在教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)史內(nèi)容，能夠加深學(xué)生對相關(guān)概念和思想的起源及發(fā)展的理解。例如學(xué)生剛開始接觸極限的ε-δ 語言時(shí)難以理解和掌握，教師可適當(dāng)介紹其相關(guān)歷史。微積分誕生之初，雖在生產(chǎn)和實(shí)踐中有廣泛應(yīng)用，但它的理論基礎(chǔ)不夠嚴(yán)密，表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，因此英國的大主教貝克萊提出了所謂的貝克萊悖論。他認(rèn)為“無窮小量”既等于0 又不等于0，召之即來，揮之即去，這是荒謬的。究竟無窮小量是不是0，無窮小及其分析是否合理，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。此后，很多大數(shù)學(xué)家如阿貝爾、柯西、維爾斯特拉斯致力于分析的嚴(yán)格化。ε-δ 語言讓極限概念能用非常精確嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言給出描述，也為其他重要概念的嚴(yán)格化定義打下基礎(chǔ)。比如，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，定積分是一個(gè)特殊和式的極限，廣義積分是普通定積分的極限，無窮級數(shù)是部分和數(shù)列的極限，這樣學(xué)生就會(huì)對極限概念有了更深入的理解。

（二）強(qiáng)化審美教育，培養(yǎng)學(xué)生的審美鑒賞力

發(fā)現(xiàn)美、認(rèn)識美以及對美的運(yùn)用是人類生存的要求，而數(shù)學(xué)美則是發(fā)現(xiàn)美和塑造美的重要方法。英國哲學(xué)家羅素（Bertrand Russell）曾說：“數(shù)學(xué)擁有的不僅是真理，還有最極致的美。”因此，在抽象的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中洞察數(shù)學(xué)的美，在教學(xué)中強(qiáng)化審美教育，培養(yǎng)學(xué)生的審美鑒賞力是提升教學(xué)有效性的重要措施。

除黃金分割比例、對稱外，高等數(shù)學(xué)中很多立體圖形因其獨(dú)特而靈動(dòng)的線條成為藝術(shù)家設(shè)計(jì)建筑物、藝術(shù)品時(shí)汲取靈感的重要來源之一。例如廣州市重要的地標(biāo)性建筑——廣州塔因獨(dú)特的螺旋曲線，被形象地稱為“小蠻腰”，這一建筑運(yùn)用的正是數(shù)學(xué)中的“單葉雙曲面幾何結(jié)構(gòu)”。北京奧運(yùn)會(huì)國家游泳中心“水立方”則是根據(jù)細(xì)胞排列形式和肥皂泡天然結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)而成的，它的膜結(jié)構(gòu)是世界之最，膜結(jié)構(gòu)物則與微分幾何中的極小曲面關(guān)系密切。因此，教師在教學(xué)過程中可以結(jié)合生活中熟悉的建筑物和藝術(shù)品來欣賞圖形的美，并結(jié)合圖形性質(zhì)思考一些更深入的問題，這有助于工科大學(xué)生真正貼近現(xiàn)實(shí)生活，更好地學(xué)以致用。

同時(shí)，數(shù)學(xué)從混沌中找出秩序，將復(fù)雜還原為簡單，追求簡潔的表達(dá)方式本身就是一種獨(dú)特的美學(xué)詮釋方式。例如極限概念特別是現(xiàn)代的極限語言，很好地體現(xiàn)了有限與無限，近似和精確的辯證關(guān)系。牛頓-萊布尼茲公式不僅是溝通定積分和不定積分的橋梁，也簡明扼要地描述了微分和積分這兩種運(yùn)算方式的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化過程，在簡約中隱含著深刻和含蓄。這些簡潔和諧的數(shù)學(xué)公式和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理對培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光欣賞美和發(fā)現(xiàn)美具有重要作用。

（三）突出數(shù)學(xué)精神，重視高數(shù)在塑造學(xué)生性格中的作用

數(shù)學(xué)精神有助于個(gè)體品質(zhì)和價(jià)值觀念的形成，能夠促進(jìn)其精神成長。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要深入挖掘隱含在數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)精神，讓它能夠鼓舞、激勵(lì)大學(xué)生的成長。如在界定極限定義、微積分定義以及對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解和證明過程中有助于形成重證據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)。而從1665 年牛頓創(chuàng)造了“流數(shù)術(shù)”到1855 年維爾斯特拉斯給出了極限的嚴(yán)格定義，整個(gè)極限概念逐步嚴(yán)格化的過程以及微積分的發(fā)現(xiàn)過程都可以感受到對事物的認(rèn)識是需要一個(gè)過程的，不可能一步到位，有助于培養(yǎng)學(xué)生執(zhí)著、堅(jiān)韌、不懼怕困難、不屈服于挫折的勇氣。

四、優(yōu)化教學(xué)方式，拓寬學(xué)生參與度

大學(xué)生求知欲旺盛，具備較完備的知識結(jié)構(gòu)和較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，因此教師在教學(xué)中要回歸學(xué)習(xí)的“引導(dǎo)者”和“幫助者”角色，提升學(xué)生的自主性和參與度，給學(xué)生更多的探索空間，力求改變“老師講、學(xué)生聽”的被動(dòng)式教學(xué)。

（一）利用信息技術(shù)手段，加深學(xué)生對知識的理解

首先，信息技術(shù)手段能夠?qū)⒊橄髢?nèi)容形象化，有助于學(xué)生對知識內(nèi)容的理解。相比高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容高度的抽象性和理論化使得不少學(xué)生望而卻步。而信息技術(shù)則可以較好地彌補(bǔ)學(xué)生抽象思維、想象能力的不足，能夠加深學(xué)生對知識內(nèi)容的理解。例如定積分和重積分的概念本身非常抽象，如果不借助信息技術(shù)手段，教師無論將圖像畫得多細(xì)，都無法畫出無限細(xì)分這一過程，學(xué)生理解起來很困難，而信息技術(shù)則能夠直觀地呈現(xiàn)這一動(dòng)態(tài)過程，讓學(xué)生清楚地看到每增加若干個(gè)點(diǎn)，小矩形的面積之和與曲線下的曲邊梯形就更接近一些；每增加若干個(gè)小區(qū)域，平頂柱體的體積之和與曲面下面的整個(gè)曲頂柱體的體積就更接近一些，從而有助于學(xué)生對定積分和重積分概念的理解。

其次，信息技術(shù)手段還可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)方式更加多元化，有助于學(xué)生進(jìn)行探索?！吧险n認(rèn)真聽講，課后就是解題，而且是解比較純粹的題”是不少學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識。然而，學(xué)數(shù)學(xué)也是做數(shù)學(xué)的活動(dòng)和解決數(shù)學(xué)問題的過程。在教學(xué)中將數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法融入教學(xué)中，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下用數(shù)學(xué)軟件Mathematic、Matlab、幾何畫板等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用其提供的數(shù)據(jù)、圖像及動(dòng)態(tài)表現(xiàn)，有更多的觀察、探索的機(jī)會(huì)，對激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的興趣、意識有重要作用。

此外，在正常的課內(nèi)教學(xué)之余，高等數(shù)學(xué)教學(xué)可以依托“騰訊課堂”“釘釘”等網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)與學(xué)生進(jìn)行線上交流、即時(shí)互動(dòng)。這樣可以跨越距離和時(shí)空的阻隔，便于師生間開展深層次的研討交流與答疑，使得教學(xué)形式更為豐富。同時(shí)，還可以借助大學(xué)MOOC、精品課程平臺(tái)實(shí)現(xiàn)先進(jìn)教育資源的共享，使之成為課內(nèi)教學(xué)的有效補(bǔ)充和拓展，更好地進(jìn)行個(gè)別化教學(xué)和使學(xué)生達(dá)到對知識的深度理解。

（二）實(shí)施分層教學(xué)，滿足學(xué)生多元化需求

高等數(shù)學(xué)課程作為工科專業(yè)的基礎(chǔ)課，在教學(xué)編排上往往是若干個(gè)班一起上課。由于大學(xué)生對自己未來的規(guī)劃日益多元化，對高等數(shù)學(xué)課程的期望和需求也有所不同，并且學(xué)生之間的基礎(chǔ)、理解能力也存在一定差別，因此，尊重學(xué)生個(gè)人意愿，實(shí)施有彈性、有差異的分層教學(xué)已成為提升高數(shù)課程教學(xué)有效性、滿足學(xué)生多樣化需求的重要舉措。在努力達(dá)成高等數(shù)學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)上，按照學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和個(gè)人需求對班上學(xué)生進(jìn)行分組，通過個(gè)別性輔導(dǎo)、網(wǎng)絡(luò)視頻資源、作業(yè)任務(wù)單等多樣化方式給予針對性指導(dǎo)，如對有深入學(xué)習(xí)需求或持續(xù)興趣的學(xué)有余力型學(xué)生給予內(nèi)容與方法上的拓展與提升，注重知識的靈活應(yīng)用；對基礎(chǔ)一般型學(xué)生注重基礎(chǔ)知識的鞏固和應(yīng)用，對基礎(chǔ)薄弱型學(xué)生給予幫助與鼓勵(lì)，幫助他們解決學(xué)習(xí)過程中的困難，加深對知識和方法的理解，這樣才能滿足工科學(xué)生多元化需求，使每個(gè)學(xué)生都能夠在原有基礎(chǔ)上得到最大程度的發(fā)展。

總之，新工科背景下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革需要數(shù)學(xué)教育工作者在實(shí)踐中不斷探索和思考，能夠更好地適應(yīng)人才培養(yǎng)過程的新要求，取得更好的教學(xué)效果。