巧用乘法原理解決握手問題

石明霜

【摘要】 乘法原理是數(shù)學(xué)中的重要原理之一，在生活中也有著廣泛應(yīng)用，比如“握手問題”就可以通過乘法原理快速解決.本文通過對“握手問題”建立數(shù)學(xué)模型，分析乘法原理在此類問題中的靈活應(yīng)用，希望能提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 乘法原理;握手問題;核心素養(yǎng)

計數(shù)問題是數(shù)學(xué)中重要的研究對象之一，也是人們了解客觀世界的一種最基本的方法.乘法原理也稱分步計數(shù)原理，是人們在大量實踐的基礎(chǔ)上歸納出來的基本規(guī)律.乘法原理不僅是推導(dǎo)排列組合中排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的依據(jù)，也是求解排列組合問題的基本思想，同時還是學(xué)生今后學(xué)習(xí)概率及高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的預(yù)備知識.因此，理解和掌握乘法原理是很重要的.

乘法原理在實際生活中的應(yīng)用非常廣泛，比如經(jīng)常提到的“握手問題”，就可以看成是乘法原理衍生出來的數(shù)學(xué)問題.本文主要利用乘法原理對“握手問題”進行分析，建立數(shù)學(xué)模型，并且利用化歸思想對知識進行遷移，講解乘法原理在類似“握手問題”等題型中的應(yīng)用，希望能幫助大家在學(xué)習(xí)中觸類旁通，提高學(xué)習(xí)效率，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無窮樂趣.

1 乘法原理概述

1.1 基本概念

做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

1.2 原理淺釋

乘法原理中，“完成一件事，需要分成n個步驟”，是說每個步驟都不足以完成這件事，這些步驟，彼此間不能有重復(fù)和遺漏.如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理.

2 握手問題在乘法原理中的應(yīng)用

2.1 握手問題

某場會議有10人參加，進人會場時，每2人都要握1次手，這10人共可以握多少次手？

分析 用乘法原理思考，分兩步，第一步確定由誰握手，一共10個人，所以有10種情況;第二步確定和誰握手，每人都要和另外9人各握1次手，所以有9種情況.因此，一共要握手10×9=90（次）.但是，握手是2人之間相互進行的，甲與乙握手后乙無需與甲再次握手，因此，每2人之間的握手都算了2次，需要除以2，實際握手90÷2=45（次）.以此類推，若有n個人來參加會議，則共握手n（n-1）2次.

2.2 互贈禮物問題

某班畢業(yè)典禮上，每2名同學(xué)互贈照片留念，全班共有60人，一共要贈多少張照片？

解 與握手問題不同的是本題是雙向問題，甲給乙照片后，乙也要給甲照片，不存在重復(fù)計算，所以不需要除以2，因此共互贈照片60×59=3540（張）.以此類推，若有n個人來參加會議，則互贈n（n-1）張.

2.3 火車票問題

火車往返于甲、乙兩個城市，除甲、乙兩城市外，中途經(jīng)過4個站點，不同的車站往返需要不同的車票，共有多少種不同的車票？

分析 與握手問題一樣，用乘法原理思考，分兩步，第一步選取一個站點，有6種選法;第二步再選取一個站點，有5種選法，每兩站都要“握手”一次，所以共有6×5=30（種）車票.因為車票既與票價有關(guān)，也與列車行駛方向有關(guān)，如“重慶→北京”與

“北京→重慶”，就是兩種不同的乘車方向，需準(zhǔn)備兩種車票，所以不需要再除以2.以此類推，若有n個站點需要n（n-1）種不同的車票.

2.4 數(shù)圖形問題

例1 如圖1，n邊形有幾條對角線？

分析 此題與前面的握手問題略有不同，n邊形共有n個頂點，第一步確定由誰“握手”有n種選法，而第二步確定和誰“握手”時，已經(jīng)選擇的端點（如B）不能再選，與它相鄰的兩個點（A，C）也不能選，那么還有（n-3）個頂點，一共是n（n-3）條對角線，但是，線段AD和DA是同一條線段，重復(fù)計算了，所以要除以2，因此共有n（n-3）2條對角線.

例2 如圖2，圓上有8個點，分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，以任意三點為頂點作三角形，一共可以作多少個不同的三角形？

分析 三角形有三個頂點，選第一個頂點時有8種方法（從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H中選）;選第二個頂點，有7種方法（從除選的第一個頂點外剩下的點選）;選第三個頂點，有6種方法（從選完前兩個頂點后剩下的點選），再根據(jù)乘法原理即可求出三角形的總個數(shù)，即8×7×6=56（個）.但由于△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA是同一個三角形，所以還要除以6才是最終的答案，因此，一共可以作56÷6=7（個）.以此類推，若平面上有n個點，過任意三點作三角形，一共能作出n（n-1）（n-2）6個不同的三角形.

例3 圖3共有多少個長方形？

分析 類比握手問題進行思考，AB上有6個點，可以把6個點看成是6名學(xué)生，每兩點構(gòu)成一條線段，就好比是2個學(xué)生握手，按照握手問題解題思路，共握了6×（6-1）÷2=15次手，所以AB上有15條線段，同理AC上有5個點，可得AC上有5×（5-1）÷2=10條線段.AB上任意一條線段與AC上任意一條線段“握手”都會構(gòu)成一個長方形，根據(jù)由乘法原理，圖中共有15×10=150個長方形.以此類推，如果長方形長和寬上分別有m和n個點，那么一共有個長方形.

例4 圖4共有多少個長方體？

分析 根據(jù)上一題的結(jié)論，長方形ABCD共包含150個長方形。AE上有4個點，共有4×（4-1）÷2=6條線段，而長方形ABCD中的任意一個長方形與AE上的任意一條線段“握手”都會構(gòu)成一個長方體，所以一共可以構(gòu)成150×6=900個長方體.

2.5 計算概率問題

例5 5個人中至少有2人是同月出生的概率是多少？

分析 本題是一個典型的概率問題，如果用畫樹狀圖或列圖表法，會顯得很繁瑣以至于無從下手，如果用“握手”的思考方法來解答會顯得很簡潔.因為一個人的出生月份有12種選法，則5個人的出生月份共有12×12×12×12×12=248832（種）選法.下一步來確定至少有2人是同月出生的所有等可能結(jié)果，如果我們從5人出生的所有等可能結(jié)果中，減去沒有任何人是同月出生的等可能結(jié)果，剩下的就是“至少”有2人是同月出生的”等可能結(jié)果，根據(jù)乘法原理第一個人出生的月份有12種取法，第二個人有11種取法，依次類推，沒有任何人是同月出生的等可能的結(jié)果為：12×11×10×9×8=95040（種）.所以，所求的概率為248832-95040248832≈0.618.

此外，握手問題還可類比增長率、循環(huán)賽、病毒傳播、衣服的搭配問題等，此處不再一一贅述.

本文通過聯(lián)系生活實際，運用乘法原理對學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)“握手問題”做了講解，并且利用化歸思想對知識進行遷移，將一些類似的抽象問題轉(zhuǎn)化為“握手問題”，運用乘法原理巧妙分析解答，讓學(xué)生體驗把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模思想，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維解決實際問題的能力.