致密氣藏不對(duì)稱裂縫偏心直井半解析模型及其滲流特征

王玉風(fēng)，姬安召，張光生，陳占軍

（隴東學(xué)院 能源工程學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745100）

致密儲(chǔ)集層中賦存的油氣是一種重要的非常規(guī)油氣資源，但通常需要進(jìn)行壓裂，為油氣提供滲流通道[1-2]。致密儲(chǔ)集層經(jīng)過(guò)壓裂改造后，儲(chǔ)集層由基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)組成[3-6]。致密儲(chǔ)集層地應(yīng)力分布復(fù)雜，導(dǎo)致水力壓裂裂縫不以井筒對(duì)稱，壓裂井也不一定位于儲(chǔ)集層的中心位置，因此研究致密儲(chǔ)集層不對(duì)稱裂縫偏心直井壓力的動(dòng)態(tài)規(guī)律具有重要意義。

許多學(xué)者對(duì)垂直裂縫井的非穩(wěn)定滲流理論進(jìn)行了研究，提出了水力壓裂裂縫模型與面源解的耦合方法[7]；采用數(shù)值模擬井底壓力與生產(chǎn)時(shí)間的關(guān)系，提出了垂直裂縫井的解析模型[8-10]，但前提是假設(shè)裂縫以井筒為中心兩翼對(duì)稱。在實(shí)際應(yīng)用中，由于地層條件的復(fù)雜性，導(dǎo)致水力壓裂裂縫在井筒周圍非對(duì)稱分布。一些學(xué)者利用數(shù)值模擬方法，模擬井底壓力變化規(guī)律[11-14]，用半解析解方法計(jì)算井底壓力[15-20]；通過(guò)數(shù)值模擬，討論不對(duì)稱裂縫對(duì)產(chǎn)量遞減規(guī)律的影響[12]，分析定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)井底壓力變化[13-14]。數(shù)值模擬方法的缺點(diǎn)是效率和精度皆低，因此，一些學(xué)者引入了解析和半解析解方法來(lái)獲得井底壓力，給出了不對(duì)稱水力壓裂裂縫直井的分析方法，但僅給出水力壓裂裂縫的壓力解[15-16]。為了耦合水力壓裂裂縫模型和儲(chǔ)集層的面源解，有些學(xué)者引入了格林函數(shù)來(lái)計(jì)算不對(duì)稱裂縫壓裂井的井底壓力[9，17-19]；還有學(xué)者將邊界元法與點(diǎn)源函數(shù)相結(jié)合，分析不對(duì)稱裂縫壓裂井的井底壓力[20]。盡管對(duì)不對(duì)稱裂縫壓裂井的井底壓力進(jìn)行了大量研究，但均假設(shè)井位于儲(chǔ)集層中心。因此，有學(xué)者基于“等效井塊半徑”概念，采用數(shù)值模擬方法，提出了偏心井的模擬方法[21]；還有學(xué)者提出了徑向復(fù)合油藏的偏心直井分析模型[22-23]。近幾年，有學(xué)者提出了多區(qū)域非均質(zhì)油藏雙翼對(duì)稱裂縫偏心垂直裂縫井的半解析模型，并分析了井底壓力特征[24-25]；也有學(xué)者將邊界元法與點(diǎn)源函數(shù)相結(jié)合，給出了具有雙翼對(duì)稱裂縫的偏心直井的半解析解[26]。然而，這些模型均假設(shè)裂縫以井筒為中心兩翼對(duì)稱分布。

為此，建立不對(duì)稱水力壓裂裂縫偏心直井在封閉氣藏的半解析模型，并對(duì)其滲流特征進(jìn)行分析。首先，建立并求解儲(chǔ)集層和水力壓裂裂縫控制方程；然后，將裂縫離散為多個(gè)單元，通過(guò)壓降疊加，得到井底擬壓力隨時(shí)間的變化；最后，分析裂縫角、裂縫無(wú)因次導(dǎo)流能力和偏心距對(duì)井底擬壓力及產(chǎn)量的影響。

1 物理模型與基本假設(shè)

致密儲(chǔ)集層由基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)構(gòu)成，井筒偏離儲(chǔ)集層中心，水力壓裂裂縫在井筒周圍不對(duì)稱（圖1）?；炯僭O(shè)條件：氣井定產(chǎn)量生產(chǎn)；氣井不在氣藏中心；裂縫兩翼不對(duì)稱；裂縫系統(tǒng)與氣藏中氣體流動(dòng)為等溫達(dá)西滲流；儲(chǔ)集層外邊界封閉。

2 偏心直井的數(shù)學(xué)模型及其解

2.1 偏心直井的線源解

源函數(shù)法是求解井底壓力的主要方法，當(dāng)井位于儲(chǔ)集層中心時(shí)，只考慮徑向流動(dòng)，否則，氣體流動(dòng)是徑向流動(dòng)和邊界響應(yīng)流動(dòng)。因此，在建立不對(duì)稱裂縫偏心直井?dāng)?shù)學(xué)模型之前，先求其線源解。這里以擬壓力作為控制方程的目標(biāo)函數(shù)。

氣體的擬壓力：

假設(shè)偏心直井線源位于(r′,θ′,z′)，柱坐標(biāo)系中偏心直井二維滲流控制方程[27-29]：

式中，

擬穩(wěn)態(tài)是指基質(zhì)內(nèi)部的壓力處處相同，竄流量只與基質(zhì)和裂縫之間的壓差有關(guān)。非穩(wěn)態(tài)是指流體在基質(zhì)中滲流到基質(zhì)表面，再竄流到裂縫系統(tǒng)。（2）式的解[30-33]可表示為

P+E應(yīng)該滿足控制方程的外邊界條件，在井筒處，E的貢獻(xiàn)率應(yīng)該趨近于0。擬壓力計(jì)算點(diǎn)和偏心直井線源的位置如圖1b所示。

根據(jù)封閉邊界和定壓邊界條件，解得圓形封閉邊界和定壓邊界的系數(shù)：

2.2 偏心直井的面源函數(shù)

為方便計(jì)算，定義無(wú)因次參數(shù)如下：

將（8）式中的封閉邊界公式代入（4）式，沿?cái)嗔逊较驅(qū)€源進(jìn)行積分，得到均勻流量的面源解：

（23）式中含有貝塞爾函數(shù)，可將不對(duì)稱裂縫離散成裂縫單元[27]（圖2）。每個(gè)裂縫單元為一個(gè)計(jì)算對(duì)象，其流量為定值，再結(jié)合質(zhì)量守恒方程，可對(duì)擬壓力方程和流量方程進(jìn)行聯(lián)立求解。將水力壓裂裂縫劃分為2N段，井筒兩側(cè)均為N段，但井筒兩側(cè)的網(wǎng)格步長(zhǎng)不等。第i個(gè)裂縫單元的壓降可表示為

無(wú)限導(dǎo)流不對(duì)稱裂縫偏心直井的井底擬壓力為

2.3 裂縫模型與儲(chǔ)集層流體的耦合

儲(chǔ)集層與裂縫流體流動(dòng)耦合關(guān)系[9]：

（28）式等號(hào)左項(xiàng)是無(wú)限導(dǎo)流裂縫的井底擬壓力，將該式中裂縫部分進(jìn)行離散。

根據(jù)質(zhì)量守恒定理，可得：

裂縫單元的拉普拉斯空間流量和平均擬壓力通過(guò)（29）式和（30）式聯(lián)立求解，將結(jié)果代入（28）式，并且取rFD=xasymD，即可得到有限導(dǎo)流不對(duì)稱裂縫偏心直井的井底擬壓力。

考慮表皮系數(shù)和井儲(chǔ)系數(shù)的無(wú)因次井底擬壓力[33]：

3 模型驗(yàn)證和井底擬壓力特征

3.1 模型驗(yàn)證

在進(jìn)行井底擬壓力分析之前，需要驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。借助油藏動(dòng)態(tài)分析Kappa Workstation 的數(shù)值試井分析Spahir 模塊，建立了柱坐標(biāo)系中封閉邊界的不對(duì)稱裂縫偏心直井?dāng)?shù)值模型。模型中儲(chǔ)集層厚度為10 m，儲(chǔ)集層滲透率為0.05 mD，儲(chǔ)集層外邊界半徑為1 000 m，偏心距為500 m，裂縫半長(zhǎng)為60 m，儲(chǔ)集層孔隙度為8%，巖石壓縮系數(shù)為0.000 35 MPa-1，天然氣壓縮系數(shù)為0.025 31 MPa-1，天然氣偏差因子為1.007，儲(chǔ)集層溫度為100 ℃，裂縫導(dǎo)流能力為6 mD·m，裂縫與x軸的夾角（裂縫夾角）為45°。

根據(jù)上述參數(shù)，確定了無(wú)因次井底擬壓力與無(wú)因次時(shí)間的關(guān)系（圖3）；同時(shí)，也根據(jù)（28）式，計(jì)算了半解析解。由圖3 可以看出，數(shù)值離散計(jì)算結(jié)果與半解析解完全一致。對(duì)井底擬壓力變化特征進(jìn)行分析，并將偏心直井流體流動(dòng)劃分為6 個(gè)階段：儲(chǔ)集層與裂縫雙線性流階段、儲(chǔ)集層線性流階段、裂縫橢圓流階段、平面徑向流階段、距離裂縫較近邊界控制流階段和圓形封閉邊界控制流階段。

儲(chǔ)集層與裂縫雙線性流階段，無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.25；儲(chǔ)集層線性流階段，無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.50；裂縫橢圓流階段，無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.36，然后逐漸過(guò)渡到平面徑向流；平面徑向流階段，無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.50；距離裂縫較近邊界控制流階段，無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹；圓形封閉邊界控制流階段，無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為1.00，且與無(wú)因次井底擬壓力曲線重合。

3.2 井底擬壓力特征

假設(shè)無(wú)因次井儲(chǔ)系數(shù)為0.000 01，表皮系數(shù)為0.01，裂縫無(wú)因次不對(duì)稱因子為0.3，裂縫半長(zhǎng)為150 m，裂縫與x軸的夾角為90°，儲(chǔ)集層外邊界半徑為3 000 m，偏心距為2 000 m，井儲(chǔ)系數(shù)為0.01，竄流系數(shù)為1。

在線性和雙線性狀態(tài)下，裂縫無(wú)因次導(dǎo)流能力對(duì)無(wú)因次井底擬壓力有明顯影響。裂縫滲流阻力越小，無(wú)因次導(dǎo)流能力越大，儲(chǔ)集層雙線性流階段無(wú)因次井底擬壓力越小（圖4a）。

在距離裂縫較近邊界控制流階段，偏心距對(duì)無(wú)因次井底擬壓力及其導(dǎo)數(shù)有明顯的影響（圖4b）。偏心距越大，井和裂縫與邊界的距離就越小，邊界響應(yīng)出現(xiàn)得越早。偏心距大，相當(dāng)于流體繞井及裂縫的徑向流區(qū)域小，徑向流動(dòng)持續(xù)時(shí)間短。徑向流區(qū)域減小時(shí)，若要定產(chǎn)量生產(chǎn)，則需要更大的壓降，因此距離裂縫較近邊界控制流階段的無(wú)因次井底擬壓力及其導(dǎo)數(shù)變大。

裂縫不對(duì)稱因子越大，裂縫的不對(duì)稱性越強(qiáng)，則早期的壓降越大，無(wú)因次井底擬壓力及其導(dǎo)數(shù)越大。從圖4c 可以看出，平面徑向流階段之前的無(wú)因次井底擬壓力及其導(dǎo)數(shù)偏大。

裂縫與x軸的夾角對(duì)無(wú)因次井底擬壓力及其導(dǎo)數(shù)沒(méi)有明顯的影響。這是因?yàn)榧僭O(shè)儲(chǔ)集層是均質(zhì)的，壓力在各個(gè)方向上的傳播基本一致，即使夾角不相等，但在裂縫固定時(shí)，整個(gè)儲(chǔ)集層坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)一定角度，也可以與其等效。

在擬穩(wěn)態(tài)竄流情況下，當(dāng)裂縫系統(tǒng)的壓力降低時(shí)，儲(chǔ)集層基質(zhì)中的天然氣快速進(jìn)入裂縫系統(tǒng)。在非穩(wěn)態(tài)竄流情況下，當(dāng)裂縫系統(tǒng)的壓力降低時(shí)，儲(chǔ)集層基質(zhì)中的天然氣不能夠快速進(jìn)入裂縫系統(tǒng)。因此，在非穩(wěn)態(tài)竄流情況下，無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率較擬穩(wěn)態(tài)竄流無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線大（圖4d）。

裂縫無(wú)因次導(dǎo)流能力對(duì)不對(duì)稱裂縫偏心直井產(chǎn)量影響較大（圖5a）。井筒兩側(cè)的水力壓裂裂縫是不對(duì)稱的，裂縫長(zhǎng)翼周圍的壓力迅速向儲(chǔ)集層傳播，因此在流動(dòng)狀態(tài)下，其無(wú)因次產(chǎn)量貢獻(xiàn)大于裂縫短翼。然而，隨著時(shí)間的推移，由于裂縫短翼的平均控制半徑小于裂縫長(zhǎng)翼，在線性流之前，裂縫短翼無(wú)因次產(chǎn)量的貢獻(xiàn)隨時(shí)間的增加而增大，裂縫長(zhǎng)翼無(wú)因次產(chǎn)量的貢獻(xiàn)隨時(shí)間的增加而減小。當(dāng)?shù)竭_(dá)一定時(shí)間后，裂縫兩翼的無(wú)因次產(chǎn)量保持穩(wěn)定，無(wú)因次產(chǎn)量貢獻(xiàn)基本保持不變。

裂縫不對(duì)稱因子對(duì)裂縫兩翼無(wú)因次產(chǎn)量的大小以及分布有較為明顯的影響（圖5b）。隨著裂縫不對(duì)稱因子減小，裂縫兩翼產(chǎn)量的貢獻(xiàn)均接近0.5，即裂縫完全對(duì)稱時(shí)，裂縫兩翼的產(chǎn)量相等。

雖然裂縫與x軸夾角對(duì)無(wú)因次井底擬壓力及其導(dǎo)數(shù)影響不顯著，但對(duì)無(wú)因次產(chǎn)量具有一定的影響（圖5c）。裂縫與x軸夾角越小，裂縫短翼距離邊界越近，在封閉邊界控制的情況下，當(dāng)壓力波及到邊界時(shí)，裂縫短翼產(chǎn)量的貢獻(xiàn)開(kāi)始減小。

4 結(jié)論

（1）半解析解能很好地模擬井底壓力動(dòng)態(tài)和水力壓裂裂縫的流量分布特征，根據(jù)井底擬壓力變化，將偏心直井流體流動(dòng)劃分為6 個(gè)階段：儲(chǔ)集層與裂縫雙線性流階段、儲(chǔ)集層線性流階段、裂縫橢圓流階段、平面徑向流階段、距離裂縫較近邊界控制流階段和圓形封閉邊界控制流階段。

（2）在儲(chǔ)集層與裂縫雙線性流階段和儲(chǔ)集層線性流階段，較大的裂縫不對(duì)稱因子導(dǎo)致無(wú)因次井底擬壓力導(dǎo)數(shù)較大。偏心距越大，邊界響應(yīng)出現(xiàn)的越早，徑向流動(dòng)持續(xù)時(shí)間越短，無(wú)因次井底擬壓力越大。

（3）裂縫角度對(duì)無(wú)因次井底擬壓力及其導(dǎo)數(shù)影響不明顯，但對(duì)產(chǎn)量有明顯影響。裂縫不對(duì)稱因子對(duì)整個(gè)流動(dòng)階段有明顯的影響，裂縫短翼對(duì)產(chǎn)量的貢獻(xiàn)小于裂縫長(zhǎng)翼。

符號(hào)注釋

B——天然氣體積系數(shù)；

C(θp)——與θp相關(guān)的函數(shù)；

CD——無(wú)因次井儲(chǔ)系數(shù)；

CFD——裂縫無(wú)因次導(dǎo)流能力；

Ctf——裂縫綜合壓縮系數(shù)，Pa-1；

Ctm——基質(zhì)綜合壓縮系數(shù)，Pa-1；

Dn——與邊界相關(guān)的系數(shù)；

E——邊界系數(shù)；

G——格林函數(shù)；

h——儲(chǔ)集層厚度，m；

hD——無(wú)因次儲(chǔ)集層厚度；

I0——零階修正的第一類貝塞爾函數(shù)；

Ik——k階修正的第一類貝塞爾函數(shù)；

In——n階修正的第一類貝塞爾函數(shù)；

K——儲(chǔ)集層滲透率，1012D；

K0——零階修正的第二類貝塞爾函數(shù)；

Kf——裂縫滲透率，1012D；

Km——基質(zhì)滲透率，1012D；

Kn——n階修正的第二類貝塞爾函數(shù)；

LD——沿裂縫方向積分的無(wú)因次裂縫長(zhǎng)度；

LF——裂縫一翼的長(zhǎng)度，m；

Lref——參考長(zhǎng)度，取裂縫半長(zhǎng)，m；

n——自然數(shù)；

N——裂縫一側(cè)離散的網(wǎng)格數(shù)，個(gè)；

p——儲(chǔ)集層中任意點(diǎn)的壓力，Pa；

p0——擬壓力積分初始?jí)毫?，Pa；

P——井位于儲(chǔ)集層中心的線源解；

——瞬時(shí)流量，m3/d；

——拉普拉斯空間瞬時(shí)流量，m3/d；

D——裂縫的無(wú)因次產(chǎn)量；

D——拉普拉斯空間無(wú)因次流量；

D,i——拉普拉斯空間第i個(gè)網(wǎng)格的無(wú)因次流量；

D,j——拉普拉斯空間第j個(gè)網(wǎng)格的無(wú)因次流量；

qsc——標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣井的產(chǎn)量，m3/d；

r——擬壓力計(jì)算點(diǎn)到儲(chǔ)集層中心的距離，m；

r′——柱坐標(biāo)系中偏心直井線源到儲(chǔ)集層中心的距離半徑，m；

rD——擬壓力計(jì)算點(diǎn)到儲(chǔ)集層中心的無(wú)因次距離；

rFD——局部極坐標(biāo)系中裂縫的無(wú)因次極半徑；

rFD,j——局部極坐標(biāo)系中第j個(gè)網(wǎng)格的無(wú)因次半徑；

rFD,j(θp,j)——與θp,j相關(guān)的函數(shù)；

rmD,i——全局坐標(biāo)系中第i個(gè)網(wǎng)格中心點(diǎn)處裂縫的無(wú)因次極半徑；

rmFD,i——局部極坐標(biāo)系中第i個(gè)網(wǎng)格中心點(diǎn)處裂縫的無(wú)因次極半徑；

ro——偏心距，m；

roD——無(wú)因次偏心距；

rpD——全局坐標(biāo)系中裂縫任意位置到儲(chǔ)集層中心的無(wú)因次距離；

Re——封閉外邊界半徑，m；

ReD——封閉外邊界無(wú)因次半徑；

RpD——全局坐標(biāo)系中裂縫任意位置到擬壓力計(jì)算點(diǎn)的無(wú)因次距離；

s——拉普拉斯變量；

S——表皮系數(shù)；

t——生產(chǎn)時(shí)間，d；

tD——無(wú)因次時(shí)間；

wf——裂縫寬度，m；

（x，y）——儲(chǔ)集層中任意位置，m；

xasym——井到裂縫中心的距離，m；

xasymD——裂縫無(wú)因次不對(duì)稱因子；

（xD，yD）——地層中任意點(diǎn)的無(wú)因次位置；

（xw，yw）——儲(chǔ)集層中井的位置，m；

（xwD，ywD）——井的無(wú)因次位置；

z′——柱坐標(biāo)系中偏心直井線源在z軸的位置，m；

Z——?dú)怏w偏差因子；

α——積分變量；

αm——形狀因子；

δ——狄利克雷函數(shù)；

θ——柱坐標(biāo)系中θ方向的弧度；

θ′——柱坐標(biāo)系中偏心直井線源在θ方向的弧度；

θF——局部坐標(biāo)系中裂縫與x軸的夾角，即裂縫夾角，（°）；

θm,i——全局坐標(biāo)系中第i個(gè)網(wǎng)格中心點(diǎn)與x軸的夾角，（°）；

θp——全局坐標(biāo)系中裂縫任意位置與x軸的夾角，（°）；

θp(rpD)——與rpD相關(guān)的函數(shù)；

θp,i——全局坐標(biāo)系中第i個(gè)網(wǎng)格與x軸的夾角，（°）；

θp,j——全局坐標(biāo)系中第j個(gè)網(wǎng)格與x軸的夾角，（°）；

λ——竄流系數(shù)；

μ——?dú)怏w黏度，mPa·s；

?f——裂縫孔隙度；

?m——基質(zhì)孔隙度；

ψ——擬壓力，Pa/s；

ψf——地層中任意點(diǎn)的井底擬壓力，Pa/s；

ψfD——無(wú)因次擬壓力；

fD——拉普拉斯空間無(wú)因次擬壓力；

fD,avg——拉普拉斯空間裂縫無(wú)因次平均擬壓力；

D,i——拉普拉斯空間第i個(gè)網(wǎng)格的無(wú)因次擬壓力；

ψi——原始地層壓力情況下的擬壓力，Pa/s；

wD——拉普拉斯空間無(wú)因次井底擬壓力；

Δψf——擬壓力差，Pa/s；

Δf——拉普拉斯空間擬壓力差，Pa/s；

ω——彈性儲(chǔ)容比。