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    巧用構(gòu)造法 解答數(shù)學(xué)題

    2022-07-24 12:17:34于靜靜
    數(shù)理天地(初中版) 2022年4期
    關(guān)鍵詞:半軸數(shù)學(xué)題時應(yīng)

    于靜靜

    【摘要】構(gòu)造法解題對學(xué)生的理解以及分析問題的能力要求較高,因此教學(xué)實踐中應(yīng)提高學(xué)生運用構(gòu)造法解題的意識與能力.

    【關(guān)鍵詞】構(gòu)造方程;二次函數(shù)

    1 構(gòu)造不等式解答數(shù)學(xué)題

    例題 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交于點(-2,0),(x1,0)且1

    A.a>0>bB.a>b>0

    C.b>a>0D.b

    解題過程

    因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交于點(-2,0)

    所以4a-2b+c=0,c=2b-4a.

    由二次函數(shù)圖象可知,要想滿足題意,拋物線的開口方向向上,即,a>0.基于對函數(shù)圖象的分析,構(gòu)造如下不等式組:a+b+c<04a+2b+c>0,將c=2b-4a代入解得b0,所以0

    解題點評 構(gòu)造不等式解答數(shù)學(xué)習(xí)題需要靈活運用所學(xué)對題干條件進行轉(zhuǎn)化,尤其充分挖掘函數(shù)圖象中的隱含條件,將圖象語言轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系,運用不等式知識巧妙突破.

    2 構(gòu)造方程解答數(shù)學(xué)題

    例題 若四個不相等的正實數(shù)a、b、c、d滿足(a2012-c2012)(a2012-d2012)=2012,(b2012-c2012)(b2012-d2012)=2012,則(ab)2012-(cd)2012的值為()

    A.-2012 B.-2011

    C.2012D.2011

    解題過程

    因為(a2012-c2012)(a2012-d2012)=2012,(b2012-c2012)(b2012-d2012)=2012,

    所以構(gòu)造方程(x-c2012)(x-d2012)=2012,且x1=a2012、x2=b2012是方程的兩個根.

    將方程整理得到x2-(c2012+d2012)x+(cd)2012-2012=0.

    由根與系數(shù)的關(guān)系得到x1x2=(ab)2012=(cd)2012-2012,

    所以(ab)2012-(cd)2012=-2012,選擇A項.

    解題點評 構(gòu)造方程解答數(shù)學(xué)習(xí)題需要能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì),尋找已知條件中的潛在規(guī)律,構(gòu)建相關(guān)的方程,尤其在構(gòu)建一元二次方程時需要注重應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系進行解題.

    3 構(gòu)造函數(shù)解答數(shù)學(xué)題

    例題 若x1,x2(x1

    A.m

    B.x1

    C.x1

    D.x1

    解題過程

    因為x1,x2(x1

    構(gòu)造函數(shù)y1=(x-m)(x-3)和y2=(x-m)(x-3)+1,其中函數(shù)y1圖象和x軸的交點為x=m和x=3,函數(shù)y2圖象和x軸的交點為x1和x2.

    函數(shù)y2的圖象可以看成由y1圖象向上平移一個單位得來.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1和函數(shù)y2圖象,如圖2所示,可以清晰的看到m

    解題點評 函數(shù)與方程有著緊密的聯(lián)系.解答方程類問題時應(yīng)注重構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù),靈活運用函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象的平移等知識,達到化難為易,順利解題的目的.

    4 構(gòu)造三角形解答數(shù)學(xué)題

    例題 如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,AB∥DC,AC⊥BC,CD=AD=5,AC=6,將四邊形ABCD向左平移m個單位后,點B恰好和原點O重合,則m的值為()

    A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

    解題過程

    分析可知m的值即為OB的長,因此,將問題轉(zhuǎn)化為求m的值.

    分別過點D作DE⊥AC,過點C作CF⊥OB,如圖4所示:

    因為AB∥DC,所以CD=OF,∠DCA=∠CAB.

    又因為CD=AD=5,AC=6,所以O(shè)F=5,CE=12AC=3,在Rt△DEC中,由勾股定理得到:DE=CD2-CE2=4.

    因為AC⊥BC,所以∠DEC=∠ACB=90°,所以△CED∽△ACB,所以DEBC=CEAC=CDAB,

    即,4BC=36=5AB,解得BC=8,AB=10

    又因為∠CFB=∠ACB=90°,所以△BCF∽△BAC,所以BCAB=BFBC,即,810=BF8,所以BF=6.4,

    所以O(shè)B=OF+BF=5+6.4=11.4,選擇A項.

    解題點評 解答初中數(shù)學(xué)幾何問題時應(yīng)積極聯(lián)系相關(guān)圖形的性質(zhì),尤其通過構(gòu)造相關(guān)的三角形運用勾股定理、三角形全等、三角形相似等知識尋找相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

    5 構(gòu)造圓形解答數(shù)學(xué)題

    例題 如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中 O為坐標(biāo)原點,半徑2的圓O與x軸負(fù)半軸交于點A,點B是圓O上一動點,點P為弦AB的中點,直線y=-43x+4與x軸,y軸分別交于點C、E,則△PCE面積的最小值為()

    A.5 B.6 C.254 D.112

    解題過程

    連接OP,如圖6,因為點P為弦AB的中點,

    所以O(shè)P⊥AB,∠APO=90°,點P的軌跡是以AO為直徑的圓,取AO的中點為點N.過N點作NF⊥EC于點F.NF和圓N交于點M.此時MF的值最小,即,△PCE面積的最小

    因為直線y=-43x+4與x軸,y軸分別交于點C、E,所以C(3,0),E(0,4),由勾股定理易得EC=5.

    因為圓O的半徑為2,所以NO=NM=1,NC=NO+OC=4,在△ENC中由面積相等得到:12NC·EO=12EC·NF,所以NF=165,所以MF=NF-NM=165-1=115,

    所以S△PCE=12EC·MF=12×5×115=112,選擇D項.

    解題點評 構(gòu)造圓形解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題時應(yīng)注重把握圓形的規(guī)律,能夠結(jié)合給出的已知條件準(zhǔn)確的判斷出圓心、圓的直徑、圓的半徑等,并靈活運用所學(xué)幾何知識解答問題.

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