隨機(jī)變量累積分布函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

王軍威，李光潔，袁 媛，曾 麗

（廣東外語外貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

概率論是高校理工類、經(jīng)管類專業(yè)的必修課程，是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。為更方便有力地研究隨機(jī)現(xiàn)象，需將隨機(jī)事件數(shù)量化，從而促使了隨機(jī)變量概念的建立。用隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象是近代概率論中最重要的方法。隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)的引入把對(duì)隨機(jī)變量的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為對(duì)累積分布函數(shù)的數(shù)值運(yùn)算。因此，研究隨機(jī)變量及其分布是概率論的主要任務(wù)，也是學(xué)習(xí)概率論必須掌握的重要知識(shí)點(diǎn)。

隨機(jī)變量及其分布等概念的建立使概率論發(fā)展成為一個(gè)更高的理論體系，正是如此，我們可以用微積分作為工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。然而，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生開始學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布時(shí)，對(duì)累積分布函數(shù)的直觀理解掌握較好，但缺乏對(duì)其深層次的理解。究其原因在于學(xué)生不能真正理解累積分布函數(shù)的分析性質(zhì)，從而影響學(xué)生對(duì)累積分布函數(shù)的應(yīng)用，成為學(xué)習(xí)概率論向分析化過渡階段的攔路虎。為此，我們嘗試基于翻轉(zhuǎn)課堂的混合模式設(shè)計(jì)教學(xué)過程，遵循“以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，把累積分布函數(shù)的預(yù)備知識(shí)和基礎(chǔ)知識(shí)設(shè)計(jì)為課前任務(wù)單，發(fā)揮學(xué)生的自主學(xué)習(xí)探究能力，為課堂教學(xué)做足做好知識(shí)儲(chǔ)備；在課堂教學(xué)時(shí)，庖丁解牛式講授累積分布函數(shù)的分析性質(zhì)，聚焦于累積分布函數(shù)的全面深入理解，培養(yǎng)學(xué)生用微積分技術(shù)研究累積分布函數(shù)的習(xí)慣。

1 隨機(jī)變量累積分布函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

為突出我們的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，教學(xué)過程僅展示“課前準(zhǔn)備”和“課堂教學(xué)”兩個(gè)階段，如圖1所示。我們把累積分布函數(shù)的預(yù)備知識(shí)和教材基礎(chǔ)知識(shí)放在“課前準(zhǔn)備”階段，要求學(xué)生課前自主學(xué)習(xí)，并完成自主診斷，這是高質(zhì)量“課堂教學(xué)”階段的重要保障，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)獲取知識(shí)的重要環(huán)節(jié)。

圖1 累積分布函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)思維導(dǎo)圖

2 課前任務(wù)單設(shè)計(jì)

2.1 函數(shù)極限相關(guān)任務(wù)單

2.2 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系相關(guān)任務(wù)單

3 課堂講授設(shè)計(jì)

通過回顧隨機(jī)變量概念入手介紹累積分布函數(shù)的定義，主要從“概率屬性”和“函數(shù)屬性”兩個(gè)維度引導(dǎo)學(xué)生全面深入理解累積分布函數(shù)。在講解累積分布函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，主要以微積分作為工具庖丁解牛式地推演性質(zhì)的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

3.1 累積分布函數(shù)的定義

3.2 累積分布函數(shù)的性質(zhì)

在（4）規(guī)范性的證明中，我們使用了自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)極限的歸結(jié)原則，而該知識(shí)點(diǎn)我們并沒有布置在課前任務(wù)單中，此時(shí)我們通常把（4）規(guī)范性的證明布置為課堂實(shí)踐或小組討論，讓學(xué)生在自主實(shí)踐或合作實(shí)踐過程中鍛煉定量思維、邏輯表達(dá)等能力。

在學(xué)習(xí)累積分布函數(shù)的概念和性質(zhì)后，學(xué)生對(duì)該模塊內(nèi)容有了深層次的理解，課堂實(shí)踐也增加了知識(shí)學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)。為全面學(xué)習(xí)累積分布函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，我們拋出問題“滿足定理3中四條基本性質(zhì)的函數(shù)是否必是某個(gè)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)？”引發(fā)學(xué)生思考，并給出相關(guān)結(jié)論供學(xué)生課外探究。

由于定理4的證明要用到測(cè)度論的方法，已超出本課程范圍，在此不予討論，感興趣學(xué)生可參考參考文獻(xiàn)[2][4]。

4 結(jié)論

遵循“以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，我們?cè)O(shè)計(jì)的課前任務(wù)單充分發(fā)揮學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，通過自我診斷獲得累積分布函數(shù)的預(yù)備知識(shí)；課堂講授聚焦累積分布函數(shù)的分析性質(zhì)，在環(huán)環(huán)相扣的證明推演過程中使學(xué)生獲得邏輯思維的鍛煉。教學(xué)實(shí)踐表明，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生更深入地理解累積分布函數(shù)的“概率屬性”和“函數(shù)屬性”。我們的教學(xué)設(shè)計(jì)有利于學(xué)生全面掌握累積分布函數(shù)的知識(shí)，為后續(xù)概率論的高階學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，同時(shí)也有利于學(xué)生在概率論學(xué)習(xí)中養(yǎng)成分析、抽象、推理等數(shù)學(xué)思維方式，提高學(xué)生利用微積分技術(shù)解決概率問題的能力。