基于數(shù)形結(jié)合思想的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略分析

◎吳 珮 （甘肅省慶陽(yáng)市鎮(zhèn)原縣孟壩初級(jí)中學(xué)，甘肅 鎮(zhèn)原 744506）

引 言

代數(shù)問(wèn)題比較煩瑣，不管是表達(dá)還是計(jì)算均不夠直觀，而將圖形引入代數(shù)學(xué)習(xí)，不僅有助于啟迪學(xué)生思維，而且可以提高解題效率.同樣在圖形學(xué)習(xí)中，由于幾何自身的性質(zhì)難以單純依靠自己實(shí)現(xiàn)完整表達(dá)，因此，代數(shù)和圖形若能被結(jié)合，則可達(dá)到圖形和抽象化概念相互轉(zhuǎn)化的效果，這樣做助力學(xué)生理解圖形，也讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加靈活.

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)用的重要性分析

（一）調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師若“直白”地講解數(shù)學(xué)知識(shí)，極易導(dǎo)致學(xué)生喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.同樣因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)具有邏輯性強(qiáng)、學(xué)習(xí)難度大的特點(diǎn)，所以學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中很容易失去學(xué)習(xí)信心，這樣會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)效果造成嚴(yán)重影響.教師通過(guò)有效引入數(shù)形結(jié)合思想，可使數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀明了的形式呈現(xiàn)，這樣在降低學(xué)習(xí)理解難度的基礎(chǔ)上激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)自主性.同時(shí)，“數(shù)”和“形”之間的轉(zhuǎn)換與結(jié)合，可使學(xué)生從多個(gè)視角學(xué)習(xí)知識(shí)，這樣不僅有利于活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，讓原本枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)變得趣味盎然.因此，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)模式，對(duì)于增強(qiáng)初中生數(shù)學(xué)知識(shí)分析能力、問(wèn)題創(chuàng)設(shè)能力、實(shí)踐學(xué)習(xí)技能等，都具有促進(jìn)性作用.教師要融合數(shù)形結(jié)合的趣味性和邏輯性特點(diǎn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化實(shí)踐學(xué)習(xí)認(rèn)知，進(jìn)而積極開展高質(zhì)量、多樣性的數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)活動(dòng)，彰顯數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂的重要意義，為學(xué)生全面性發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

（二）強(qiáng)化知識(shí)理解能力

相比小學(xué)，在初中數(shù)學(xué)教材中存在著許多需要學(xué)生理解與掌握的數(shù)學(xué)概念，可因?qū)W生自身因素限制，單純針對(duì)概念加以直接理解，他們往往會(huì)覺得有些困難.而利用數(shù)形結(jié)合思想可依托圖形直觀地呈現(xiàn)概念，讓抽象概念具體化，這樣一方面有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與掌握，另一方面還能降低學(xué)生對(duì)概念理解的難度.教師要在“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)思想中，科學(xué)開展知識(shí)強(qiáng)化與拓展活動(dòng)，保證學(xué)生在實(shí)踐學(xué)習(xí)中提高理解能力、強(qiáng)化綜合認(rèn)知，為學(xué)生全面性、多樣性發(fā)展做好鋪墊工作.通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)法的正確使用，教師合理滲透數(shù)學(xué)理論知識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)算理、定理的理解能力，保證學(xué)生在初中數(shù)學(xué)知識(shí)探索學(xué)習(xí)中，增強(qiáng)個(gè)人核心競(jìng)爭(zhēng)力，這樣做為學(xué)生全面性發(fā)展提供了助力，有效地彰顯了數(shù)形結(jié)合的重要育人作用，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（三）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

關(guān)于初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)，教師把數(shù)量關(guān)系變換成直觀清晰的圖形，這有利于學(xué)生觀察理解與分析.“數(shù)”和“形”結(jié)合的過(guò)程，不僅能打開學(xué)生的解題思路，還能增大其思維視野.教師要鼓勵(lì)學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，堅(jiān)持求真務(wù)實(shí)、拓展創(chuàng)新，保證學(xué)生數(shù)學(xué)思想得到充分培養(yǎng)，使學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力得到全面增強(qiáng)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心競(jìng)爭(zhēng)力得到提升.另外，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)法時(shí)，教師既要明確“數(shù)”“形”分開的教學(xué)意義，又要掌握“數(shù)”“形”結(jié)合的教學(xué)方法，促使學(xué)生在實(shí)踐學(xué)習(xí)過(guò)程中，全面拓展數(shù)學(xué)學(xué)科解題技能，讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與形態(tài)，全面增強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)，為學(xué)生高質(zhì)量、高效率開展實(shí)踐學(xué)習(xí)活動(dòng)做好鋪墊工作，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到全面拓展.

（四）提升實(shí)踐綜合能力

教師要根據(jù)學(xué)生具體學(xué)習(xí)情況，合理制定出詳細(xì)的“數(shù)形結(jié)合”育人方案，使學(xué)生在實(shí)踐學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步培養(yǎng)起學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到知識(shí)形成的結(jié)構(gòu)，并且積極開展對(duì)應(yīng)的實(shí)踐學(xué)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合能力.比如：教師要借助數(shù)形結(jié)合教學(xué)法，將數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深度解讀與剖析，幫助學(xué)生掌握其中的奧秘與內(nèi)涵，促使學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用過(guò)程中更加游刃有余、得心應(yīng)手.又如：在探究“一元二次函數(shù)”時(shí)，教師要科學(xué)應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”法，助力學(xué)生分析與探究函數(shù)圖像，使學(xué)生在具體學(xué)習(xí)過(guò)程中，扎實(shí)掌握知識(shí)要點(diǎn)與重點(diǎn)，全面培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐探索學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生科學(xué)掌握數(shù)學(xué)解題方式方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)綜合能力.另外，在數(shù)形結(jié)合教學(xué)活動(dòng)中，教師可以根據(jù)已學(xué)知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生進(jìn)行新知識(shí)點(diǎn)拓展學(xué)習(xí)活動(dòng)，促使學(xué)生科學(xué)鍛煉自主學(xué)習(xí)技能，增強(qiáng)實(shí)踐學(xué)習(xí)綜合能力，為學(xué)生逐步形成多樣性數(shù)學(xué)邏輯思維奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，保證學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中提升實(shí)踐學(xué)習(xí)效率，這樣數(shù)形結(jié)合教學(xué)法的應(yīng)用作用得到了彰顯.

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）快速尋找解題路徑

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思維策略，可用來(lái)尋找解題路徑.

當(dāng)∈R時(shí)，已知關(guān)于的一元二次方程7－（＋13）＋－－2＝0存在兩個(gè)實(shí)根，，而且0＜＜1＜＜2，試求的取值范圍.

此題如果直接應(yīng)用代數(shù)方法解答，對(duì)于初中學(xué)生而言相對(duì)困難.我們通過(guò)進(jìn)行再次審題與思路的轉(zhuǎn)化，便可以探尋到新的解題線索.這道題中的二次方程可以和二次函數(shù)相聯(lián)系，那么方程的根則能看作二次函數(shù)圖像和軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此便能順利想到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行解題.以下是具體的解題步驟.

設(shè)（）＝7－（＋13）＋－－2，畫出函數(shù)草圖如圖1所示，由圖可知（0）＞0，（1）＜0，（2）＞0.

圖1

將＝0，＝1，＝2分別代入（）＝7－（＋13）＋－－2中，可得：

通過(guò)求解不等式組，得到的取值范圍是－2＜＜－1或3＜＜4.

（二）降低函數(shù)問(wèn)題難度

初中剛開始，學(xué)生便會(huì)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的函數(shù)概念，然后會(huì)學(xué)習(xí)正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù).對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的思維水平絕對(duì)不可以僅停留在初級(jí)的具象與表面，而是要通過(guò)圖形與符號(hào)來(lái)表示相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于掌握函數(shù)圖像以及有關(guān)性質(zhì)，而函數(shù)圖像則需要掌握如何在平面內(nèi)對(duì)圖像進(jìn)行刻畫，此時(shí)會(huì)引進(jìn)平面直角坐標(biāo)系，直觀呈現(xiàn)有序?qū)崝?shù)對(duì)，而且通過(guò)坐標(biāo)來(lái)展現(xiàn)平面內(nèi)任意一點(diǎn)所處的位置，其實(shí)這便是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)體現(xiàn)，引入坐標(biāo)系自然就能將函數(shù)圖像與解析式有效連接起來(lái)了.無(wú)論是函數(shù)解析式還是函數(shù)圖像，它們都是表現(xiàn)函數(shù)的形式，而且是互相依存的整體，通過(guò)圖像可對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行刻畫或通過(guò)函數(shù)解析式可畫圖像.解析式屬于代數(shù)范疇，而圖像屬于幾何范疇，因此在學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)教師需充分應(yīng)用函數(shù)載體滲透數(shù)形結(jié)合思想，從而讓學(xué)生可以真正感受到這種思想方法在解題與思維提升方面起到的重要作用.

如圖2所示，軸和函數(shù)＝＋（2－1）＋1＋的圖像存在兩個(gè)交點(diǎn)，分別是點(diǎn)與點(diǎn).

圖2

（1）寫出＝＋（2－1）＋1＋的表達(dá)式.

（2）如果在該拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)存在一點(diǎn)，使△的面積為6，試求點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）針對(duì)（2）中的點(diǎn)，在此拋物線上是否也存在一點(diǎn)，使∠＝90°？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)以及△的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

依據(jù)問(wèn)題作輔助線（如圖3所示），這樣能讓所求的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更為直觀，讓原本相對(duì)抽象的問(wèn)題清楚展現(xiàn)，這便是數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用.

圖3

（1）函數(shù)圖像和軸相交于點(diǎn)，所以0＝＋1，那么＝－1，因此函數(shù)＝＋（2－1）＋1＋的表達(dá)式是＝－3.

（2）如圖3，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，因?yàn)椤鞯拿娣e是6，所以·＝12，在0＝－3的情況下（－3）＝0，所以＝0或＝3，可得＝3，所以＝4，令4＝－3，所以＝4或＝－1，因?yàn)椋剑?不符合題意，所以舍去，又因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)是（1.5，－2.25），所以軸下不存在點(diǎn).因此點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，4）.

（三）突破問(wèn)題的重難點(diǎn)

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)板塊中，有關(guān)幾何圖形變化的問(wèn)題是一大重點(diǎn)，而且圖形的變化也是學(xué)習(xí)平面幾何的重要基礎(chǔ).從中考數(shù)學(xué)試卷來(lái)看，針對(duì)圖形和幾何形狀位置等相關(guān)變化的綜合型問(wèn)題占比逐漸增大.但很多學(xué)生在幾何圖形方面缺少一定的想象能力與繪畫能力.因此在具體課堂教學(xué)過(guò)程中，教師需重點(diǎn)強(qiáng)化圖形變化的部分，以動(dòng)態(tài)化規(guī)律幫助學(xué)生進(jìn)一步了解圖形是怎樣發(fā)生、發(fā)展與變化的.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生更傾向于關(guān)注圖形的“形狀”屬性，可是實(shí)際上圖形還有其他的實(shí)際應(yīng)用，如“面積”，它通常只有在特殊問(wèn)題中才會(huì)被關(guān)注到.以平方差以及完全平方公式這部分教學(xué)為例，教師完全可以將公式與圖形相結(jié)合，通過(guò)矩形面積的割補(bǔ)理解平方差公式.具體如圖4所示.

圖4

其實(shí)利用面積進(jìn)行問(wèn)題求解的方式十分常見，尤其是在未來(lái)高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，該方法會(huì)具有更大的使用價(jià)值.所謂面積法，其主要是指通過(guò)和面積相關(guān)的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的手段.

如圖5所示，已知四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，若＝5，＝6，＝10，試求為多少.

圖5

（四）增進(jìn)知識(shí)點(diǎn)的理解

1.有理數(shù)教學(xué)部分.

有理數(shù)不僅是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，更是初中階段的重點(diǎn)授課內(nèi)容.教師有效地將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在教學(xué)中，能具體化、直觀化地呈現(xiàn)出有理數(shù)概念.“數(shù)軸”是對(duì)有理數(shù)開展形象分析的主要工具，并且在數(shù)軸上我們可以找到任何一個(gè)有理數(shù)，這樣學(xué)生在進(jìn)行有理數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)更清楚明了，另外，利用數(shù)軸還能方便處理有理數(shù)的四則運(yùn)算.以“比較有理數(shù)大小”為例，若題中給出較多的有理數(shù)，如負(fù)數(shù)、正數(shù)且涉及絕對(duì)值，則直接進(jìn)行比較一方面相對(duì)復(fù)雜，另一方面對(duì)于初學(xué)者而言存在一定的困難.此時(shí)，教師便可引導(dǎo)學(xué)生在草紙上畫出數(shù)軸，將比較對(duì)象放置于數(shù)軸上進(jìn)行標(biāo)識(shí)處理.

2.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)教學(xué)部分.

在進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)會(huì)存在多項(xiàng)數(shù)據(jù)，并且不同數(shù)據(jù)可能存在某種關(guān)系或者是彼此獨(dú)立，所以在統(tǒng)計(jì)不同的數(shù)據(jù)時(shí)，單純介紹數(shù)據(jù)不僅不直觀而且較為煩瑣，更無(wú)法將統(tǒng)計(jì)學(xué)的價(jià)值發(fā)揮出來(lái).但是通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，我們便可以直觀清晰地表達(dá)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，而且操作起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)單方便.比如，統(tǒng)計(jì)某中學(xué)某月的財(cái)政支出情況，我們首先針對(duì)不同支出項(xiàng)目數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，之后由折線圖或柱狀圖展現(xiàn)所統(tǒng)計(jì)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，由此會(huì)讓數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)更為直觀清晰.在具體應(yīng)用中，我們利用統(tǒng)計(jì)圖還能進(jìn)一步提高分析數(shù)據(jù)的速度及效率.總而言之，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用關(guān)鍵在于找到數(shù)和形的結(jié)合點(diǎn)，且對(duì)其加以有效轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)強(qiáng)化知識(shí)間的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系，針對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)加以科學(xué)構(gòu)建.而且數(shù)形結(jié)合思想，有利于提高原有的知識(shí)水平，在學(xué)習(xí)過(guò)程中加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.數(shù)形結(jié)合思想無(wú)論被運(yùn)用在解釋數(shù)學(xué)概念上，還是進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)分析上，都是豐富教學(xué)內(nèi)容、轉(zhuǎn)變學(xué)生單一機(jī)械數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式的重要手段.

結(jié)束語(yǔ)：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想的重要性不容置疑.在實(shí)際教學(xué)中，教師有意識(shí)地引入該思想能使問(wèn)題清晰化與簡(jiǎn)單化，有利于直觀呈現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)，多角度分析問(wèn)題意圖與內(nèi)容.學(xué)生通過(guò)實(shí)踐操作，在“數(shù)”和“形”之間靈活轉(zhuǎn)變，能讓其更清晰地把握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間存在的內(nèi)在邏輯，感受來(lái)自數(shù)學(xué)的獨(dú)有魅力.更重要的是數(shù)形結(jié)合思想可開拓學(xué)生思路，在增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的同時(shí)，為學(xué)生接下來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).