靈活運用平面幾何知識，讓解題更加高效

陳春梅

一般來說，平面幾何知識比較簡單.在解答與圖形有關的問題時，靈活運用平面幾何知識會更直觀、更簡單、更快捷、更有效.下面重點探討一下如何靈活運用平面幾何知識解答平面向量、三角函數(shù)、解三角形、解析幾何、立體幾何問題.

一、靈活運用平面幾何知識解答平面向量問題

平面向量的概念、運算、性質（模）、位置關系等都離不開平面幾何模型，特別是三角形、平行四邊形、圓等常見的平面幾何模型，這就為巧妙利用平面幾何知識破解平面向量問題奠定了基礎.在解答平面向量問題時，可根據題意和三角形法則、平行四邊形法則、向量的模的性質繪制出平面幾何圖形，然后靈活運用三角形、平行四邊形、圓的性質及其位置關系來解題.

根據題意，合理建模，將平面向量的概念、運算等問題轉化為平面幾何問題，能使解題過程變得更加直觀、簡單.

二、靈活運用平面幾何知識解答解三角形問題

解三角形問題通常與三角形、平行四邊形、圓有關.在解題時，可根據題意構造三角形模型，如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等，靈活運用正余弦定理、勾股定理以及直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的性質來建立三角形三邊、三角之間關系式即可解題.

結合圖形，直接利用正弦定理將邊化為角，并根據題目條件即可直接證明BD=b.對于第二個問題，需將問題中的邊角置于三角形中，利用三角形的面積公式、兩角正弦值相等確定對應角的關系，然后通過分類討論，根據相似三角形的判定與性質建立比例關系，最后根據三角形的性質以及余弦定理來求得cos ∠ABC的值.在利用平面幾何知識解答解三角形問題時，可根據圖形的位置合理將其進行切割、填補，這樣就能將問題轉化為比較熟悉的特殊三角形問題，利用特殊三角形的性質來進行分析與處理.

三、靈活運用平面幾何知識解答解析幾何問題

解析幾何主要包括直線、圓、拋物線、雙曲線、橢圓等相關知識.解析幾何問題通常是與直線、圓、曲線相關的問題.在解答與直線、圓、三角形有關的問題時，可結合圖形來分析問題，利用點到直線的距離公式、三角形的面積公式、圓的性質、兩點間的距離公式等平面幾何知識來解題.

過拋物線上的兩點作準線的垂線，就可以根據拋物線的定義將問題轉化為平面幾何中線段|AM|、|BM|的比例問題.在直角三角形中，根據勾股定理以及三角函數(shù)的定義來求出兩線段|AM|、|BM|的比例，即可解題.在解答解析幾何問題時，要學會根據圓、拋物線、雙曲線、橢圓等的定義、幾何性質來分析問題，這樣便能巧妙地運用平面幾何知識簡化問題.

四、靈活運用平面幾何知識解答立體幾何問題

在解答立體幾何問題時，我們經常要將問題中的垂直、平行關系轉化到某一個平面上，借助平面幾何知識來解題.這樣不僅可降低解題難度，還能提升解題的效率.通?？赏ㄟ^添加輔助線來構造三角形的中位線、平行四邊形、矩形等，將異面直線，平面外的直線平移到同一個平面內，這樣只需在平面內分析問題即可.

破解該立體幾何問題的關鍵在于巧妙地將立體幾何問題轉化為平面幾何問題.要求直線PB與AD1所成的角，需先根據正方體的性質，將異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角，然后根據線面垂直的判定與性質來確定線線之間垂直關系，進而將問題轉化為解直角三角形問題.再在Rt△PBC1中，根據正弦函數(shù)的定義求得該角的大小.

在解題時，同學們要學會將問題與平面幾何知識關聯(lián)起來，構造相應的平面幾何圖形，靈活運用平面幾何圖形的特征性質來建立關系式.巧妙利用平面幾何的圖形或相關性質來分析與解答高中數(shù)學問題，有利于化未知為已知，化復雜為簡單，化抽象為直觀，這樣可使解題過程既直觀，又簡潔明了.

（作者單位：山東省蒙陰縣實驗中學）