完備Buck-Sukumar 模型的光子阻塞效應(yīng)*

劉雪瑩 成書杰 高先龍

(浙江師范大學(xué)物理系，金華 321004)

1 引言

在量子光學(xué)中，Jaynes-Cummings (JC) 模型是一個(gè)描述單模光場與二能級(jí)原子相互作用的簡單模型[1].當(dāng)場和原子弱耦合時(shí)，它可以用于理解實(shí)驗(yàn)中的一些現(xiàn)象，如真空劈裂、量子Rabi 振蕩等[2-5].但隨著實(shí)驗(yàn)上超強(qiáng)甚至深強(qiáng)耦合區(qū)的實(shí)現(xiàn)，反旋波項(xiàng)的影響不可忽略，由此得到Rabi 模型[6，7].雖然Rabi 模型因反旋波項(xiàng)的引入U(xiǎn)(1)對(duì)稱性破缺，導(dǎo)致激發(fā)數(shù)不再守恒，但它仍然可以在Bargmann 空間解析求解[8，9].若場與原子間的相互作用是非線性的，則JC 模型被推廣為Buck-Sukumar (BS) 模型.此時(shí)，更復(fù)雜的BS 模型反而能夠解析地理解 JC 模型中出現(xiàn)的原子翻轉(zhuǎn)的周期自發(fā)塌縮恢復(fù)現(xiàn)象[10].Ng 等人[11]進(jìn)一步研究了具有反旋波項(xiàng)的BS 模型，發(fā)現(xiàn)該模型可以通過引入Casimir 算符，利用幺正變換解耦玻色模和場模來解析求解.此后，在BS 模型的基礎(chǔ)上，逐漸發(fā)展出了形式更為復(fù)雜的非線性耦合模型[12-14]，其能譜的特征極度依賴于非線性耦合的形式.作為一種描述非線性耦合的基本模型，BS 模型只有在耦合強(qiáng)度小于一個(gè)確定的臨界值時(shí)才有定義，且在該臨界值處能量發(fā)生塌縮現(xiàn)象.而在這個(gè)臨界值之外，隨著激發(fā)數(shù)增加，基態(tài)能量不斷減小，系統(tǒng)不再穩(wěn)定[11-15].而非旋波項(xiàng)不會(huì)改變這種性質(zhì)，只是減小了這個(gè)臨界值[16].這種只有在小于臨界耦合強(qiáng)度才能有定義的BS 模型，被稱為不完備的BS 模型.文獻(xiàn)[15]發(fā)現(xiàn)，如果在 BS 模型中引入一個(gè)微小的激發(fā)數(shù)平方項(xiàng)不僅可以消除這種不穩(wěn)定性，還能夠擴(kuò)大有定義的耦合區(qū)間，并把這樣的模型稱為完備的BS 模型.

另一方面，可以用超導(dǎo)量子電路實(shí)現(xiàn)的雙光子Rabi 模型也是一種非線性耦合的例子[17]，它也會(huì)在一個(gè)臨界耦合強(qiáng)度處發(fā)生能譜塌縮現(xiàn)象[18，19]，而引入非線性光子項(xiàng)可以消除這種能譜塌縮[20].基于上述 BS 模型和雙光子Rabi 模型都屬于非線性耦合的例子，且都具有能譜塌縮現(xiàn)象，本文將重點(diǎn)研究非線性光子項(xiàng)對(duì) BS 模型能譜的影響.研究表明，非線性光子項(xiàng)也可以消除BS 模型能譜塌縮現(xiàn)象，從而形成一種新的完備的 BS 模型.我們引入的非線性光子項(xiàng)能使BS 模型在整個(gè)耦合區(qū)間內(nèi)都有定義.在原子與場共振情況下，非線性光子項(xiàng)破壞了BS 模型的能譜簡諧性，通過計(jì)算二階關(guān)聯(lián)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)非線性光子項(xiàng)促進(jìn)光子阻塞，而在原子與場失諧的情況下，BS 模型的能譜在有定義的耦合區(qū)間內(nèi)非簡諧.非線性光子項(xiàng)使這種非簡諧的能譜擴(kuò)展到整個(gè)耦合區(qū)間，而且當(dāng)非線性光子耦合強(qiáng)度確定時(shí)，原子與場的正失諧更有利于光子阻塞.

2 模 型

1981 年，Buck 和Sukumar[10]提出將JC 相互作用轉(zhuǎn)化為一種強(qiáng)度依賴的形式，從而使原子翻轉(zhuǎn)數(shù)能夠有封閉的解析形式，這就是初始的 BS 模型.作為一種理論模型，BS 模型在實(shí)驗(yàn)上是很難實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗枰粋€(gè)能把大量場模疊加起來的囚禁離子設(shè)備[21].但在2016 年，Valverde 等人[22]考慮用庫珀對(duì)箱與納米機(jī)械共振器間的相互作用來構(gòu)建BS 模型，為BS 模型的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供了一條可能途徑.本文考慮引入了非線性光子項(xiàng)的BS 模型，其哈密頓量形式 (?=1) 為

其中ωf，ω0分別是光場和二能級(jí)原子的本征頻率;gr是描述光場與二能級(jí)原子的非線性耦合強(qiáng)度;U是非線性光子耦合強(qiáng)度;，分別是光場的產(chǎn)生、湮滅算符;(i=z，+，-)是泡利矩陣.該系統(tǒng)具有Z2對(duì)稱性，總激發(fā)數(shù)和宇稱都守恒.系統(tǒng)可以在|e〉?|n〉和|g〉?|n+1〉 的子空間進(jìn)行展開，即定態(tài)波函數(shù)|ψn〉可以寫成

其中，|g〉，|e〉分別是二能級(jí)原子基態(tài)與激發(fā)態(tài);|n〉為光子數(shù)態(tài)，n=0，1，2，···;an，bn分別是二能級(jí)原子占據(jù)激發(fā)態(tài)、基態(tài)的概率幅.將(1)式和(2)式代入定態(tài)薛定諤方程〉=En|ψn〉，可以得到展開系數(shù)an，bn間的關(guān)系為

解方程(3)，得到本征能譜En，

重新整理(3)式，得到

這里的±和能譜(方程(4))中的±對(duì)應(yīng).|g，0〉 也是系統(tǒng)本征態(tài)，稱為暗態(tài)|ψ〉d.則有對(duì)應(yīng)的暗態(tài)能量為Ed=-ω0/2 .考慮系統(tǒng)的宇稱守恒，即，如果此處定義，那么κ=±1 分別對(duì)應(yīng)偶、奇宇稱態(tài).又因?yàn)椋援?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|ψn〉 為奇宇稱態(tài);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，|ψn〉 為偶宇稱態(tài).暗態(tài)|ψ〉d是一個(gè)偶宇稱態(tài).

為了判斷系統(tǒng)的基態(tài)，這里對(duì)最近鄰的兩條能級(jí)作差:

當(dāng)U=0 時(shí)，系統(tǒng)回到BS 模型.此時(shí)，系統(tǒng)只有在gr＜ωf時(shí)才有很好的定義[16].正如圖1(a)所示，隨著gr增加，在臨界值ωf處塌縮成一點(diǎn).且根據(jù)(7)式和(8)式，當(dāng)gr超過ωf時(shí)，BS模型的基態(tài)由|ψ〉d變?yōu)閨ψn〉，n →∞，激發(fā)數(shù)也由零變?yōu)闊o窮.文獻(xiàn)[15]已經(jīng)指出，這種當(dāng)耦合強(qiáng)度大于某個(gè)臨界值后，隨著基態(tài)激發(fā)數(shù)增加，基態(tài)能量不斷減小的BS 模型稱為不完備的BS 模型.文獻(xiàn)[15]引入了激發(fā)數(shù)平方項(xiàng)來消除BS 模型的不完備性.隨著?的增大，臨界的耦合強(qiáng)度增大，相應(yīng)地，BS 模型有定義的耦合區(qū)間也擴(kuò)大.本文考慮非線性光子項(xiàng)，可以產(chǎn)生類似的效果并可以使不完備的BS 模型在整個(gè)耦合區(qū)間都有定義，從而構(gòu)建了一個(gè)完備的BS 模型.相較于文獻(xiàn)[15]，我們引入的非線性光子項(xiàng)更簡單.

圖1 共振時(shí) Δ=0，非線性光子耦合項(xiàng)對(duì) 旋波近似下的BS 模型能 譜的影響，其中 (a) U=0，(b) U=0.1，紅色代表偶宇稱態(tài)，藍(lán)色代表奇宇稱態(tài)，實(shí)線代表 支，虛線代表 支Fig.1.Influence of the nonlinear photon term on the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，where (a) U=0，(b) U=0.1，the red (blue) line represents the energy level with even (odd) parity while the solid (dashed) line represents the energy level of

接下來討論非線性光子項(xiàng) (U/=0) 對(duì)BS 模型的影響.當(dāng)U/=0 時(shí)，根據(jù)(7)式，由 δEd＞0 可得

圖2 共振時(shí) Δ=0，非線性光子 項(xiàng)對(duì)旋波近 似下BS 模型激發(fā)數(shù) 〈 〉 的影響Fig.2.For the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，the influence of the nonlinear photon term on the excited number 〈 〉 .

3 討論

對(duì)于確定的頻率ωf和耦合強(qiáng)度gr，當(dāng)U=0 時(shí)，能級(jí)差 δEn=ωf-gr是一個(gè)確定的值，能譜簡諧，也就是說，對(duì)于確定的光場頻率ωf和耦合強(qiáng)度gr，BS 模型相鄰兩條能級(jí)的差完全一樣，如圖3(a) 所示.此時(shí)，系統(tǒng)吸收一個(gè)光子的能量ωf可以從n光子態(tài)躍遷到n+1 光子態(tài).而當(dāng)U/=0時(shí)，能級(jí)差 δEn不再是一個(gè)定值，即等差的能級(jí)被U所破壞(見圖3(b)).除此之外，圖3(b)也給出了U=0.5 (黑色實(shí)線)和U=1 (紅色虛線)時(shí)，δEn隨耦合強(qiáng)度gr的變化.顯然，越大的U項(xiàng)使相鄰兩條能級(jí)間隔更大.此時(shí)，系統(tǒng)吸收一個(gè)光子的能量ωf從零光子態(tài)到單光子態(tài)之后，需要克服能量δE0-δEd才能再吸收一個(gè)光子變成兩光子態(tài)，即一個(gè)光子排斥另一個(gè)光子.這種光子間的排斥效應(yīng)稱為光子阻塞效應(yīng).可見，能譜的非簡諧性暗示著光子阻塞效應(yīng)的存在[23].

圖3 共振時(shí) Δ=0，非線性光子項(xiàng)對(duì)旋波近似下的BS模型能級(jí)差δ Em，m=d， 0，1，··· 的影響 (a) U=0 ;(b) U /=0，圖中 紅色線表示 U=1，黑色線表示 U=0.5Fig.3.For the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，the influence of the nonlinear photon term on the nearest neighbor energy level difference δEm，m=d， 0，1，···，where (a) U=0，(b) U /=0 and the red (black) line represents U=1(0.5) in panel (b).

為了進(jìn)一步討論該模型的光子阻塞，引入二階關(guān)聯(lián)函數(shù).當(dāng)場是單模的，二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G2(0)可以寫成產(chǎn)生、湮滅算符的形式來簡化計(jì)算[23，24].對(duì)于一個(gè)經(jīng)典場，G2(0)＞1，而G2(0)＜1 可以作為一個(gè)量子化光場的證據(jù)[23].此外，G2(0) 也可以用來衡量同時(shí)吸收兩個(gè)光子的概率.對(duì)于一個(gè)Fock態(tài)|n〉，G2(0)=1-1/n.因此，對(duì)于單光子態(tài)|1〉，G2(0)=0，表明在該態(tài)下，只存在一個(gè)光子，且不能同時(shí)被兩個(gè)探測器觀測到，這就是眾所周知的光子阻塞效應(yīng).對(duì)于G2(0)＜1，同時(shí)觀測到兩個(gè)光子的概率比較小，稱之為光子反聚束效應(yīng).相似地，當(dāng)G2(0)＞1 時(shí)，光子更趨向于一起被探測器觀測到，所以稱為光子聚束效應(yīng).對(duì)于相干態(tài)，G2(0)=1 .考慮真空態(tài)|0〉 是特殊的相干態(tài)，真空態(tài)下的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)為 1，即G2(0)=1[24].

通常，光子反聚束就意味著光子阻塞[23-26].但是，在半導(dǎo)體實(shí)驗(yàn)中，只有當(dāng)G2(0)＜1/2，光源才會(huì)發(fā)射出單光子[27].理論上也已經(jīng)證實(shí)，在G2(0)＜1/2 的態(tài)上存在一個(gè)非零的單光子投影態(tài)[24]，因此，G2(0)＜1/2 可以代表光子阻塞的發(fā)生.

已經(jīng)知道，當(dāng)Fn+1(U)-Fn(U)＜4(n+1)U+2ωf，基態(tài)為.也就是說，耦合強(qiáng)度gr超過，在F1(U)-F0(U)＜4U+2ωf的參數(shù)區(qū)間內(nèi)，二階關(guān)聯(lián)函數(shù)為G2(0)=0，此時(shí)基態(tài)為.在F1(U)-F0(U)＞4U+2ωf且F2(U)-F1(U)＜8U+2ωf的參數(shù)區(qū)間內(nèi)，此時(shí)的基態(tài)為，在單光子態(tài)上有投影，故其二階關(guān)聯(lián)函數(shù)應(yīng)該滿足G2(0)＜1/2 .而在其他參數(shù)區(qū)間，基態(tài)在單光子態(tài)上都沒有投影，二階關(guān)聯(lián)函數(shù)大于 1/2 .因此，對(duì)于有非線性光子項(xiàng)的BS 模型的基態(tài)，在共振情況下，其光子阻塞只發(fā)生在有限參數(shù)區(qū)間內(nèi).圖4 通過計(jì)算非線性光子項(xiàng)對(duì)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響，驗(yàn)證了這一事實(shí).圖4(a)給出二階關(guān)聯(lián)函數(shù)隨U和gr的變化，其中顏色代表 log(G2(0))的值.圖中藍(lán)色區(qū)域是發(fā)生光子阻塞 (G2(0)=0)的區(qū)域.顯然，隨著U的增大，藍(lán)色區(qū)域越來越大，開始發(fā)生阻塞的臨界耦合也越來越大.這個(gè)藍(lán)色區(qū)域也對(duì)應(yīng)著G2(0) 隨gr變化的圖4(b)中G2(0)=0 的那個(gè)平臺(tái).從圖4(b)可以看出，U越大，G2(0)=0 的平臺(tái)越寬，這表明非線性光子項(xiàng)有利于光子阻塞.除此之外，圖4(b)中也顯示了越過G2(0)=0 的平臺(tái)的另一個(gè)G2(0)＜1/2 的平臺(tái)，這對(duì)應(yīng)著有單光子投影的態(tài).這個(gè)平臺(tái)也是隨著U的增大處于更大的耦合強(qiáng)度gr范圍內(nèi)，這進(jìn)一步證實(shí)了非線性光子項(xiàng)有利于光子阻塞效應(yīng).

圖4 共振時(shí) Δ=0，非線性 光子項(xiàng) 對(duì)旋波 近似下 BS 模型的基態(tài)二階關(guān)聯(lián)函數(shù) G2(0) 的影響 (a) G2(0) 隨非線性光子 U 和耦合強(qiáng)度 gr 的變化，顏色代表對(duì) G2(0) 取對(duì)數(shù)后 log(G2(0)) 的值;(b) 不同非線性光子耦合強(qiáng)度U 下G2(0) 隨耦合強(qiáng)度 gr 的變化Fig.4.For the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，the influence of the nonlinear photon term on the second-order correlation function G2(0) :(a) Variation of G2(0) as a function of the nonlinear photon term U and the coupling strength gr，where the color represents the value of log(G2(0)) ;(b) variation of G2(0) as a function of the coupling strength gr for different nonlinear photon terms U.

可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于較小的失諧量Δ，n很大的高能級(jí)來說，(10)式中Δ2項(xiàng)可以忽略.那么，高能級(jí)可以近似看成簡諧的，且在耦合強(qiáng)度gr超過臨界值(約等于ωf)后，激發(fā)數(shù)趨于無窮大，系統(tǒng)還是不穩(wěn)定.加入非線性光子項(xiàng)(U/=0)后，當(dāng)時(shí)，基態(tài)是暗態(tài)，對(duì)應(yīng)著基態(tài)激發(fā)數(shù)為零，超過這個(gè)耦合強(qiáng)度，激發(fā)數(shù)變?yōu)橛邢?值，且出現(xiàn)階梯狀的平臺(tái)，如圖5(a)所示.這表明，失諧情況下，非線性光子項(xiàng)使BS 模型在整個(gè)耦合區(qū)間內(nèi)有定義.而且，對(duì)于負(fù)失諧Δ＜0，隨著Δ的增加，基態(tài)激發(fā)數(shù)在更小的gr處變?yōu)榉橇?值得注意的是，圖5(a)顯示出，在正失諧情況下，即使耦合強(qiáng)度gr很小，基態(tài)也是非零激發(fā)的.這是因?yàn)閷?duì)于同一能級(jí)，同樣的失諧量，正失諧要比負(fù)失諧的能量更低，即 δEd(Δ ＞0)＜δEd(Δ ＜0) (見 圖5(b)).因 此，對(duì)于某一耦合強(qiáng)度gr，當(dāng)正失諧時(shí)，才能保證基態(tài)激發(fā)數(shù)為零.顯然，存在一個(gè)臨界失諧量Δc=ωf，當(dāng)Δ≥Δc，即使gr→0，基態(tài)也是，對(duì)應(yīng)的基態(tài)激發(fā)數(shù)為 1 .圖5(a)中的紫粉色線顯示了正失諧下沒有零激發(fā)出現(xiàn)的情況.對(duì)于同一能級(jí)，正失諧的能量比負(fù)失諧的要更低，吸收一個(gè)光子需要克服的能量要更多.故正失諧有利于光子阻塞.失諧量對(duì)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響可以反映出這一現(xiàn)象(見圖5(c)).圖5(c)顯示了二階關(guān)聯(lián)函數(shù)在U=0.1 時(shí)隨耦合強(qiáng)度gr的變化.顯然，正失諧會(huì)使G2(0)=0 的耦合區(qū)間變大.而負(fù)失諧情況下，G2(0)=0 的區(qū)間減少甚至消失.在Δ=-1時(shí)只存在一個(gè)G2(0)＜1/2 的小平臺(tái)(圖5(c)藍(lán)色線)，這對(duì)應(yīng)的激發(fā)數(shù)為 2 (圖5(a)藍(lán)色線)的小平臺(tái)，此時(shí)基態(tài)為.這進(jìn)一步表明，負(fù)失諧會(huì)使基態(tài)擁有更高的激發(fā)數(shù);對(duì)于失諧量|Δ|較大的負(fù)失諧，超過臨界耦合，基態(tài)直接從激發(fā)數(shù)為零的態(tài)變?yōu)閾碛懈嗉ぐl(fā)數(shù)的態(tài)，且這個(gè)態(tài)在單光子態(tài)上沒有投影(圖5(a)和圖5(c)紫粉色線).這表明負(fù)失諧抑制光子阻塞.

圖5 非線性光子項(xiàng)為 U=0.1 時(shí)，失諧量 Δ /=0 對(duì)旋波近似下BS 模型的(a) 基態(tài)激發(fā)數(shù) ，(b) 能級(jí)差 δEm，m=d， 0，1，(c) 基態(tài)二 階關(guān)聯(lián)函數(shù) G2(0) 的影響.圖(b)中紅色 線代表 Δ=-2，黑色線代表 Δ=0，藍(lán)色線代表Δ=2Fig.5.For the BS model with the rotating wave approximation with the nonlinear photon term U=0.1，influence of the detuning Δ /=0 on the (a) excited number in the ground state，(b) nearest neighbor energy level difference δEm，m=d， 0，1，and (c) second-order correlation function G2(0) in the ground state.The red，black and blue line represent Δ=-2，Δ=0 and Δ=2 respectively in panel (b).

4 結(jié)論

本文在BS 模型的基礎(chǔ)上引入非線性光子項(xiàng)，在旋波近似下，該項(xiàng)不會(huì)破壞激發(fā)數(shù)與宇稱守恒，可以在|e〉?|n〉和|g〉?|n+1〉 的子空間進(jìn)行展開來求解定態(tài)薛定諤方程，從而得到本征能譜和本征態(tài)，進(jìn)一步通過計(jì)算激發(fā)數(shù)及二階關(guān)聯(lián)函數(shù)研究非線性光子項(xiàng)對(duì)BS 模型能譜性質(zhì)及光子阻塞效應(yīng)的影響.

研究表明，非線性光子項(xiàng)可以消除BS 模型的能譜塌縮，使其變成一個(gè)完備的BS 模型.當(dāng)原子與場共振時(shí)，非線性光子項(xiàng)破壞了BS 模型的能譜簡諧性，使它的基態(tài)激發(fā)數(shù)出現(xiàn)了類似JC 模型中的階梯狀的平臺(tái).非線性光子項(xiàng)可以在更大的耦合區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生單光子投影態(tài)，這是因?yàn)榇蟮姆蔷€性光子項(xiàng)使光子更難向高能級(jí)躍遷.相應(yīng)地，非線性光子項(xiàng)擴(kuò)大了為零的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)所在的耦合區(qū)間，更有利于光子阻塞.此外，討論了失諧量對(duì)這個(gè)完備的BS 模型的影響.原子與場失諧時(shí)，非線性光子項(xiàng)的加入，可以使原來能譜非簡諧的區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)耦合區(qū)間.在確定的非線性光子耦合強(qiáng)度下，擁有同樣失諧量的BS 模型，對(duì)于同一能級(jí)來說，正失諧要比負(fù)失諧的能量低，系統(tǒng)再吸收一個(gè)光子需要克服更多的能量.因此，正失諧促進(jìn)光子阻塞.而對(duì)于負(fù)失諧，系統(tǒng)更容易吸收光子向更高的能級(jí)躍遷;對(duì)于失諧量較大的負(fù)失諧，系統(tǒng)基態(tài)在單光子態(tài)上不再有投影，故負(fù)失諧抑制光子阻塞.

對(duì)擁有非線性光子項(xiàng)的BS 模型的研究，一方面其完備性為全參數(shù)空間模擬BS 模型的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供了一種新思路;另一方面，其中出現(xiàn)的光子阻塞效應(yīng)也為實(shí)現(xiàn)單光子源提供了新的路徑.最后，加了非線性光子項(xiàng)的BS 模型存在與JC 模型類似的能譜非簡諧性[28，29]，當(dāng)把多個(gè)腔通過光子躍遷聯(lián)系起來時(shí)，這種非簡諧性帶來的光子阻塞會(huì)與光子躍遷項(xiàng)形成競爭，從而為BS-Hubbard 模型的構(gòu)建提供了可能.