噴頭潤濕性對EHD打印射流形態(tài)影響的數(shù)值模擬

潘宣佐，曹倩倩，吳震宇，劉 浩，尚 濤，吳 舟

(1.浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動控制學(xué)院，杭州 310018；2.嘉興學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001)

0 引言

電流體動力學(xué)打印的基本原理基于電動力學(xué)及流體力學(xué)理論，具有高效率、高精度和高可控性等特點，在諸多領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注[1]。目前，在印刷電子[2-4]、柔性傳感器[5]、可穿戴電子設(shè)備[6]、碳納米復(fù)合材料[7]、光電設(shè)備[8]、生物技術(shù)[9]等諸多領(lǐng)域?qū)﹄娏黧w動力學(xué)打印有著廣泛的科研和工程需求。影響電流體動力學(xué)打印的因素較為復(fù)雜，墨水參數(shù)、打印工藝及環(huán)境參數(shù)等決定了電流體動力學(xué)的打印模式和打印精度。深入理解電場作用下流體的多相界面及動力學(xué)特性對實現(xiàn)電流體動力學(xué)的高效打印具有重要意義。

隨著計算機(jī)運算能力的增強(qiáng)，通過數(shù)值方法來解決流體問題成為研究熱點。計算流體力學(xué)(computational fluid dynamics，CFD)可用來進(jìn)行流場及其相關(guān)多物理場的分析計算。雖然實驗方法能精確分析流體流動的現(xiàn)象，但實際研究中，對于復(fù)雜的微小流體運動，很難通過實驗監(jiān)測分析。采用CFD方法可以直觀地分析流場中流體流動的界面和動力學(xué)特性，已成為流體力學(xué)研究的重要方法。

近十幾年來，許多學(xué)者對電流體動力學(xué)的數(shù)值模擬進(jìn)行了深入研究。Hirt等[10]、Morteza[11]和危衛(wèi)等[12]基于VOF(volume of fluid)方法研究了均勻及非均勻電場下中性及帶電液滴的變形及動力學(xué)特性，分析了電場作用下液滴表面電荷的分布規(guī)律。錢壘等[13]和蘭紅波等[14]采用脈沖錐射流和連續(xù)錐射流兩種打印工作模式，對噴嘴處電場分布和錐射流噴射過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。Karim等[15]基于VOF方法模擬了電沉積時液滴形狀的變化，并計算得到電解液的電位及電流密度。Rudolf等[16]建立了平行極板間帶電液滴運動的數(shù)學(xué)模型，研究了液滴震蕩頻率與液滴屬性、電場強(qiáng)度的關(guān)系。Subhamoy等[17]基于VOF方法對液滴與基板的碰撞現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬，通過改變電勢等參數(shù)分析了液滴的潤濕性質(zhì)及碰撞速度。Gaute等[18]使用相場模型對液滴電潤濕進(jìn)行動態(tài)模擬，得到了接觸角的有效表達(dá)式。

目前，雖然電流體動力學(xué)打印的數(shù)值模擬研究已經(jīng)取得了較大進(jìn)展，但在錐射流形成機(jī)理方面依然有許多問題尚待解決。墨水與毛細(xì)管噴頭潤濕性對電流體動力學(xué)打印的影響有重要研究意義，但相關(guān)研究工作未見報道。通過建立電流體動力學(xué)兩相流數(shù)值模型，改變墨水與毛細(xì)管噴頭的接觸角[19]，研究電流體動力學(xué)打印過程中射流的形成機(jī)理及影響因素。

1 計算方法及模型系統(tǒng)

1.1 電流體動力學(xué)打印系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

電流體動力學(xué)打印系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖1。流體由微量注射泵在預(yù)定速度流量下注入毛細(xì)管噴頭內(nèi)。在毛細(xì)管噴頭和接收基板之間施加高電壓。在電場作用下，液滴表面電荷沿著輪廓表面向下移動，聚集在液滴尖端。由于電荷不斷在液滴尖端聚集，液滴尖端受到的電場力越來越大，半圓形液滴尖端拉伸成錐形。最終，當(dāng)液滴所受的電場力大于表面張力和黏性力時，液滴尖端形成錐射流。在計算模型中，采用的毛細(xì)管噴頭內(nèi)部半徑為0.06 mm，毛細(xì)管口與接收基板間的距離為20 mm。為研究不同接觸角的影響，設(shè)定其范圍為30°～90°，流量供給速度為0.3 m/s，毛細(xì)管噴頭與基板間施加電壓為12 kV。

圖1 電流體動力學(xué)打印系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 理論分析

在電流體動力學(xué)打印中，黏性力、電場力、慣性力的作用影響流體運動。根據(jù)質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒定律，對于不可壓縮流體，相應(yīng)的流體力學(xué)方程組可表示為：

(1)

▽·u=0

(2)

其中：u為流體速度；ρ為流體密度；p為流體壓力；σf為黏性應(yīng)力張量；σe為Maxwell應(yīng)力張量；F為流體受到總體積力，在本模型中包括重力G和電場力Fe。黏性應(yīng)力張量σf、Maxwell應(yīng)力張量σe分別表示為：

(3)

(4)

其中：μ為流體的動力黏度；I為單位張量；ε為流體的相對介電系數(shù)；ε0為真空條件下的介電常數(shù)，ε0=8.85×10-12F/m；E為外加電場量；qv為流體的體積電荷密度。

根據(jù)Maxwell方程，電場的特征時間為τe=εε0/K。假設(shè)流體運動的時間為τi，對于非電解質(zhì)連續(xù)性流體，電荷運動的時間遠(yuǎn)小于流體運動的時間(τe<<τi)，故可以忽略電荷隨時間的變化。電荷守恒方程表示為：

▽·(K▽Φ)=0

(5)

其中：K為流體的電導(dǎo)率；E表示電勢梯度▽Φ兩相界面上電場的切向分量和法向分量，滿足如下關(guān)系式：

τ·‖E‖=0

(6)

n·‖E‖=qs

(7)

qv=qs▽γ

(8)

其中：qs為表面電荷密度；n為兩相界面的單位法向量；τ為兩相界面的單位切向量；‖E‖為兩相界面上電位移的差值。

通過將液滴表面電荷與電場的作用力轉(zhuǎn)換為體積力，電場力Fe可表示為：

(9)

1.3 數(shù)值方法

基于有限體積法求解電流體動力學(xué)方程。有限體積法將計算區(qū)域劃分為一系列微小的控制體積，每個控制體積都有1個節(jié)點作代表，待求解的微分方程在控制體積和一定時間內(nèi)對時間和空間進(jìn)行積分。利用網(wǎng)格單元中流體體積與網(wǎng)格體積的比值確定兩相流界面的位置和形狀。通過定義函數(shù)γ表示流體體積與網(wǎng)格體積的比值，其滿足：

(10)

γ的取值范圍為0≤γ≤1，在兩相接觸界面上流體屬性的變化滿足加權(quán)平均式：

ρ=ρ1γ+ρg(1-γ)

(11)

μ=μ1γ+μg(1-γ)

(12)

K=Kl+Kg(1-γ)

(13)

ε=ε1γ+εg(1-γ)

(14)

其中：ρ為流體密度；μ為流體黏度；K為流體電導(dǎo)率；ε為流體相對介電系數(shù)。

1.4 幾何網(wǎng)格模型與邊界條件

電流體動力學(xué)打印模擬區(qū)域的結(jié)構(gòu)相對規(guī)則，墨水在毛細(xì)管噴頭內(nèi)的分布連續(xù)均勻。為了提高計算效率，以噴頭中心對稱軸建立二維軸對稱模型來模擬電流體動力學(xué)打印過程，并對二維幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對計算區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行局部細(xì)化加密。圖2為電流體動力學(xué)打印系統(tǒng)的二維軸對稱模型，其中噴頭位置處的計算網(wǎng)格進(jìn)行了局部放大。

圖2 電流體動力學(xué)打印系統(tǒng)的二維軸對稱模型示意圖

毛細(xì)管的內(nèi)部半徑為0.06 mm，外部半徑為0.2 mm，高度為2 mm，距接收基板距離為20 mm。采用漸變網(wǎng)格，網(wǎng)格數(shù)量為480 000，最小網(wǎng)格尺寸為2 μm，最大網(wǎng)格尺寸為20 μm。

墨水材料以液態(tài)庚烷為例。在室溫環(huán)境下，液態(tài)密度為680 kg/m3，電導(dǎo)率為1.15×10-6s/m,相對介電常數(shù)為80，表面張力為0.02 mN/m，運動黏度為5.7×10-7m2/s。按自適應(yīng)時間步長進(jìn)行計算。邊界條件設(shè)置如表1所示。

表1 幾何模型邊界條件

2 結(jié)果和討論

選取初始狀態(tài)下墨水與噴頭的接觸角分別為30°、45°、60°、75°和90°，以液態(tài)庚烷為墨水材料。在設(shè)定邊界條件下，通過在CFD開源軟件OpenFOAM兩相流模型的基礎(chǔ)上耦合電動力學(xué)方程進(jìn)行電流體動力學(xué)打印的數(shù)值計算。選取模擬初始時刻、液滴呈明顯錐狀時刻、形成穩(wěn)態(tài)射流時刻等多個特征時間節(jié)點記錄流場、射流狀態(tài)及內(nèi)部受力情況。由于流體內(nèi)部電荷分布會影響流體的受力，故對電荷分布和電場強(qiáng)度分布做進(jìn)一步分析。

2.1 不同接觸角錐射流的形態(tài)分析

圖3—7分別為不同接觸角條件下對應(yīng)的電流體錐射流形態(tài)演變。可以看出，接觸角變化對電流體錐射流形態(tài)有顯著影響。在模擬初始時刻，墨水與毛細(xì)管口持平；模擬時間為0.40 ms時，各組液滴均在毛細(xì)管噴頭底部呈外凸?fàn)?，但形態(tài)有明顯差異，除90°接觸角外，液滴均與毛細(xì)管外壁有明顯接觸，接觸面積隨著接觸角的增加而減小。隨著模擬的進(jìn)行，在電場力的作用下錐射流逐漸被拉長。

圖3 接觸角30°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖4 接觸角45°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖5 接觸角60°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖6 接觸角75°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖7 接觸角90°時電流體錐射流形成的模擬圖

對于接觸角為30°的情況，當(dāng)模擬時間達(dá)到2 ms時，噴頭的下表面被完全潤濕。潤濕性對被拉長錐射流的形態(tài)有顯著影響。例如，氣液界面的曲率有明顯變化，這將影響表面張力和電場力的平衡。另外，計算結(jié)果表明，泰勒錐尖端液滴的射流時間隨著接觸角的增加而縮短。

圖8和圖9分別為不同接觸角情況下，液滴在0.40 ms及射流達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，錐射流半徑隨錐射流長度的變化。

圖8 0.40 ms時各接觸角錐射流半徑隨長度的變化情況

圖9 穩(wěn)定射流時各接觸角錐射流半徑隨錐射流長度的變化情況

可以看出，接觸角越小，錐射流長度越小，而與毛細(xì)管噴頭的接觸面積反而越大；30°接觸角時，錐射流半徑最大；90°接觸角時，錐射流長度最長。模擬初期，電荷在錐射流頂端聚集較少，受到電場力的作用較??；當(dāng)接觸角為30°時，墨水在噴頭管口的潤濕性較強(qiáng)，因此能形成較大的接觸面積。由于不同接觸角條件下流量一致，當(dāng)模擬時間均為0.40 ms時，下垂液滴的體積相等，形成的錐射流長度最小。隨著模擬的進(jìn)行，直至形成穩(wěn)定射流，可以發(fā)現(xiàn)，接觸角越小，形成錐射流的長度和半徑均最大。其中，90°接觸角時，錐射流的長度和半徑最小。在噴頭處錐射流半徑為毛細(xì)管內(nèi)徑0.06 mm。當(dāng)流量以預(yù)定速度繼續(xù)供應(yīng)時，電荷也沿著液滴輪廓朝尖端進(jìn)一步聚集，液滴尖端受到的電場力越來越大。當(dāng)電場力足以克服液滴表面張力和黏滯力的作用時，尖端形成射流。接觸角越小時，穩(wěn)定錐射流的長度越長。

2.2 不同接觸角錐射流的形成規(guī)律

各接觸角錐射流長度與模擬時間的關(guān)系見圖10。當(dāng)接觸角為30°時，形成射流需要的時間最長，且錐射流長度最大。對比各接觸角錐射流的長度變化可以看出，模擬初期，接觸角越小時，錐射流長度增加越慢；隨著模擬的進(jìn)行，各接觸角錐射流長度的增長速度加快。這是因為在模擬初期，接觸角越小，墨水與毛細(xì)管噴頭的接觸面積越大；由于各組流量供應(yīng)速度一致，錐射流長度增加越慢；模擬進(jìn)行時，液滴長度增加，而半徑變小，長度增加速度加快；即將形成射流時，液滴尖端形態(tài)相似，所以各接觸角錐射流長度增長速度相近。

圖10 各接觸角錐射流長度與模擬時間的關(guān)系

為了進(jìn)一步分析射流的形成機(jī)理，圖11給出了45°接觸角時各時刻射流表面電荷密度的分布。電荷沿著錐形液滴界面分布，液滴頂端的凈電荷密度最高，隨著射流的伸長，電荷進(jìn)一步在液滴頂端聚集，液滴內(nèi)部則沒有自由電荷分布。

圖11 接觸角45°時墨水表面電荷密度分布

圖12是接觸角為45°時，各時刻電場強(qiáng)度的分布。可以發(fā)現(xiàn)，各時刻電場強(qiáng)度在液滴頂端及毛細(xì)管噴頭壁處較強(qiáng)，并沿四周向外快速減弱。隨著模擬的進(jìn)行，電場強(qiáng)度在毛細(xì)管噴頭壁處減弱，在液滴頂端處加強(qiáng)。電場強(qiáng)度與射流表面電荷密度的變化規(guī)律相似。結(jié)合電流體動力學(xué)理論分析可知，氣液兩相界面處的電荷受電場力作用帶動流體運動，使錐形液滴發(fā)生顯著形變。電荷移動導(dǎo)致電場變化，電場變化又反過來作用于電荷使其發(fā)生遷移。

圖12 接觸角45°時電場強(qiáng)度分布

圖13—17為穩(wěn)定射流狀態(tài)下，各接觸角液滴內(nèi)部速度方向示意圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，接觸角為30°、45°和60°時，切向電場力使得墨水沿錐面切向流動，由中心部位向兩端回流，在內(nèi)部形成2個對稱的渦。接觸角為75°和90°時，射流雖有向兩端流動的趨勢，但未形成回流。接觸角越小，墨水越容易吸附在毛細(xì)管噴頭表面上，與毛細(xì)管噴頭的接觸面積越大，相應(yīng)的回流區(qū)域越大。

圖13 接觸角30°時液滴速度方向示意圖

圖15 接觸角60°時液滴速度方向示意圖

圖16 接觸角75°時液滴速度方向示意圖

圖17 接觸角90°時液滴速度方向示意圖

3 結(jié)論

當(dāng)墨水與毛細(xì)管噴頭接觸角越小時，潤濕性越強(qiáng)，兩者的接觸面積越大；在射流形成期間，當(dāng)模擬時間相同時，對于接觸角較小的情況，對應(yīng)的射流長度較短；當(dāng)射流穩(wěn)定之后，接觸角越小時，錐射流的長度反而越長，形成射流需要的時間越長，相應(yīng)的回流區(qū)域越大。研究結(jié)果可為進(jìn)一步理解電流體動力學(xué)打印過程中的射流動力學(xué)機(jī)理和改進(jìn)噴頭結(jié)構(gòu)提供參考。