例談求圓錐曲線離心率的途徑

傅劍

圓錐曲線的離心率是反映圓錐曲線幾何特征的一個(gè)基本量.圓錐曲線的離心率主要是指橢圓與雙曲線的離心率，可用e=-來表示.求圓錐曲線的離心率

問題是一類?？嫉念}目.下面談一談求圓錐曲線離心率的三種途徑，

一、根據(jù)圓錐曲線的定義

圓錐曲線的定義是解答圓錐曲線問題的重要依據(jù).我們知道，橢圓的焦半徑長(zhǎng)為c、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為。;雙曲線的焦半徑長(zhǎng)為c、實(shí)半軸長(zhǎng)為a，而圓錐曲線的離心率為e=-.因此，只要根據(jù)圓錐曲線的定義確定a、c的值，即可求得圓錐曲線的離心率.

題目中指出了兩個(gè)焦半徑| PF1|、| PF2|之間的關(guān)系，可將其與雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)雙曲線的定義建立關(guān)于兩個(gè)焦半徑的方程，通過解方程求得雙曲線的離心率.

二、利用幾何圖形的性質(zhì)

圓錐曲線的幾何性質(zhì)較多，如雙曲線、橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)，雙曲線的范圍為x≥a或x≤-a.在求圓錐曲線的離心率時(shí)，要仔細(xì)研究幾何圖形，明確焦半徑、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)與幾何圖形的位置關(guān)系，據(jù)此建立關(guān)于a、b、c關(guān)系式，再通過解方

解答本題主要采用了數(shù)學(xué)歸納法，分兩步完成，首先證明當(dāng)n=1時(shí)不等式成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，并將其作為已知條件，證明√2

相比較而言，構(gòu)造函數(shù)法的適用范圍較廣，裂項(xiàng)放縮法和數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍較窄，且裂項(xiàng)放縮法較為靈活，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式過程中的運(yùn)算量較大.因此在證明數(shù)列不等式時(shí)，可首先采用構(gòu)造函數(shù)法，然后再根據(jù)不等式的特點(diǎn)和解題需求運(yùn)用裂項(xiàng)放縮法或數(shù)學(xué)歸納法求證.

三、構(gòu)造齊次式

有些圓錐曲線離心率問題較為復(fù)雜，我們需根據(jù)題意、圓錐曲線的方程、直線的方程建立關(guān)于a、c的關(guān)系式，通過等量代換構(gòu)造關(guān)于a、b、c的二次齊次式，然后在齊次式的左右同時(shí)除以a2，便可得到關(guān)于e的二次方程，解該方程即可.

解答本題，需根據(jù)題意建立兩個(gè)方程組，通過解方程組求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于a、c的二次齊次式，即可求得橢圓的離心率.

用a、b、c表示出曲線上某點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代人曲線方程，這樣就建立了一個(gè)關(guān)于a、c的二次齊次式，通過解方程即可得出離心率的值.

可見，求圓錐曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線的方程、定義、幾何性質(zhì)，建立關(guān)于三個(gè)參數(shù)a、b、c的等量關(guān)系式，再通過變形、化簡(jiǎn)，得到圓錐曲線的離心率.