基于Kriging模型和提升小波變換的隨機模型修正*

吳雨程， 殷 紅， 彭珍瑞

（蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070）

引 言

近年來，模型修正方法的研究已經取得重大發(fā)展，在機械、土木和航天等領域逐步成為研究熱點.但是當前大多數的模型修正方法屬于確定性方法，沒有考慮到結構參數和響應的不確定性，導致其工程應用價值發(fā)揮不充分.工程問題中的不確定性主要為結構裝配帶來的不確定性、材料參數與幾何參數的不確定性、測量數據的不確定性和環(huán)境噪聲，因此不確定性模型修正方法的研究是非常必要的[1].隨機模型修正方法屬于不確定模型修正方法，可以減小實測數據與預測的隨機響應之間的誤差，因此隨機模型修正具有重要的意義[2-3].

多年來，國內外學者對隨機模型修正方法進行了深入的研究.方圣恩等[4]將隨機模型修正過程分解為確定性修正過程，構造優(yōu)化反演過程來求得各個樣本所對應的參數值.Deng等[5]通過構建代理模型，將距離函數作為標準來衡量參數的相關性，從而進行隨機模型修正.萬華平等[6]提出了采用引入DRAM算法的MCMC方法進行隨機模型修正.Zhai等[7]將改進的響應面模型與Monte-Carlo方法相結合進行隨機模型修正.陳喆等[8]研究了考慮試驗模態(tài)參數不確定性的有限元模型修正方法.Jalali等[9]利用Bayes識別方法對連接模型參數中的不確定性進行識別.Zhao等[10]提出了歐氏距離和巴氏距離的平均距離不確定性度量標準，用來進行不確定性模型修正.鄧振鴻等[11]提出了基于近似Bayes計算的近似似然函數，并將其作為目標函數應用于H型非對稱梁的有限元模型修正.由上述文獻可知，將模態(tài)參數或頻響函數作為響應是目前隨機模型修正的常用方法，而多階模態(tài)的測量、頻響函數頻率點的選取會影響模型修正的效率.

在上述背景下，本文提出了一種基于Kriging模型和提升小波變換的隨機模型修正方法.首先，對加速度頻響函數(acceleration frequency response function, AFRF)進行提升小波變換，提取近似系數表征原AFRF.其次，抽取訓練樣本作為Kriging模型的輸入，對應的近似系數作為輸出，構建Kriging模型.對蝴蝶算法進行改進，將其應用于Kriging模型相關參數的尋優(yōu)中.最后，利用Wasserstein距離來構造一個優(yōu)化反問題，通過鯨魚優(yōu)化算法對待修正參數的均值進行求解.通過二維桁架和三維桁架驗證了所提方法的可行性.

1 Kriging模型的構造

1.1 Kriging模型

Kriging模型是一個基于隨機過程的代理模型，對非線性函數具有較好的近似和誤差估計功能.模型包含線性回歸部分和非參數部分[12]：

式中， β=[β1β2···βp]T為 回歸模型系數；f(τ)=[f1(τ)f2(τ)···fp(τ)]T為回歸函數；z(τ)為服從正態(tài)分布N(0,σ2)的隨機分布，其協(xié)方差為

其中，E(τi,τj)是對角元素任意兩個觀察點之間的相關函數.其表達式如下：

建立Kriging模型時需要訓練模型參數，一般采用最大似然估計.似然函數如下：

式中，|E|為相關矩陣的行列式；J為樣本點響應組成的列向量；F為樣本點向量組成的矩陣.β和 σ2的最優(yōu)值可解析為

由式(5)可看出， σ2和 β均 為 θk的 函數，那么相關參數 θk即為Kriging模型中的唯一未知數，決定著Kriging模型的精度.本文采用上述性能較優(yōu)的LBOA對相關參數 θk進行尋優(yōu)，保證構建的Kriging模型具有較高的精度.

1.2 Lévy flight蝴蝶優(yōu)化算法

1.2.1 蝴蝶優(yōu)化算法

蝴蝶優(yōu)化算法(butterfly optimization algorithm，BOA)是Arora模擬蝴蝶覓食過程提出的自然啟發(fā)式算法[13].該算法中，假設每只蝴蝶散發(fā)一定強度的香味，區(qū)域內的其他蝴蝶感知到香味并互相靠近.每只蝴蝶釋放出的香味Ffit計算公式如下：

式中，c為感覺因子；I為刺激強度，與蝴蝶的適應度相關；α為冪指數.

當蝴蝶感覺到另一只蝴蝶g*在這個區(qū)域散發(fā)出更多的香味時，就會去靠近，這個階段被稱為全局搜索.當蝴蝶不能感知大于它自己的香味時，它會隨機移動，這個階段稱為局部搜索.設定一個概率開關b來轉換全局搜索和局部搜索，公式為

式中，為第i只 蝴蝶在第t次 迭代中的空間位置；g*為 當前最優(yōu)解；Ffiti為 第i只 蝴蝶的香味；和為空間中隨機選擇的第i只和第j只蝴蝶的位置；r和p為0到1的隨機數.

1.2.2 引入Lévy flight的蝴蝶優(yōu)化算法

針對蝴蝶優(yōu)化算法存在容易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢的問題，將Lévy flight引入算法.

Lévy flight由法國數學家Paul Pierre Lévy提出，是一種隨機搜索策略.本文提出一種引入Lévy flight的蝴蝶優(yōu)化算法(butterfly optimization algorithm with Lévy flight, LBOA)，可以跳出局部最優(yōu)位置，增加找到全局最優(yōu)解的可能性.引入Lévy flight的搜索策略可用以下公式表示：

式中，L(ξ)表示由Lévy flight生成的隨機向量；δ 為 步長因子；⊕為點對點乘法.LBOA具體步驟如下：

1）種群初始化 定義目標環(huán)境為N×D的一個空間，其中N代表種群的數量，D表示空間維度.將每個蝴蝶的位置定義為Xi=[xi1xi2xi3···xiD],i=1,2,···,N，最優(yōu)位置定義為Xbest=[x1x2x3···xD].各維度搜索的上下界分別表示為BU=[bu1bu2···buD]，BL=[bl1bl2···blD].通過以下公式獲取初始種群位置：

2）計算適應度 定義感覺因子c，冪指數α.根據式(6)計算第i只蝴蝶的香味.

3）全局搜索 設定概率開關b，生成0到1間的隨機數p.若p＜b，根據式(10)進行全局搜索，否則進行第4）步局部搜索.

4）局部搜索 根據式(8)進行局部搜索.

5）更新最優(yōu)位置 根據式(6)計算蝴蝶移動后的新適應度值，更新全局最優(yōu)解位置Xbest.

1.2.3 數值試驗與結果分析

選用6個典型基準測試函數對LBOA進行測試，分別為sphere(f1)、Schwefel 2.22(f2)、noisy quadric(f3)、Griewank(f4)、Rastrigin(f5)和Ackley(f6)函數.所有測試函數均為最小化問題，理論最優(yōu)值fmin=0，維度為30.其中函數f3加入了噪聲.函數的搜索范圍見文獻[13].

算法性能的評價標準有以下三個準則：① 平均值，反映算法的尋優(yōu)能力和收斂精度；② 標準差，反映算法的穩(wěn)定性；③ 成功率，算法在達到給定迭代次數情況下，進行多次獨立運行后，求解成功的次數占總運行次數的百分比.

測試算法初始參數統(tǒng)一設置為：種群大小N為30，最大迭代次數Tmax為 1 000，維度D為30，算法測試均獨立運行30次.試驗測試環(huán)境為：Intel(R) Core(M) i5-4260U處理器，4 GB內存，MATLAB R2016b.表1為算法改進前后的尋優(yōu)結果.

表1 BOA改進算法尋優(yōu)結果Table 1 Optimization results of the improved BOA algorithm

觀察表1中6個測試函數的結果，LBOA的三個評價指標均優(yōu)于BOA.其中，函數f3和f5的三個指標均有改善，其他函數在均值和標準差指標上均有明顯提升.可以看出LBOA在尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性方面均有很大提高.同時，本文采用收斂曲線來反映算法在收斂速度方面的表現(xiàn).圖1為測試函數f6的收斂曲線，可以看出，LBOA具有更快的收斂速度.

圖1 f6收斂曲線Fig.1 Convergence curves off6

由于Kriging模型的相關參數決定了其精度，將LBOA應用于Kriging模型的優(yōu)化中，可快速且準確地尋找到最優(yōu)的相關參數，提高Kriging模型的精度，從而提高模型修正的效率和精度.

2 模型修正方法

2.1 提升小波變換

傳統(tǒng)的小波變換得到的數值為浮點數，對它們進行壓縮時，需要通過量化才能得出對應的整數，此過程會產生誤差[14].Sweldens提出了提升小波變換算法，該算法使用數乘運算替代了傳統(tǒng)小波變換中的卷積運算，包含分裂、預測和更新三個過程[15]，如圖2所示.

圖2 提升小波變換過程Fig.2 The process of the lifting wavelet transform

原始信號sj經過提升小波變換后分解為高頻分量dj-1和 低頻分量sj-1；對低頻分量再進行分裂、預測和更新，sj-1進 一步分解成第二層高頻dj-2和 第二層低頻sj-2；經過n層提升小波分解后，原始信號可表示為{sj-n,dj-n,···,dj-1}.

提升小波變換后的近似系數(低頻分量)保留了與原始信號相同的特征和全局特性.因此，對AFRF進行提升小波變換后的近似系數中包含豐富的時域信息和精確的頻域局部化信息[14]，能夠以響應特征量的形式替代AFRF進行模型修正.由于對AFRF進行變換屬于離散變換，且考慮到小波基的正交性、支撐長度和消失距對變換的影響，經過多次對比試驗，選取特性適中的db5小波基作為提升方案.在提升變換的過程中，若分解層數過少會使單層系數過多，導致計算量過高；反之分解層數過多會使近似系數保留的原始信息過少.兩者均會影響模型修正的效果.為平衡模型修正計算速度與修正精度，使用db5小波提升方案對AFRF做5層提升小波變換，提取第5層近似系數作為AFRF的特征量構建Kriging模型，進行模型修正.提取過程如圖3所示.

圖3 近似系數提取流程Fig.3 The flow chart of extracting approximate coefficients

2.2 Wasserstein距離

Wasserstein距離在生成對抗網絡、線性規(guī)劃和拓撲分析等方面逐步得到應用，成為近年來的熱門[16].在統(tǒng)計學方面，Wasserstein距離可應用于三個方面：① 由于其具有可以誘導拓撲且易于優(yōu)化的優(yōu)點，通常用于漸近理論研究；② 用于結構模型參數的統(tǒng)計推斷和擬合優(yōu)度檢驗；③ Wasserstein距離的概率空間可以代替樣本或參數空間進行數據分析.

擬合優(yōu)度檢驗可以對系統(tǒng)數據建模的擬合狀態(tài)進行相似性評估[17].本文利用Wasserstein距離進行擬合優(yōu)度檢驗，對兩個概率分布之間的相似程度進行度量.Wasserstein距離的形式為

式中， Π (P,Q)為 兩個概率分布P和Q組合起來的所有可能的聯(lián)合分布的集合，記作γ ；E(x,y)～γ[‖x-y‖]為關于‖x-y‖的 期望，可寫作∫ ‖x-y‖dγ(x,y)；inf代表最大下界.

對于每一個可能的聯(lián)合分布γ ，可以從 (x,y)～γ 中 抽取一對樣本x和y，并計算出這對樣本的距離‖x-y‖，因此可以計算在該聯(lián)合分布 γ下，樣本對距離的期望值.在所有可能的聯(lián)合分布中，這個期望的下界即為Wasserstein距離[18].

2.3 修正流程

對待修正參數的真實數值進行偏移，模擬由不確定因素導致的模型偏差.抽取一定量待修正參數樣本作為Kriging模型的輸入，計算其對應的AFRF并做提升小波變換，選取第5層近似系數作為Kriging模型的響應輸出，使用LBOA優(yōu)化Kriging模型的相關參數，構造并檢驗代理模型精度.Kriging模型構造完成后，即可代替有限元模型進行響應計算.

抽取200組真實分布下的樣本，分別計算AFRF并進行算術平均，模擬實測數據.對平均后的AFRF進行相同的提升小波變換，選取第5層近似系數作為實測響應.以模擬實測的AFRF提升小波變換得到的近似系數與Kriging模型預測的近似系數之間的Wasserstein距離最小作為目標函數，使用鯨魚優(yōu)化算法迭代求解即可得到修正后參數.

鯨魚優(yōu)化算法是一種新型群體智能優(yōu)化算法，模擬了螺旋氣泡網進食策略達到優(yōu)化的目的，具有良好的全局和局部搜索機制、收斂速度快和穩(wěn)定性好等優(yōu)點[19].本文使用鯨魚優(yōu)化算法求解待修正參數均值，模型修正流程圖如圖4所示.

圖4 模型修正流程圖Fig.4 The flowchart of model updating

3 數值算例

3.1 二維桁架

二維桁架結構如圖5所示，該桁架模型由36個桿單元組成，共有16個節(jié)點和29個自由度.桿件的彈性模量E=190GPa ，密度 ρ =7800kg/m3，單元橫截面積為1 cm2.激勵位置和測點位置分別取在節(jié)點5、13的Y方向自由度.結構在服役時剛度會降低，由于彈性模量和截面尺寸決定了剛度值，而截面尺寸一般保持不變，本算例選取靈敏度較高的桿件，對其彈性模量進行偏移作為初始有限元模型的均值.首先，對桿件的彈性模量擾動2%進行靈敏度測試，得到參數對結構AFRF的靈敏度如圖6所示.

圖5 二維桁架結構Fig.5 The 2D truss structure

圖6 參數對結構AFRF的靈敏度Fig.6 Sensitivity of structure AFRF to parameters

選取靈敏度較高的四個桿件的彈性模量E?，E?，E?，E?作為待修正參數，將E?和E?的有限元均值降低10%、E?和E?的有限元均值增加10%作為初始值.

其次，采用拉丁超立方抽樣抽取200組樣本，選取前150組作為訓練集，后50組作為測試集，計算AFRF并做提升小波變換，選取第5層近似系數構建Kriging模型.為提高Kriging模型的精度，使用LBOA優(yōu)化Kriging模型的相關參數.表2為LBOA與BOA尋優(yōu)結果對比，可以看出，兩種算法消耗的時間幾乎一樣，而LBOA的尋優(yōu)結果更加接近最優(yōu)值，表明LBOA具有更強的尋優(yōu)能力.本文選取組數為奇數的測試樣本來檢驗Kriging模型對第10個近似系數的預測效果，如圖7所示.

表2 尋優(yōu)結果對比Table 2 Comparison of optimization results

圖7 Kriging模型精度評估Fig.7 Accuracy evaluation of the Kriging model

可以看出，構造的Kriging模型預測值和真實值幾乎重合，RMSE值均低于3×10-9，說明構造的Kriging模型的預測精度很高，可以代替有限元模型進行模型修正.

最后，在服從以試驗模型參數為均值的Gauss分布中隨機抽取200個樣本，計算AFRF并進行算術平均.對平均后的AFRF進行相同的提升小波變換，提取第5層近似系數作為仿真試驗響應，以最小化Wasserstein距離作為目標函數，通過鯨魚優(yōu)化算法迭代求解待修正參數的均值.修正后的均值及誤差如表3所示.

表3 桁架結構修正前后參數均值及誤差Table 3 Parameter mean values and errors of the truss structure before and after updating

可以看出，四個參數修正后的均值的相對誤差較小，均低于0.07%，達到了較高的修正精度.AFRF修正前后曲線的比較如圖8所示，可以看出模型修正后的頻響函數與模擬實測的頻響函數的重合度較高，驗證了本文方法的有效性.

圖8 修正前后加速度頻響函數曲線Fig.8 AFRF curves before and after updating

為進一步檢驗所提方法的修正效果和效率，分別使用AFRF和變換后的近似系數作為響應特征量進行模型修正，比較其在Kriging模型的構建和修正效果方面的優(yōu)劣.由表4可以看出，將AFRF進行提升小波變換取近似系數作為響應指標進行模型修正，不僅提高了各個參數的修正精度，且縮短了Kriging模型構建消耗的時間，進而提高了模型修正效率.

表4 不同響應指標下的結果對比Table 4 Comparison of results under different response indicators

3.2 三維桁架

3.2.1 試驗設計

三維桁架結構包括66個單元、28個節(jié)點和48個自由度，總長2.80 m、寬0.39 m、高0.27 m.桁架由4個支座固定約束（節(jié)點編號為1、8、9、16），所有節(jié)點均為鉸接連接.結構的激勵位置和響應位置如圖9所示.

圖9 三維桁架結構Fig.9 The 3D truss structure

選擇結構的材料參數密度(ρ)、彈性模量(E)和尺寸參數上弦桿橫截面積(A)共三個參數的均值作為待修正參數.試驗有限元模型的ρ，E和A的均值分別為7 800 kg/m3、190 GPa和85.5 mm2，分別將 ρ減少10%，E增加10%，A增加10%，得到初始有限元模型的參數均值分別為7 020 kg/m3、209 GPa和95 mm2.

3.2.2 提升小波變換及系數選取

采用拉丁超立方抽樣選取初始樣本點，計算有限元模型AFRF，對AFRF進行提升小波變換，選取第5層近似系數.由于提升小波變換得到的近似系數既可以剔除噪聲的干擾，又可提高計算速度，且保留了原始信號中的大量信息，因此可以簡化并代替由大量頻率點組成的頻響函數.圖10為提升小波變換得到的第1、3、5層近似系數.

圖10 第1、3、5層近似系數Fig.10 Approximate coefficients for the 1st, 3rd and 5th levels

3.2.3 Kriging模型的構建及評估

在初始有限元值的±20%區(qū)間內，用拉丁超立方抽樣得到的200個樣本構造Kriging模型，其中前150個樣本作為訓練集輸入Kriging模型，對應AFRF變換后得到的近似系數作為Kriging模型的輸出，構建初始的代理模型；后50個樣本作為測試集，以測試集Kriging模型的均方誤差(MSE)的均值最小作為LBOA的目標函數，尋找相關參數θk的最優(yōu)值.算法參數設置：種群數量N為30，維度D為1，最大迭代次數Tmax為100，參數上下界BU和BL分別為0.001和100，感覺因子c為0.3，冪指數α 為0.01.尋優(yōu)得到的最優(yōu)相關參數θk為0.780 6.為進一步驗證LBOA的優(yōu)越性，將LBOA與BOA進行對比(圖11).由迭代曲線可以看出，使用LBOA時，尋優(yōu)曲線更加平滑，且在10次迭代內收斂，具有較好的尋優(yōu)速度.

圖11 Kriging模型參數尋優(yōu)曲線Fig.11 Optimization curves of the Kriging model parameter

尋找到最優(yōu)的 θk后即可更新Kriging模型.本文采用兩種方式來評估Kriging模型的精度：測試集均方根誤差（RMSE）和系數真實值與Kriging模型預測值的擬合曲線.選取組數為奇數的測試樣本來檢驗Kriging模型對第2個近似系數的預測效果，如圖12所示.

圖12 Kriging模型精度評估Fig.12 Accuracy evaluation of the Kriging model

可以看出，構造的Kriging模型預測值和真實值幾乎重合，RMSE值均低于1 ×10-3，說明構造的Kriging模型的預測精度較高，可以代替有限元模型進行模型修正.

3.2.4 模型修正

在服從以試驗模型參數為均值的Gauss分布中隨機抽取200個樣本，計算AFRF并進行算術平均.對平均后的AFRF進行相同的提升小波變換，提取第5層近似系數作為仿真試驗響應，以最小化Wasserstein距離作為目標函數，通過鯨魚優(yōu)化算法迭代求解待修正參數的均值.修正后的均值及誤差如表5所示.

表5 桁架結構修正前后結構參數均值及誤差Table 5 Parameter mean values and errors of the truss structure before and after updating

可以看出，三個參數的均值修正后的相對誤差很小，均低于0.4%，表明使用本文所提方法進行隨機模型修正的效果較好.將修正后的參數均值輸入模型并計算AFRF，與初始模型和試驗模型的AFRF作比較.圖13為AFRF的實部與虛部曲線，可以看出修正后模型的曲線與試驗模型的曲線基本重合，驗證了所提方法的有效性.

圖13 修正前后加速度頻響函數曲線：(a)實部曲線；(b)虛部曲線Fig.13 AFRF curves before and after updating: (a) real part curves; (b) imaginary part curves

4 結 論

1）本文將提升小波變換引入模型修正中，對加速度頻響函數進行提升小波變換來選取近似系數，可以保留原始信號的特征和全局特性，將大量的結構信息集中至少量的系數中，避開了頻響函數的頻率點選擇困難的問題，提高了修正效率.

2）為避免BOA陷入局部最優(yōu)，本文將Lévy flight策略引入BOA，提高蝴蝶全局位置更新的能力.結果證明，相比于原算法，LBOA具有更好的收斂精度和尋優(yōu)穩(wěn)定性，且擁有更快的尋優(yōu)速度.并將其應用于Kriging模型的相關參數尋優(yōu)，提高了Kriging模型的精度，從而代替有限元模型進行模型修正，提高了修正效率.

3）本文利用Wasserstein距離進行擬合優(yōu)度檢驗，衡量實測響應的近似系數與Kriging模型預測的近似系數的相似度，并結合尋優(yōu)算法尋找均值，提高了隨機模型修正的效率.

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