基于四階段應(yīng)力-應(yīng)變模型的深部巷道圍巖彈塑性分析

韓 征，李龍清

(1.中煤西安設(shè)計(jì)工程有限責(zé)任公司，陜西 西安 710054；2.西安科技大學(xué) 能源學(xué)院，陜西 西安 710054)

0 引 言

隨著我國淺部煤炭資源的不斷較少，為滿足經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展需求，煤炭開采表現(xiàn)出由東部向西部，由淺部向深部轉(zhuǎn)移開采。然而，深部巷道圍巖受“三高一擾動(dòng)”的影響，極易表現(xiàn)出破裂范圍廣、變形大、支護(hù)結(jié)構(gòu)嚴(yán)重失效等破壞特征；尤其對(duì)于軟巖巷道，開挖后存在明顯破裂區(qū)，且破裂區(qū)范圍受開采擾動(dòng)將不斷增大[1-2]。圍巖狀態(tài)分布特征是評(píng)價(jià)深部巷道整體穩(wěn)定性與定量支護(hù)設(shè)計(jì)可靠性的理論依據(jù)[3-5]，巖石峰后破壞的力學(xué)行為又是確定圍巖狀態(tài)變化的重要基礎(chǔ)，因此選取合理的峰后破壞模型，可使圍巖狀態(tài)的解析解更加接近于工程實(shí)際。

關(guān)于巷道圍巖彈塑性分析問題首先由Fenner提出，之后Kastner進(jìn)行了修正，但兩者均將圍巖視為理想彈塑性體，且忽略了峰后應(yīng)變軟化對(duì)圍巖狀態(tài)變化的影響。近年來，許多學(xué)者采用Mohr-Coulomb(M-C)或者Hoek-Brown(H-B)準(zhǔn)則，結(jié)合理想彈塑性模型(簡稱EPM)、彈-脆塑模型(簡稱EBM)或應(yīng)變軟化模型(簡稱ESM)進(jìn)行圍巖彈塑性分析，但均忽略了中間主應(yīng)力的影響[4-10]。試驗(yàn)表明，當(dāng)考慮中間主應(yīng)力對(duì)巖體屈服的影響時(shí)，其強(qiáng)度將提高30%左右[11-12]。張小波等[13]基于Drucker-Prager(D-P)準(zhǔn)則，考慮中間主應(yīng)力的影響，求得了圍巖應(yīng)力、變形及塑性區(qū)半徑的封閉解，但D-P準(zhǔn)則的塑性屈服面為一圓形，對(duì)于裂隙、節(jié)理較為發(fā)育的巖石材料而言，其應(yīng)用準(zhǔn)確性較差。此外，張常光等[14]將圍巖劃分為彈性區(qū)和塑性區(qū)，基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論，獲得了彈脆塑圍巖狀態(tài)的封閉解答，但對(duì)于深部巷道而言，其開挖后明顯存在一個(gè)巖石力學(xué)性質(zhì)較差的破裂區(qū)，該區(qū)承載能力較弱，是巷道支護(hù)的重點(diǎn)[1,3,15]。張強(qiáng)等[10]將圍巖依次劃分為彈性區(qū)、塑性承載區(qū)及破裂區(qū)，求得了圍巖應(yīng)力及變形的封閉解，但對(duì)于高圍壓狀態(tài)下的圍巖而言，當(dāng)其由塑性承載區(qū)進(jìn)入破裂區(qū)的過程中，其圍巖參數(shù)(內(nèi)摩擦角及黏聚力等)逐漸降低，進(jìn)而引起全應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈現(xiàn)連續(xù)下降的變化特征，而并非瞬時(shí)跌落，因此將圍巖劃分為彈性區(qū)、塑性區(qū)、軟化區(qū)及破裂區(qū)更為合理。

鑒于此，基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論，考慮圍巖塑性承載及滯后連續(xù)軟化特性，建立其應(yīng)力-應(yīng)變四階段變化模型，并推導(dǎo)圍巖應(yīng)力場、位移場及塑性區(qū)半徑的封閉解析解；同時(shí)，將該模型分別與理想彈塑性模型、彈脆塑模型、應(yīng)變軟化模型及塑性承載模型進(jìn)行對(duì)比分析，并開展相關(guān)參數(shù)對(duì)該模型下圍巖狀態(tài)的影響，其研究結(jié)果可為高圍壓下巷道圍巖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)與支護(hù)設(shè)計(jì)提供重要理論依據(jù)。

1 力學(xué)模型的建立

1.1 四階段力學(xué)模型

圖1為某礦不同圍壓下砂質(zhì)泥巖全應(yīng)力-應(yīng)變曲線，由圖可知，該巖石在三軸壓縮過程中大約經(jīng)歷了4個(gè)階段：彈性變形階段、塑性流動(dòng)階段、應(yīng)變軟化階段及殘余流動(dòng)階段。因此可將圍巖視為處于彈性區(qū)e、塑性區(qū)p、軟化區(qū)s及破裂區(qū)c 4種應(yīng)力狀態(tài)，并建立如圖2所示的巷道圍巖力學(xué)模型。巷道開挖初期，圍巖基本處于彈性狀態(tài)，當(dāng)其最大與最小主應(yīng)力滿足統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)，開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，該狀態(tài)并非無限的擴(kuò)展，其擴(kuò)展范圍受軟化區(qū)及破裂區(qū)的約束；當(dāng)塑性區(qū)剪應(yīng)變?cè)隽繚M足一定關(guān)系時(shí)，圍巖開始由塑性狀態(tài)進(jìn)入應(yīng)變軟化狀態(tài)，直到圍巖參數(shù)達(dá)到某一殘余值時(shí)，開始進(jìn)入破裂狀態(tài)，并最終在支護(hù)阻力的作用下達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)[16-17]。開挖巷道特征：巷道開挖半徑為a；無窮遠(yuǎn)處靜水應(yīng)力大小為σ0；支護(hù)阻力為pin；塑性區(qū)、軟化區(qū)及破裂區(qū)半徑分別為Rp、Rs和Rc。此外，Y和Yr分別為等效峰值強(qiáng)度及殘余強(qiáng)度；ηi為各區(qū)圍巖擴(kuò)容系數(shù)，可由塑性勢(shì)函數(shù)來確定；巷道圍巖環(huán)向、徑向應(yīng)力及應(yīng)變分別用σθi、σri和εθi、εri來表示。其中，下標(biāo)“i”表示符號(hào)“p”、“s”和“c”，代表圍巖3種不同區(qū)域。

圖1 砂質(zhì)泥巖全應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Stress-strain curve of sandy mudstone

圖2 深部巷道圍巖力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of crack deep roadway

1.2 統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則

統(tǒng)一強(qiáng)度理論(簡稱UST)是以雙剪屈服準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，考慮雙剪單元體上全部應(yīng)力分量和中間主應(yīng)力對(duì)材料屈服失效的影響而建立的[14-15]。該理論適用于多種材料介質(zhì)，其表達(dá)形式也不盡相同。在巖土工程中，常用材料的黏聚力(C)和內(nèi)摩擦角(φ)來表示，且一般規(guī)定壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)，則UST屈服函數(shù)可表示[13-14]為：

(1)

式中：σ1、σ2和σ3分別表示最大、中間和最小主應(yīng)力，MPa；b為強(qiáng)度參數(shù)，反映中間主切應(yīng)力及其相應(yīng)面上的正應(yīng)力對(duì)材料屈服破壞的影響程度，且0≤b≤1。當(dāng)b=0時(shí)，UST轉(zhuǎn)化為M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則；當(dāng)b=1時(shí)，轉(zhuǎn)化為雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則；當(dāng)0

在實(shí)際工程中，一般可用中間主應(yīng)力系數(shù)σ2來表示3個(gè)主應(yīng)力之間的關(guān)系[19]：

(2)

式中：對(duì)于巖石材料而言，n一般滿足條件2ν≤n≤1，當(dāng)n→1 時(shí)，σ2越接近最大和最小主應(yīng)力平均值；ν為巖石材料泊松比。為簡化計(jì)算過程取n=1。此時(shí)UST可改寫為：

σ1=Npσ3+Y

(3)

對(duì)于軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題，當(dāng)pin<σ0時(shí)，環(huán)向和徑向應(yīng)力分別為最大、最小主應(yīng)力，軸向應(yīng)力為中間主應(yīng)力，即σ1=σθ，σ2=σz，σ3=σr，將其代入式(3)中，則可表示為：

σθi=Npσri+Yi

(4)

1.3 擴(kuò)容系數(shù)定義

巖石塑性變形是非線性的，一般滿足非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，可由塑性勢(shì)函數(shù)來表示：

f(σθi,σri)=σθi-ηiσri

(5)

(6)

(7)

(8)

取式(7)和(8)之比，即得峰后各區(qū)塑性主應(yīng)變與擴(kuò)容系數(shù)之間的關(guān)系式：

(9)

2 模型的求解

2.1 基本方程

對(duì)于軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題，各區(qū)滿足的應(yīng)力平衡方程為：

(10)

基于小變形假定，各區(qū)滿足的幾何方程為：

(11)

式中：εri和εθi分別為圍巖徑向和環(huán)向應(yīng)變；uri為徑向位移，m。

該模型滿足的應(yīng)力邊界條件可概括為：

(12)

2.2 彈性區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變及位移解答

結(jié)合彈性力學(xué)理論，易得彈性區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變及位移表達(dá)式為：

(13)

在r=Rp處，圍巖處于彈塑性臨界狀態(tài)，因此其環(huán)向和徑向應(yīng)力滿足UST準(zhǔn)則，故將式(13)代入式(4)中易得σRp表達(dá)式為：

(14)

2.3 塑性區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變及位移解答

塑性區(qū)圍巖應(yīng)滿足應(yīng)力平衡方程式(10)及屈服準(zhǔn)則式(4)，結(jié)合邊界條件(σre)r=Rp=σRp，即得塑性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為：

(15)

由式(15)可知，塑性與軟化區(qū)徑向接觸應(yīng)力為：

(16)

假定塑性區(qū)應(yīng)變僅有塑性應(yīng)變組成，則將式(11)代入式(9)中，結(jié)合位移邊界條件(urp)r=Rp=(ure)r=Rp，可得塑性區(qū)位移及應(yīng)變表達(dá)式為：

(17)

2.4 軟化區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變及位移解答

在軟化區(qū)，假定巖石強(qiáng)度的衰減僅與黏聚力有關(guān)，則軟化區(qū)的參數(shù)Ys(r)應(yīng)滿足關(guān)系：

(18)

式中：λ為軟化系數(shù)；εθs(r)為軟化區(qū)環(huán)向應(yīng)變。

根據(jù)塑性區(qū)應(yīng)變求解方法，將式(11)代入式(9)，結(jié)合徑向位移連續(xù)條件(urs)r=Rs=(urp)r=Rs，可得軟化區(qū)應(yīng)變及徑向位移表達(dá)式為

(19)

(20)

將式(19)和(20)代入式(18)，整理后可得：

(21)

由式(21)和(4)可得，軟化區(qū)圍巖滿足的本構(gòu)關(guān)系為：

(22)

將式(22)代入式(10)，結(jié)合r=Rs處應(yīng)力接觸條件(σrs)r=Rs=σRs，可得軟化區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為：

(23)

2.5 破裂區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變及位移解答

同塑性區(qū)應(yīng)力求解過程，結(jié)合邊界條件(σrc)r=a=pin，即得破裂區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為：

(24)

同理，結(jié)合位移邊界條件(urs)r=Rc=(urc)r=Rc，可得殘余區(qū)應(yīng)變及徑向位移表達(dá)式為：

(25)

2.6 各區(qū)半徑的求解

理論上來講，只要滿足所有的邊界及接觸條件，其所得圍巖應(yīng)力與變形狀態(tài)就是正確的[1]。由以上各式可知，要想獲得圍巖狀態(tài)的封閉解，首先要確定塑性區(qū)、軟化區(qū)及破裂區(qū)半徑的大小。在r=Rc處破裂區(qū)與軟化區(qū)徑向應(yīng)力滿足條件(σrs)r=Rc=(σrc)r=Rc，聯(lián)立式(23)和(24)，可得Rp、Rs和Rc滿足的關(guān)系式之一為：

(26)

一般情況下，在高圍壓條件下塑性區(qū)的擴(kuò)展是有限的，將受到軟化區(qū)與破裂區(qū)的限制與約束[1,10]，可用塑性區(qū)剪應(yīng)變?cè)隽喀う?來表示塑性區(qū)的擴(kuò)展情況。當(dāng)Δγ*達(dá)到某一值時(shí)，可認(rèn)為圍巖開始由塑性階段進(jìn)入軟化階段，此時(shí)Δγ*可表示為：

(27)

由式(17)代入式(27)中可得，塑性區(qū)與軟化區(qū)半徑之間的關(guān)系為：

(28)

在軟化區(qū)，其應(yīng)變軟化系數(shù)λ可由直線BC的斜率來確定，表達(dá)式為：

(29)

將式(28)代入式(29)整理后可得：

(30)

將式(28)和式(30)分別代入式(26)中，整理后可得破裂區(qū)半徑表達(dá)式為：

(31)

將式(31)依次代入式(30)和(28)即得Rs和Rp的具體表達(dá)式。

3 案例分析

3.1 工程條件

以文獻(xiàn)[1]所示工程背景為例，唐口礦運(yùn)輸石門等效開挖半徑a=3.0 m，埋深1 028 m，垂直應(yīng)力與水平應(yīng)力分別為23.77、23.04 MPa，故取原巖應(yīng)力σ0=23.4 MPa。室內(nèi)三軸壓縮試驗(yàn)測得巖石力學(xué)參數(shù)為：彈性模量E=30.0 GPa、泊松比ν=0.25、初始內(nèi)摩擦角φ=30°，初始與殘余黏聚力分別為5.85 MPa和2.0 MPa。此外，三區(qū)初始剪脹角均為ψp=ψs=ψc=15°，應(yīng)變軟化系數(shù)λ=37.5 GPa，塑性區(qū)剪應(yīng)變?cè)隽喀う?=0.000 1。為有效反映強(qiáng)度參數(shù)、擴(kuò)容系數(shù)及模型選取對(duì)圍巖狀態(tài)變化的影響，現(xiàn)采用控制變量法對(duì)其逐一進(jìn)行分析。

3.2 強(qiáng)度參數(shù)對(duì)圍巖應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)的影響

由圖3可知，強(qiáng)度參數(shù)b的選取將對(duì)圍巖狀態(tài)變化產(chǎn)生重要影響。隨著b的不斷增加，圍巖環(huán)向應(yīng)力均表現(xiàn)出先增大后減小的變化特征，且在彈塑性交界處達(dá)到最大值；且當(dāng)b由0變化至1.0過程中(即M-C準(zhǔn)則向雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則過渡)，圍巖環(huán)向和徑向最大應(yīng)力均呈現(xiàn)出逐漸增大的變化特征。圍巖環(huán)向應(yīng)變與徑向應(yīng)變均隨b的增加逐漸減小，但徑向應(yīng)變沿圍巖表面至深部卻呈現(xiàn)間斷不連續(xù)分布特征，這主要與前文假設(shè)條件相關(guān)(彈塑交界處徑向位移相等，由式(11)可知該部位環(huán)向應(yīng)變也相等，但徑向應(yīng)變不一定相等)。對(duì)于破裂區(qū)范圍而言，隨著b的不斷增加，其破裂區(qū)范圍卻不斷減小，這主要是因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)沒有考慮中間主應(yīng)力對(duì)圍巖狀態(tài)變化的影響，易較高估計(jì)圍巖破裂范圍，此時(shí)造成錨桿索支護(hù)長度設(shè)計(jì)與實(shí)際工程偏差較大，故而產(chǎn)生支護(hù)失效或成本較高的現(xiàn)象[20]。

圖3 不同強(qiáng)度理論參數(shù)的圍巖應(yīng)力、應(yīng)變分布Fig.3 Stress and strain distribution curve of different strength parameters

3.3 強(qiáng)度參數(shù)對(duì)圍巖峰后破壞范圍的影響

圖4表明強(qiáng)度參數(shù)的選取對(duì)圍巖峰后各區(qū)破壞范圍均產(chǎn)生重要影響，隨著b的不斷增加，Rθ、Rs和Rc均不同程度減小，且減小速率卻不斷降低。例如，當(dāng)b由0變化至0.5時(shí)，Rθ/a、Rs/a及Rc/a分別減小了0.249、0.241和0.211，降低了15.59%、15.32%和15.29%；而當(dāng)b由0.5變化至1.0時(shí)，Rθ/a、Rs/a及Rc/a僅分別減小了0.114、0.111和0.097，降低了8.46%、8.33%和8.30%。以上數(shù)據(jù)表明較其他準(zhǔn)則而言，選取M-C準(zhǔn)則，易較大預(yù)估圍巖峰后破壞范圍，提高支護(hù)參數(shù)(長度、強(qiáng)度)設(shè)計(jì)安全性，但也易造成支護(hù)成本偏高、支護(hù)強(qiáng)度浪費(fèi)的現(xiàn)象，因此建議盡量選取中間強(qiáng)度參數(shù)來預(yù)估圍巖峰后破壞情況。

圖4 不同強(qiáng)度參數(shù)的圍巖峰后破壞范圍分布Fig.4 Range of post failure distribution of different strength parameters

3.4 強(qiáng)度參數(shù)對(duì)擴(kuò)容系數(shù)的影響

由圖5可知，ηi的取值與強(qiáng)度參數(shù)b和剪脹角ψi密切相關(guān)，且ηi與參數(shù)b和ψi均成正相關(guān)關(guān)系。例如當(dāng)b=0，ψi由5°變化至10°～20°的過程中，ηi由1.191增加至1.420～2.040，提高了19.23%～71.28%；當(dāng)ψi=15°，b由0變化至0.5～1.0過程中，ηi由1.700增加至1.838～1.931，提高8.12%～13.59%。以上數(shù)據(jù)表明：①對(duì)于剪脹性較強(qiáng)的巖石更容易產(chǎn)生擴(kuò)容現(xiàn)象，加劇圍巖失穩(wěn)；②當(dāng)由M-C準(zhǔn)則向雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則過渡過程中(b由0趨向于1.0)，巖石擴(kuò)容效應(yīng)更加顯著，圍巖失穩(wěn)傾向性也相對(duì)加劇。

圖5 剪脹角和強(qiáng)度參數(shù)對(duì)擴(kuò)容系數(shù)的影響Fig.5 Influence of dialtancy angle and strength parameter on dilation coefficient

3.5 模型選取對(duì)圍巖變形的影響

由圖6可知，模型的選取對(duì)圍巖峰后破壞區(qū)位移具有顯著影響。當(dāng)選取不同的模型時(shí)，其圍巖峰后破壞區(qū)位移呈現(xiàn)出EBM>EPBM>ESM>本文模型>EPM的變化特征，且EBM與EPBM、ESM與本文模型兩兩之間所得結(jié)果較為接近，且前者大于后者，也就是說對(duì)于易發(fā)生脆性破壞的圍巖而言，較應(yīng)變軟化圍巖，更易產(chǎn)生較大變形。

圖6 不同模型下圍巖變形分布情況Fig.6 Displacement distribution of surrounding rock with different models

3.6 殘余黏聚力對(duì)圍巖峰后范圍的影響

由圖7和圖8可知，殘余黏聚力對(duì)圍巖峰后破壞區(qū)范圍及表面位移均產(chǎn)生重要的影響。隨著殘余黏聚力的不斷增加，圍巖峰后破壞范圍及表面位移呈現(xiàn)出非線性減小的變化特征。例如，當(dāng)cr由1.0 MPa變化至1.6～2.0 MPa，其Rθ/a、Rs/a及Rc/a分別減小了0.222～0.305、0.217～0.300和0.159～0.212，降低了11.78%～16.18%、11.74%～16.22%和10.25%～13.67%，表面位移u0/a減小了1～11.5 mm，降低了28.21%～38.46%。此外，由圖8也可以看出，隨著峰后破壞區(qū)ψi的不斷增加，其圍巖表面位移也不同程度增大，且破裂區(qū)剪脹角對(duì)其影響最為顯著，軟化區(qū)剪脹角次之，塑性區(qū)剪脹角影響最小。這主要是因?yàn)棣譱越大，ηi也就越大，其圍巖體積膨脹程度也就越大，為有效釋放圍巖變形能，圍巖整體變形加劇。

圖7 殘余黏聚力對(duì)圍巖峰后破壞范圍的影響Fig.7 Influence of residual cohesive force on post peak failure range of surrounding rock

圖8 殘余黏聚力對(duì)圍巖表面位移的影響Fig.8 Influence of residual cohesive force on surface displacement of surrounding rock

4 結(jié) 論

1)建立了深部圓形巷道圍巖彈性區(qū)-塑性區(qū)-軟化區(qū)-破裂區(qū)四階段應(yīng)力-應(yīng)變模型，基于UST準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，考慮中間主應(yīng)力及擴(kuò)容系數(shù)的影響，求得圍巖應(yīng)力、應(yīng)變及變形的封閉解析解。

2)強(qiáng)度參數(shù)對(duì)圍巖狀態(tài)變化具有重要影響，隨著強(qiáng)度參數(shù)的不斷增加，圍巖環(huán)向應(yīng)力峰值及峰后破壞范圍均不同程度增大，應(yīng)力曲線左移；隨著剪脹角的不斷增加，其圍巖表面位移不同程度增大，且破裂區(qū)剪脹角對(duì)其影響最為顯著，軟化區(qū)次之，塑性區(qū)影響最小。

3)隨著殘余黏聚力的不斷增加，圍巖峰后破壞范圍及表面位移均呈現(xiàn)出非線性減小特征，其減小速率不斷降低；與其他應(yīng)力-應(yīng)變模型相比，其圍巖峰后破壞區(qū)位移呈現(xiàn)EBM>EPBM>ESM>本文模型>EPM的變化特征；此外，基于塑性勢(shì)理論建立擴(kuò)容系數(shù)與強(qiáng)度參數(shù)和剪脹角之間的關(guān)系，可有效避免關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則較為保守的不足。