重建三角，全局皆活
——初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個(gè)建議

王婷婷

一、 引言

為了發(fā)展學(xué)生的綜合素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐、確保初中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠取得新的突破及成效，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師開始立足于學(xué)科教學(xué)的教學(xué)條件，以改革課程結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，在全面調(diào)整以及優(yōu)化的過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生自由分散，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解及認(rèn)知。在傳統(tǒng)的課程內(nèi)容中，三角函數(shù)被引入為直角三角形兩條邊的比值。該定義依賴于相關(guān)相似三角形的專業(yè)知識(shí)，只定義了銳角的三角函數(shù)。其實(shí)三角函數(shù)的定義只是給三角函數(shù)一個(gè)幾何模型，幾何模型應(yīng)該有多種選擇。其中重建三角最為關(guān)鍵，教師需要著眼于這一學(xué)科教學(xué)重難點(diǎn)，在指導(dǎo)和鼓舞學(xué)生的過(guò)程中夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，確保學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)自主探索和大膽想象。只有這樣才能夠充分凸顯初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要價(jià)值及優(yōu)勢(shì)，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，順利完成前期的育人目標(biāo)。

二、 重建三角與初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革

我們可以換一個(gè)思路給三角學(xué)重新定位，將三角、幾何、代數(shù)有機(jī)地結(jié)合在一起，進(jìn)行邏輯結(jié)構(gòu)的改造，重新構(gòu)造課程體系。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中三角占得比重比較大，教師需要立足于這一基礎(chǔ)性的板塊，關(guān)注不同學(xué)科之間的緊密聯(lián)系及互動(dòng)，了解各個(gè)學(xué)科板塊之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系。幾何與代數(shù)最為關(guān)鍵，三角是連接兩者的重要橋梁，有助于深化學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)的順利過(guò)渡。不管是向量、函數(shù)、坐標(biāo)還是復(fù)數(shù)都與學(xué)生的三角知識(shí)學(xué)習(xí)存在一定的聯(lián)系，教師需要關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的深入分析以及研究，與學(xué)生共同探索，保證學(xué)生能夠靈活運(yùn)用三角知識(shí)解決其他知識(shí)板塊的難題。與幾何相比，三角的學(xué)習(xí)難度相對(duì)偏低，學(xué)生更容易上手，同時(shí)興趣十足。

許多教育學(xué)家十分關(guān)注對(duì)課程教學(xué)體系的分析以及研究并提出了不同的改革方案，加大對(duì)三角知識(shí)板塊的投入及支持力度，適當(dāng)刪減幾何內(nèi)容。這種教學(xué)模式能夠更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和社會(huì)實(shí)踐，對(duì)推進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革有重要的影響。在新課程改革不斷深入的今天，初等數(shù)學(xué)教學(xué)中三角的地位仍然非常高，難以動(dòng)搖。有一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性欠缺，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)還有待夯實(shí)。在學(xué)習(xí)三角知識(shí)時(shí)有的學(xué)生感覺(jué)比較困難，存在許多理解上的困惑，教師則可以根據(jù)數(shù)學(xué)課程改革活動(dòng)的開展現(xiàn)狀，融入更多的趣味性元素，了解課程教學(xué)的具體內(nèi)容，注重不同板塊的教學(xué)銜接。讓學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)自主想象和大膽探索，以此來(lái)更好地加強(qiáng)對(duì)課堂教學(xué)時(shí)間的合理把控。從正弦定理可以推出相似三角形的基本定理：“若兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則對(duì)應(yīng)邊成比例?！庇捎嘞叶ɡ砹⒖炭梢酝瞥觥叭魞蓚€(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則對(duì)應(yīng)角相等”，以及相似三角形的“邊角邊”判定法則。

三、 初中數(shù)學(xué)中重建三角的具體含義

中華人民共和國(guó)成立以來(lái)，實(shí)施了十余項(xiàng)數(shù)學(xué)初中課程標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)三角形的內(nèi)容，關(guān)鍵要求學(xué)生掌握銳角和特殊角的三角函數(shù)值以及三角函數(shù)處理直角三角形問(wèn)題的應(yīng)用?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)三角內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求基本沒(méi)有變化。要求學(xué)生探索和理解銳角的三角函數(shù)，掌握特殊角的三角函數(shù)值，并能運(yùn)用計(jì)算方法求銳角的三角函數(shù)值，可以用銳角三角函數(shù)解直角三角形。數(shù)學(xué)在初中教育階段中扮演關(guān)鍵的角色，這門課程有極強(qiáng)的實(shí)踐性和應(yīng)用性，教師需要注重環(huán)環(huán)相扣，有效調(diào)整教學(xué)思路。以重建三角為基礎(chǔ)，明確這一重要育人目標(biāo)的具體含義，優(yōu)化教育教學(xué)策略及思路，確保對(duì)癥下藥。

首先，在解決幾何問(wèn)題時(shí)三角非常關(guān)鍵，教師則需要意識(shí)到這一教育板塊的工具作用，利用這一有力的工具來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的戰(zhàn)術(shù)變化能力，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，了解幾何與代數(shù)學(xué)習(xí)的重要要求及核心，靈活利用多種現(xiàn)代化的教育教學(xué)策略主動(dòng)重建三角。從邏輯體系上來(lái)看相似三角形相對(duì)比較簡(jiǎn)單，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)三角函數(shù)的準(zhǔn)確定義。教師所需要立足于三角與幾何學(xué)習(xí)之間的相關(guān)性，明確代數(shù)課程與其他課程板塊之間的邏輯聯(lián)系，確保三角重建，充分凸顯這一教育板塊的指導(dǎo)作用，為學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)和代數(shù)學(xué)習(xí)指明道路及方向。邏輯結(jié)構(gòu)的改造最為關(guān)鍵，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)比較機(jī)械，教師直接將三角函數(shù)與直角三角形相等同，通過(guò)簡(jiǎn)單的比值引進(jìn)來(lái)實(shí)現(xiàn)模糊性定義。其中相似三角形的提示最為關(guān)鍵，但是這一點(diǎn)只能夠?qū)︿J角的三角函數(shù)進(jìn)行定義，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)諸多的模糊認(rèn)知，無(wú)法對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確深刻的定義。三角函數(shù)的幾何模型分析比較復(fù)雜，教師只需要提供給學(xué)生多個(gè)不同的幾何模型，讓學(xué)生自由選擇，學(xué)生所選擇的幾何模型并不會(huì)直接影響最終三角函數(shù)的具體數(shù)值，但是在推理以及論證三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的波動(dòng)。教師只需要注重對(duì)幾何模型的進(jìn)一步分析，為后期的推理以及論證指明道路，真正實(shí)現(xiàn)化難為易和化繁為簡(jiǎn)。許多教師開始著眼于當(dāng)前的教育教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，在反復(fù)實(shí)踐以及深入思索的過(guò)程中提出比較簡(jiǎn)單的三角函數(shù)定義方法，了解幾何模型的推理論證技巧，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)條件構(gòu)建科學(xué)完善的邏輯體系。進(jìn)而更好地指導(dǎo)學(xué)生、鼓勵(lì)學(xué)生、發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化成長(zhǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)以及綜合素養(yǎng)。

四、 重建三角，全局皆活——初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的簡(jiǎn)單設(shè)想

(一)基本出發(fā)點(diǎn)

為了實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的有效銜接，初中數(shù)學(xué)教師需要做好前期的準(zhǔn)備工作，意識(shí)到自身的責(zé)任，關(guān)注對(duì)三角這一核心板塊的深入分析以及研究，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師會(huì)著眼于學(xué)生小學(xué)階段的學(xué)習(xí)情況，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀以三角形面積計(jì)算公式為出發(fā)點(diǎn)，明確基本命題。其中三角形面積等于底與高的乘積之半，因此對(duì)等高三角形來(lái)說(shuō)，面積比就等于底之比。在自主分析時(shí)，教師需要著眼于這一重要概念，讓學(xué)生積極利用針對(duì)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)單練習(xí)，了解三角形的具體面積以及不同線段的長(zhǎng)度。這一點(diǎn)有助于更好地減輕學(xué)生的理解壓力，很多學(xué)生能夠輕松上手，根據(jù)自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)深入分析各種數(shù)學(xué)公式，了解數(shù)學(xué)公式之中所涉及的概念，在全面拓展以及延伸的過(guò)程中提升個(gè)人的邏輯思維能力。

“重建三角形”就是使用面積法創(chuàng)建三角形。周長(zhǎng)為1，角為的棱柱的面積記為sin。然后可以定義平行四邊形和三角形的面積，進(jìn)而可以得到正弦函數(shù)的主要特征。這種定義方法考慮了面積，面積為就中小學(xué)介紹的重點(diǎn)細(xì)節(jié)而言，在學(xué)生的認(rèn)知能力系統(tǒng)中，區(qū)域是一個(gè)非常直觀的定義，容易理解。這個(gè)定義將不再需要以相似三角形和比例的專業(yè)知識(shí)作為鋪墊，擺脫直角三角形的限制，斜角和銳角都一樣，這樣你就可以用這個(gè)定義進(jìn)行科學(xué)研究。當(dāng)今初中數(shù)學(xué)三角內(nèi)容中可以科學(xué)探究的問(wèn)題。教師則需要鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，避免學(xué)生過(guò)度依賴于三角形的面積公式，通過(guò)簡(jiǎn)單的放大以及縮小來(lái)引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)，確保不同知識(shí)板塊的獨(dú)立性，讓學(xué)生自主分析其他的基本性質(zhì)。這一點(diǎn)對(duì)夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)有重要的作用，學(xué)生也能夠產(chǎn)生耳目一新的感覺(jué)，自主自覺(jué)地接受教師的指導(dǎo)以及熏陶。對(duì)幾何以及解析幾何來(lái)說(shuō)共角以及共邊定理的使用頻率比較高，教師則需要著眼于共高定理的應(yīng)用要求，讓學(xué)生能夠自主分析，利用這些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)定理來(lái)解答問(wèn)題。教師只需要將三角引入作為主要目標(biāo)，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)課程整體結(jié)構(gòu)的有效改善，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

(二)正弦函數(shù)的新定義

古代說(shuō)的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜邊，“勾”“股”是直角三角形的兩條直角邊。

正弦是股與弦的比例，余弦是余下的那條直角邊與弦的比例。

正弦=股長(zhǎng)/弦長(zhǎng)

正弦函數(shù)與三角形的面積公式存在一定的聯(lián)系，教師需要以定義為出發(fā)點(diǎn)，關(guān)注對(duì)不同問(wèn)題的有效探索及研究，讓學(xué)生對(duì)三角形的高進(jìn)行簡(jiǎn)單測(cè)量，分析三角形的高與三角形面積之間的相關(guān)性，進(jìn)而順利解決不同的難題。當(dāng)學(xué)生了解了等腰三角形的頂角以及腰等相關(guān)概念后，教師就可以著眼于角度與邊長(zhǎng)之間的邏輯聯(lián)系讓學(xué)生自主計(jì)算，通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何畫板來(lái)減輕學(xué)生的理解壓力和心理負(fù)擔(dān)，確保學(xué)生能夠輕松上陣。教師可以結(jié)合不同的三角定義，讓學(xué)生自行分析、大膽判斷，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合正弦的基本性質(zhì)進(jìn)行拓展及延伸，這種正弦引進(jìn)方式一方面能夠避免學(xué)生出現(xiàn)過(guò)度依賴的思想，讓學(xué)生結(jié)合個(gè)人已有的知識(shí)，在拓展以及延伸知識(shí)的過(guò)程中調(diào)整個(gè)人的學(xué)習(xí)思路。教師需要根據(jù)直角鈍角以及銳角的正弦定理全面拓展及延伸學(xué)生的思維空間，避免按照傳統(tǒng)的定義方式讓學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的解釋，確保表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及合理性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。只有這樣才能夠全面發(fā)展學(xué)生的綜合素養(yǎng)以及學(xué)習(xí)能力。

在完成基本教學(xué)任務(wù)后教師還需要以直角三角形中銳角的正弦為切入點(diǎn)，讓學(xué)生自主分析直角與銳角之間的區(qū)別及聯(lián)系，將課堂歸還給學(xué)生，盡量避免簡(jiǎn)單直白的照搬照抄，了解學(xué)生的個(gè)體差異性，分析學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展訴求，引導(dǎo)學(xué)生自由發(fā)散。在實(shí)際教學(xué)中，不同命題的概念學(xué)習(xí)有所區(qū)別，教師則需要以用字母代替數(shù)以及等式變形為依據(jù)，關(guān)注對(duì)教學(xué)練習(xí)活動(dòng)的有效落實(shí)以及合理穿插，與學(xué)生共同探索三角知識(shí)的發(fā)生以及發(fā)展過(guò)程，提升學(xué)生的代數(shù)方法應(yīng)用能力，通過(guò)簡(jiǎn)單的舉例來(lái)編寫不同的例題，讓學(xué)生自由探索，很多學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)有了顯著的提升，能夠變得更加自信和主動(dòng)。

(三)正弦定理及其應(yīng)用

在任意△中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，則有：

一個(gè)三角形中，各邊和所對(duì)角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑(半徑的2倍)長(zhǎng)度。

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。把三角形的三個(gè)角、、和它們的對(duì)邊、、叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

首先，教師需要以正弦定理的簡(jiǎn)單介紹為切入點(diǎn)，讓學(xué)生自主分析不同的等式變形情況，抓住初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心要求，讓學(xué)生在基礎(chǔ)學(xué)習(xí)的過(guò)程中深入掌握不同的正弦定理，真正實(shí)現(xiàn)高屋建瓴，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。其次，教師需要與學(xué)生共同利用正弦定理解答幾何問(wèn)題，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式比較機(jī)械，學(xué)生只能夠?qū)φ叶ɡ磉M(jìn)行簡(jiǎn)單分析，然后了解相似三角形。這種機(jī)械生硬的教學(xué)模式不利于學(xué)生對(duì)正弦定理的理解以及認(rèn)知，學(xué)生只能夠?qū)?jiǎn)單的幾何圖形進(jìn)行基本推理。教師則需要以三角形中等角對(duì)等邊為基礎(chǔ)，讓學(xué)生自主分析三角形中三個(gè)角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，了解邊長(zhǎng)之間的比例情況，讓學(xué)生結(jié)合三角形全等的角邊角判別法來(lái)進(jìn)行解答。這一點(diǎn)有助于學(xué)生高效解答各種幾何問(wèn)題，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。正弦定理與不同命題之間存在一定的聯(lián)系，能夠更好地解決各種幾何問(wèn)題，教師需要與學(xué)生共同剖析正弦定理與面積公式之間的相關(guān)性，讓學(xué)生主動(dòng)利用面積法解決各種疑難問(wèn)題，深化學(xué)生對(duì)公式以及定理的理解，更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)以及學(xué)習(xí)效率，深化學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解。

(四)正弦和角公式

首先，教師需要從正弦和角公式出發(fā)，關(guān)注對(duì)不同角度以及邊長(zhǎng)的分析，讓學(xué)生自主繪制輔助線，了解垂線與直線之間的相關(guān)性，然后著眼于面積公式來(lái)進(jìn)行解答。這一點(diǎn)有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力以及適應(yīng)能力，確保學(xué)生實(shí)現(xiàn)舉一反三和學(xué)以致用。其次，教師需要以特殊角的正弦與簡(jiǎn)單方程為基礎(chǔ)，讓學(xué)生自主分析正弦和角公式，通過(guò)特殊值的進(jìn)一步剖析來(lái)得出最終的答案。教師需要扮演好組織者的角色，通過(guò)不同定理以及公式的有效引進(jìn)來(lái)夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。其中勾股定理的出現(xiàn)頻率比較高，對(duì)學(xué)生直角三角形的解答有重要的影響，教師需要通過(guò)勾股定理的有效推導(dǎo)以及分析來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)印象，避免學(xué)生出現(xiàn)消極應(yīng)對(duì)的情緒，確保學(xué)生能夠高效獨(dú)立地解答不同直角三角形的相關(guān)問(wèn)題。正切和余弦的引入最為關(guān)鍵，這一點(diǎn)有助于避免不必要的計(jì)算環(huán)節(jié)，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)輕松上陣，在完成這一基礎(chǔ)任務(wù)后教師還需要注重后期的總結(jié)及反思，了解學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中所遇到的困難及障礙，活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性，為初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革指明道路及方向。學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好的學(xué)生能夠在自主探索的過(guò)程中發(fā)揮個(gè)人的能動(dòng)性，結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)自由發(fā)散和想象，真正意識(shí)到數(shù)學(xué)這門課程學(xué)習(xí)的必要性和重要性，主動(dòng)自覺(jué)地接受教師的指導(dǎo)以及熏陶。高效課堂得以打造，教育教學(xué)資源的使用效率提升較為顯著，學(xué)生能夠逐步產(chǎn)生更多的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

五、 結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的過(guò)程中，教師需要著眼于課程結(jié)構(gòu)性改革工作的現(xiàn)實(shí)條件，以三角為基礎(chǔ)，活躍整個(gè)課堂氣氛，靈活利用現(xiàn)代化的教育教學(xué)策略來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)科教學(xué)改革及創(chuàng)新，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！爸亟ㄈ恰背醯葦?shù)學(xué)新體系對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革創(chuàng)新具有借鑒意義。新的“重構(gòu)三角形”系統(tǒng)具有可視化的三角函數(shù)定義方法和簡(jiǎn)單但認(rèn)真細(xì)致的邏輯推理過(guò)程。在這個(gè)新體系下，三角形、幾何圖形、解析幾何相互滲透，有利于塑造學(xué)生的幾何直覺(jué)。期待加快推進(jìn)“重建三角”教學(xué)計(jì)劃的不斷完善和實(shí)驗(yàn)教學(xué)的進(jìn)展，完善“重建三角”實(shí)驗(yàn)教學(xué)中教師的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)，并開發(fā)設(shè)計(jì)相應(yīng)的培訓(xùn)供學(xué)生應(yīng)用。通過(guò)簡(jiǎn)單的對(duì)比分析以及整合利用夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，確保學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中真正實(shí)現(xiàn)輕松上陣和舉一反三。