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    球桿系統(tǒng)的阻尼自適應抗擾控制

    2022-07-19 09:13:20周長新聶卓赟程前何旺祥朱恩澤
    華僑大學學報(自然科學版) 2022年4期
    關鍵詞:球桿導軌小球

    周長新, 聶卓赟, 程前, 何旺祥, 朱恩澤

    (華僑大學 信息科學與工程學院, 福建 廈門 361021)

    球桿系統(tǒng)是研究經典控制理論和現(xiàn)代控制理論常見的非線性系統(tǒng)平臺.目前,學者已對球桿系統(tǒng)進行了較多研究.文獻[1]采用基于線性二次型調節(jié)器(LQR)與擴張狀態(tài)觀測器(ESO)的控制算法對球桿系統(tǒng)進行研究.文獻[2-3]采用比例-積分-微分(PID)和自適應遺傳算法相結合的自適應遺傳PID方法,設計了球桿系統(tǒng)控制器. 自抗擾控制(ADRC)是一種采用擴張狀態(tài)觀測器、微分跟蹤器和帶寬參數(shù)整定等技術抑制系統(tǒng)擾動的方法.文獻[4-5]提出原始的非線性自抗擾控制,并完成了線性化.自抗擾控制器繼承了PID控制器的優(yōu)點,針對工業(yè)場景中的應用,提出帶寬參數(shù)整定方法,將自抗擾控制器的設計從非線性函數(shù)參數(shù)的經驗性選擇簡化為帶寬選擇.

    自適應控制能夠自適應系統(tǒng)的不確定性和外部干擾,從而具有良好的抗擾性能[6].文獻[7]提出一種自適應控制器,以實現(xiàn)對外部干擾的漸近抑制.文獻[8]提出一種魯棒自適應算法,以實現(xiàn)不確定非線性系統(tǒng)的自適應跟蹤.自適應控制提供了一種提高抗擾性能的新方式,而自抗擾控制器的擾動估計和自適應調節(jié)是相容的,自抗擾控制器的擾動估計是一種內環(huán)控制器,而模型參考自適應控制(MRAC)又可體現(xiàn)一種外環(huán)自適應效果.通過ESO對狀態(tài)反饋的球桿系統(tǒng)狀態(tài)進行觀察,并估計“總擾動”進行補償,利用參考模型與自抗擾控制系統(tǒng)之間的狀態(tài)跟蹤誤差生成自適應律,通過添加阻尼抑制系統(tǒng)的震蕩超調,減少對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,從而提升系統(tǒng)的抗擾性能.由于自適應律可作用于跟蹤誤差,當跟蹤誤差較小時,自適應抗擾控制系統(tǒng)會自動減小為線性自抗擾控制(LADRC)系統(tǒng).因此,阻尼自適應抗擾控制可看作自抗擾控制的附加自適應.基于此,本文在自抗擾控制[9-13]的基礎上,提出一種阻尼自適應抗擾控制.

    1 球桿系統(tǒng)的建模與分析

    球桿系統(tǒng)主要由底座、支撐桿、帶輪、電機、杠桿臂、小球和導軌等組成[14].球桿系統(tǒng)裝置示意圖,如圖1所示.圖1中:d為杠桿臂和帶輪的連接處與帶輪輪心的距離;θ為帶輪轉動角度,θ限制于一定范圍內;α為導軌偏轉角度;L為杠桿臂連接點與導軌轉動固定點的距離;Y為小球在導軌上的位移.

    圖1 球桿系統(tǒng)裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of ball-beam system device

    帶增量式碼盤的直流伺服電機可以測量電機的轉動位置,導軌上的電阻傳感器可以實時測量小球的位置.為使小球在導軌上穩(wěn)定地運行,電機轉動帶動帶輪轉動(角度為θ),帶輪又帶動支撐桿運動,使導軌發(fā)生偏轉(角度為α),從而使小球在導軌上滾動.

    球桿系統(tǒng)裝置參數(shù),如表1所示.表1中:g為重力加速度;J為小球的轉動慣量;m為小球的質量;R為小球的半徑.

    表1 球桿系統(tǒng)裝置參數(shù)Tab.1 Parameters of ball-beam system device

    在忽略一些部件的情況下,可通過經典力學理論建立球桿系統(tǒng)的動力學方程,近似得到導軌偏轉角度α與帶輪轉動角度θ之間的關系,即

    (1)

    通過控制帶輪轉動角度θ,實現(xiàn)對小球的精確控制.球桿系統(tǒng)控制器的原理是通過控制直流伺服電機,調整帶輪轉動角度θ,從而對小球進行精確控制.

    對球桿系統(tǒng)進行動力學分析,可得小球運動與自身重力加速度、半徑、質量、轉動慣量、導軌偏轉角度及位移之間的關系,即

    (2)

    由于α的期望值在0附近,故在0附近對α進行線性化,可得

    (3)

    將式(3)代入式(2),可得

    (4)

    再將式(1)代入式(4),可得

    (5)

    系統(tǒng)實際輸出量為小球在導軌上的位移Y,輸入量為帶輪轉動角度θ.由表1數(shù)據(jù),經計算可得球桿系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型,即

    (6)

    式(6)中:s為復頻域變量.

    2 控制系統(tǒng)的設計

    阻尼自適應抗擾控制結構由參考模型、ESO和自適應機構等組成,ESO用于觀測系統(tǒng)狀態(tài)和總擾動[8].與LADRC不同,阻尼自適應抗擾控制的前饋控制器和狀態(tài)反饋控制器可通過自適應機制進行實時調整.這種自適應機制是由ESO狀態(tài)xo和參考狀態(tài)xr之間的跟蹤誤差er推導出來的.阻尼自適應抗擾控制結構,如圖2所示.圖2中:r為參考輸入;u0為自適應機構調整后的控制量;b0為輸入增益;u為系統(tǒng)輸入(控制量),u=Uin;y為系統(tǒng)輸出.

    圖2 阻尼自適應抗擾控制結構Fig.2 Structure of damping adaptive active disturbance rejection control

    2.1 LADRC的設計

    (7)

    式(7)中:yp為測量輸出,yp=Uout;Γ(xp,1,xp,2)為系統(tǒng)的不確定部分;D為外部擾動.

    f=(1.853-b0)u+Γ(xp,1,xp,2)+D,f被視為一種依賴于不確定性、控制輸入和外部擾動的未知“總擾動”.為了測量“總擾動”,f被建模擴展為狀態(tài)變量xp,3,可得系統(tǒng)的擴張狀態(tài)模型,即

    (8)

    假設f可微分,h有界.為了觀測球桿系統(tǒng)的狀態(tài)和“總擾動”,設計ESO,有

    (9)

    xp為系統(tǒng)狀態(tài),觀測誤差eo=xp-xo=[eo,1eo,2eo,3]T,其動態(tài)系統(tǒng)為

    (10)

    式(10)中:Bε=[0 0 1]T.

    期望傳遞函數(shù)模型選擇為

    (11)

    因此,LADRC控制器的控制量為

    (12)

    2.2 阻尼自適應抗擾控制的設計

    除了LADRC中的干擾估計和補償外,MRAC可以看作是實現(xiàn)自抗擾能力的另一種方法.這兩種方法具有一些相似性和互補性.在參考模型方面,參考模型表示控制方法中設計的控制系統(tǒng)的期望性能,LADRC通過極點配置實現(xiàn)參考模型,但是模型跟蹤誤差不能產生任何反饋校正;而MRAC可以應用于帶有跟蹤誤差反饋的自抗擾控制中.在狀態(tài)反饋方面,MRAC常常需要訪問被控對象的狀態(tài),以實現(xiàn)狀態(tài)反饋,但由于系統(tǒng)的干擾和不確定性,其應用具有較大的困難;而LADRC最重要的優(yōu)點之一是ESO可以提供良好的狀態(tài)估計和干擾補償.在干擾抑制方面,作為兩種不確定性和干擾衰減方法,LADRC的干擾估計和MRAC的自適應調整可在基于ESO的狀態(tài)反饋控制方案中實現(xiàn),從而極大地提高控制性能.

    針對LADRC,MRAC系統(tǒng)中的震蕩超調問題,可在系統(tǒng)中添加減小系統(tǒng)震蕩超調的阻尼,阻尼系數(shù)ζ>1,這樣自適應機構的阻尼能力可以部分地抑制系統(tǒng)的震蕩超調.

    添加阻尼系數(shù)ζ后的期望傳遞函數(shù)模型為

    (13)

    因此,阻尼自適應抗擾控制的期望控制量為

    (14)

    式(14)中:F*,K*分別為

    (15)

    基于以上分析,提出阻尼自適應抗擾控制方案.由于實際的系統(tǒng)狀態(tài)xp是不可測的,故用xo替代.H(s)的階數(shù)為2,而圖2中的觀測器階數(shù)為3,因此,為H(s)設置一個額外的狀態(tài)變量,即xr,3=xo,3,以表示相同狀態(tài)空間中的跟蹤誤差.

    參考模型在狀態(tài)空間中可表示為

    (16)

    er=xr-xo=[er,1er,2er,3]T,er為自適應控制器的調節(jié)根據(jù),進而可得到阻尼自適應抗擾控制器的控制量為

    u=(Kr+Fxo)/b0,

    (17)

    其參數(shù)為

    (18)

    式(17),(18)中:K,F(xiàn)分別為狀態(tài)反饋控制器和前饋控制器的參數(shù);P為設計的正定矩陣,P=PT;ωA為帶寬參數(shù),ωA>0,其與能量相關,決定了自適應調節(jié)速度;ρ為

    (19)

    式(19)中:q為量化參數(shù),q>0.

    采用標準LADRC設計,有

    (20)

    由此可得

    (21)

    3 仿真實驗與分析

    3.1 仿真分析

    為了驗證阻尼自適應抗擾控制的效果,將阻尼自適應抗擾控制與LADRC進行比較.加入階躍響應和階躍干擾信號,以驗證阻尼自適應抗擾控制的響應性能和抗擾性能.當q=0時,阻尼自適應抗擾控制器自動變?yōu)長ADRC控制器.LADRC和阻尼自適應抗擾控制設置相同的自抗擾控制參數(shù),b0=1.853,ωc=0.75,ωo=8.25,ζ=1.3.阻尼自適應抗擾控制中,q=0.002.

    系統(tǒng)的輸入信號為階躍信號,其值為0.25 m,設置系統(tǒng)的響應時間為30 s.當系統(tǒng)運行至15 s時,加入階躍擾動,擾動值為0.2 m.球桿系統(tǒng)的仿真響應曲線和控制量曲線,如圖3所示.由圖3可知:阻尼自適應抗擾控制比LADRC的抗擾性能更佳,且震蕩超調更小.

    (a) 響應曲線 (b) 控制量曲線圖3 球桿系統(tǒng)的仿真響應曲線和控制量曲線Fig.3 Simulation response curves and control quantity curves of ball-beam system

    3.2 實驗分析

    為了驗證阻尼自適應抗擾控制的實驗性能,進行球桿系統(tǒng)控制實驗.球桿系統(tǒng)(廣東省深圳市固高科技有限公司),如圖4所示.該阻尼自適應抗擾控制器在MATLAB/SIMULINK 2015b平臺中實現(xiàn),搭建系統(tǒng)的采樣率為100 Hz.實驗驗證了球桿系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性.然后,引入階躍干擾信號驗證阻尼自適應抗擾控制的抗擾性能.

    圖4 球桿系統(tǒng)Fig.4 Ball-beam system

    球桿系統(tǒng)的實驗響應曲線和控制量曲線,如圖5 所示.由圖5可知:相較于LADRC,阻尼自適應抗擾控制能在更短的時間內穩(wěn)定,且震蕩超調更?。恍∏蚩梢院芎玫馗櫸恢迷O定值(r=0.25 m);在與仿真實驗相同參數(shù)的情況下,驗證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性.

    (a) 響應曲線 (b) 控制量曲線圖5 球桿系統(tǒng)的實驗響應曲線和控制量曲線Fig.5 Experimental response curves and contorl quantity curves of ball-beam system

    球桿系統(tǒng)控制器參數(shù)的自適應曲線,如圖6所示.圖6中:F1~F3,K均為控制器參數(shù).由圖6可以知道:當擾動出現(xiàn)時,小球離開設定位置后能夠快速地回到設置位置,阻尼自適應抗擾控制的球桿系統(tǒng)具有較好的抗擾性能.

    (a) F1 (b) F2

    (c) F3 (d) K圖6 球桿系統(tǒng)控制器參數(shù)的自適應曲線Fig.6 Adaptive curves of ball-beam system controller parameters

    由于LADRC的增益是固定的,因此,在不同的運行條件下只能依靠ESO保持良好的抗擾性能,當擾動發(fā)生時,由于阻尼自適應抗擾控制的參數(shù)調整,參數(shù)隨之發(fā)生變化.通過這種方式,小球的位置稍微向前移動后,能夠快速地回到設置位置.相較于LADRC,阻尼自適應抗擾控制的抗擾性能更佳.

    4 結束語

    球桿系統(tǒng)的阻尼自適應抗擾控制可以減小系統(tǒng)的震蕩超調,提升系統(tǒng)的抗擾性能.針對自適應抗擾控制中不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的震蕩問題,通過增加阻尼的方式進行抑制,阻尼自適應抗擾控制可看作自抗擾控制系統(tǒng)的附加阻尼自適應.當狀態(tài)跟蹤誤差較小時,阻尼自適應抗擾控制自動減小為LADRC.增加阻尼可以在LADRC的基礎上提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗擾性能.仿真和實驗結果驗證了阻尼自適應抗擾控制的優(yōu)越性和有效性.

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