一類非線性項帶導數(shù)的分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性和多解性

褚麗敏,胡衛(wèi)敏,蘇有慧

(1.徐州工程學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,江蘇 徐州 221018;2.伊犁師范大學 a.數(shù)學與統(tǒng)計學院;b.應用數(shù)學研究所,新疆 伊犁 835000)

自然生活中的很多問題用通常的整數(shù)階微分方程很難解釋與描述,而與整數(shù)階微分方程相比,分數(shù)階微分方程在描述自然、物理、化學等現(xiàn)象時更有普遍性和準確性.因而,近些年分數(shù)階微分方程吸引了越來越多學者的關注,并取得了一些重要的成果[1-9].

文獻[10]研究了一類Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程邊值問題

正解的存在性,其中Dα表示α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)，2<α≤3,1<β≤2,1+β≤α，f∈C([0,1]×[0,+∞),(0,+∞)).

文獻[11]研究了一類Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程多點邊值問題

文獻[10]考慮了Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性,但其非線性項不包含導數(shù),而研究非線性項帶導數(shù)的分數(shù)階微分方程,更具有普遍意義和現(xiàn)實意義.文獻[11]研究了非線性項內(nèi)含導數(shù)的分數(shù)階問題3個正解的存在性.

受以上文獻啟迪,本文研究非線性項內(nèi)含導數(shù)的Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程

問題(1)

1 預備知識

定義1[12]設α>0,使得函數(shù)u:(0,+∞)→R的Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義成

定義2[12]設α>0,使得函數(shù)u:(0,+∞)→R的Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)是

其中：n-1≤α

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n，

其中：ci∈R,i=1,2,…,n,n=[α]+1.

引理2[12]若α>0,β>0,u∈L(0,1)，則有

1)‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω2;

2)‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω2;

運用Leggett-Williams不動點定理證明問題(1)的多解性.設Ω是巴拿赫空間X中的錐,Ω上的一個非負連續(xù)凹泛函α,為α:Ω→[0,+∞),并且滿足:

α(tx+1-ty)≥tα(x)+(1-t)α(y),?x,y∈Ω,0≤t≤1.

令

Ωr={u∈Ω|‖u‖

Ωa,b,d={u∈Ω|b≤α(u),‖u‖

3)當u∈Ω(a,b,c)且‖Tu‖>d時,有α(Tu)>b,則A至少有3個不動點u1、u2、u3滿足

‖u1‖

2 Green函數(shù)及其性質

引理5若3<α≤4，函數(shù)y∈C[0,1]，則分數(shù)階微分方程邊值問題

有唯一解

其中

問題(2)

證:由引理2可知

其中,3<α≤4.由邊值條件u(0)=u′(0)=u″(0)=0，意味著c2=c3=c4=0，

又因為u′(1)=0，故

綜上

引理6引理5中的格林函數(shù)滿足以下性質:

1)對與任意的t,s∈[0,1],G(t,s)∈C([0,1]×[0,1]);

2)對與任意的t,s∈[0,1],G(t,s)≥0,G′(t,s)≥0;

證:性質1)易得.下面主要證明性質2)、3)、4).為了方便表達，令G1(t,s),G2(t,s)為

由于t,s∈[0,1]，顯然0

當0≤s≤t≤1時，

當0≤t≤s≤1時，

綜上可得，對與任意的t,s∈[0,1],有G(t,s)≥0，同理G′(t,s)≥0，故性質2)成立.

因為

當0≤s≤t≤1時,

當0≤s≤t≤1時,

根據(jù)性質3)有

問題(3)

令

根據(jù)洛必達法則,

因此

故性質4)成立.

3 全連續(xù)算子

本節(jié)在Banch空間上構建了一個全連續(xù)泛函，將邊值問題解的存在性轉化為研究這個全連續(xù)算子的不動點存在問題.定義Banch空間

E={u(t)|u(t)∈C[0,1]},

定義錐P?E為

定義算子T

引理7設u∈U, 則

證:對?u∈U,t∈[0,1]，有u(t)-u(0)=u′(ξ)t.由于u(0)=0,故

因此

引理8設f∈C([0,1]×[0,+∞)×(-∞,+∞),[-∞,+∞))，則算子T:P→P是全連續(xù)的.

證:對?u∈P，因為f和G(t,s)具有非負性，所以(Tu)(t)≥0.又由引理6中4)得

因此T(P)?P，即T:P→P.

證T:P→P是一致有界的.令

Ω={u(t)∈E:‖u(t)‖≤R,R>0,t∈[0,1]}.

有

KL1,

KL2，

因此

‖Tu‖=max{‖Tu‖1,‖Tu‖2}≤max{KL1,KL2},

故T(Ω)是一致有界的.

證明算子T:P→P是等度連續(xù)的.因為G(t,s)和G′(t,s)在[0,1]×[0,1]上是連續(xù)的，所以G(t,s)和G′(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致連續(xù).取t1,t2∈[0,1]，對任意ε1,ε2>0，存在常數(shù)δ>0，當|t2-t1|<δ時，有

且

進一步有

|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|≤

且

|(Tu)′(t2)-(Tu)′(t1)|≤

取ε=max{ε1,ε2}，則

‖(Tu)(t2)-(Tu)(t1)‖=max{|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|,|(Tu)′(t2)-(Tu)′(t1)|}<ε,

故算子T:P→P是等度連續(xù)的.

綜上，由Ascoli-Arzela定理可知T(Ω)是緊集，所以T:P→P全連續(xù).

4 一個解的存在性

為了方便證明，記

定理1設f∈C([0,1]×[0,+∞)×(-∞,+∞),(-∞,+∞)),若存在兩個常數(shù)m>n>0，且滿足如下條件:

1)f(t,u(t),u′(t))≤mΛ1,(t,u(t),u′(t))∈[0,1]×[0,m]×[0,m];

2)f(t,u(t),u′(t))≥nΛ2,(t,u(t),u′(t))∈[0,1]×[0,n]×[0,n].

則邊值問題(1)至少存在一個正解.

證:首先令

Ωm={u∈E:‖u‖

則對?u∈?Ωm，都有0

因此?u∈P∩?Ωm，有

‖Tu‖≤‖u‖.

令

Ωn={u∈E:‖u‖

則對?u∈?Ωn，都有0

因此?u∈P∩?Ωn，有

‖Tu‖≥‖u‖.

由引理3可知算子T存在一個不動點u，即u是邊值問題(1)的一個正解.

5 3個解的存在性

利用Leggett-Williams不動點定理給出分數(shù)階微分方程邊值問題(1)3個解的存在性定理.

定理2設f∈C([0,1]×[0,+∞)×(-∞,+∞),(-∞,+∞))，若存在兩個正數(shù)0

1)f(t,u(t),u′(t))

3)f(t,u(t),u′(t))≤cΛ1,(t,u(t),u′(t))∈[0,1]×[0,c]×[0,c].

則邊值問題(1)至少存在3個解u1,u2,u3,滿足

證:令

故有{u∈Ω(θ,b,d)|θ(u)>b}≠?.

另一方面，若u∈Ω(θ,b,d)，有

b≤θ(u)≤u(t)≤‖u‖≤d.

根據(jù)條件2)可得

即u∈Ω(θ,b,d),θ(Tu)>b,滿足引理4中條件1).

對?u∈Ω(θ,b,d)，和‖Tu‖>b，類似可得θ(Tu)>b，這意味著引理4中條件3)成立.

綜上，由引理4則邊值問題(1)至少有3個正解u1,u2,u3,滿足

6 應用舉例

例子1考慮非線性分數(shù)階微分方程邊值問題

例子2考慮非線性分數(shù)階微分方程邊值問題