范倪圣,陳穩(wěn)杰,周振綱
(嘉興學(xué)院建筑工程學(xué)院,浙江 嘉興 314001)
隨機(jī)子空間方法[1-2]只需要根據(jù)測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)即可識(shí)別結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù),但該方法進(jìn)行模態(tài)識(shí)別時(shí)可能存在模態(tài)遺漏和出現(xiàn)虛假模態(tài)問(wèn)題[3-5],對(duì)于此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)采用穩(wěn)定圖方法或模糊聚類方法等對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn),在一定程度上避免了出現(xiàn)虛假模態(tài)問(wèn)題,較好地解決了隨機(jī)子空間方法系統(tǒng)階數(shù)n取值問(wèn)題。然而,該方法的識(shí)別精度實(shí)際還會(huì)受到方法中相關(guān)參數(shù)(如Hankel矩陣行數(shù)i、測(cè)點(diǎn)數(shù)L,識(shí)別用到的測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)量s)取值的影響。國(guó)內(nèi)個(gè)別學(xué)者就Hankel矩陣行數(shù)i對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度問(wèn)題做了初步研究[6-7]。但同時(shí)考慮參數(shù)i和s不同取值組合對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律研究還尚未見(jiàn)相關(guān)報(bào)道。因此,為了將隨機(jī)子空間方法更好地應(yīng)用于環(huán)境激勵(lì)下實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中,有必要對(duì)參數(shù)s和i不同取值組合對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律問(wèn)題進(jìn)行研究。
采用基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別時(shí),首先根據(jù)各測(cè)點(diǎn)的加速度響應(yīng)測(cè)試數(shù)據(jù)構(gòu)造如式(1)所示的Hankel矩陣。
(1)
其中,H為Hankel矩陣;Hp為Hankel矩陣過(guò)去分塊矩陣;Hf為Hankel矩陣未來(lái)分塊矩陣;yk(k=0,…,2i+j-2)為根據(jù)測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)造的列向量,上述構(gòu)造的列向量的行數(shù)為測(cè)點(diǎn)數(shù)L;i和j分別為Hankel矩陣分塊矩陣的行數(shù)和列數(shù),Hankel矩陣的分塊矩陣的行數(shù)和列數(shù)應(yīng)滿足關(guān)系式s=2i+j-1,s為計(jì)算時(shí)選取的測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)數(shù)量。
根據(jù)生成的Hankel矩陣過(guò)去分塊矩陣和未來(lái)分塊矩陣按式(2)計(jì)算得到Toeplitz矩陣T:
(2)
對(duì)T矩陣按式(3)進(jìn)行奇異值分解:
(3)
其中,U,S,V均為T(mén)矩陣經(jīng)奇異值分解得到的矩陣,U和V為正交矩陣,S為對(duì)角矩陣;S1為S矩陣的分塊矩陣,其為對(duì)角矩陣,對(duì)角元素T為矩陣異值分解得到的正奇異值,S1∈Rn×n;U1和U2為U矩陣的分塊矩陣,U1∈RLi×n,U2∈RLi×(Li-n);V1和V2為V矩陣的分塊矩陣,V1∈RLi×n,V2∈RLi×(Li-n)。
系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣Γ及其逆矩陣Γ-1可表示為:
(4)
(5)
其中,?!蔙Li×n;Γ-1∈Rn×Li。
根據(jù)式(6),式(7)計(jì)算得到矩陣P1和P2。
P1=Γ-1(1∶n,1∶L(i-1))
(6)
P2=Γ(L+1∶Li,1∶n)
(7)
其中,P1∈Rn×(Li-L+1);P2∈R(Li-L)×n;Γ-1(1∶n,1∶L(i-1))為取Γ-1矩陣第1行至第n行和第1列至第L(i-1)列范圍內(nèi)元素的構(gòu)成的矩陣;Γ(L+1∶Li,1∶n)為取Γ矩陣第L+1行至第Li行和第1列至第n列范圍內(nèi)元素的構(gòu)成的矩陣。
系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣Q可表示為:
A=P1P2
(8)
Q=Γ(1∶L,1∶n)
(9)
其中,A∈Rn×n;Q∈RL×n;Γ(1∶L,1∶n)為取Γ矩陣第1行至第L行和第1列至第n列范圍內(nèi)元素的構(gòu)成的矩陣。
對(duì)計(jì)算得到的狀態(tài)矩陣A按式(10)進(jìn)行特征值分解:
A=EDE-1
(10)
其中,E為特征向量構(gòu)成的矩陣,E∈Rn×n;D為特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣,D∈Rn×n。矩陣E和矩陣D的元素都為復(fù)數(shù)。
提取矩陣D的對(duì)角線元素構(gòu)成列向量Z,即:
Z={z1z2…zn}T
(11)
其中,zk為Z向量的第k行元素值,其大小等于D矩陣第k行的對(duì)角元素值;Z∈Rn×1。
根據(jù)式(12)計(jì)算得到識(shí)別模態(tài)頻率列向量Ft。
Ft=abs(ln(Z)·fs)/2π
(12)
其中,fs為測(cè)點(diǎn)響應(yīng)測(cè)量的采樣頻率,Hz;π為圓周率;ln(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)向量元素進(jìn)行自然對(duì)數(shù)運(yùn)算;abs(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)向量元素進(jìn)行取模運(yùn)算;Ft∈Rn×1。
根據(jù)輸出矩陣Q和狀態(tài)矩陣A特征值分解得到的特征向量構(gòu)成的矩陣E按式(13)計(jì)算復(fù)矩陣G。
G=QE
(13)
按式(14)計(jì)算得到識(shí)別模態(tài)振型向量構(gòu)成的振型矩陣Mt。
Mt=abs(G)*sign(180·(|angle(G)|-π/2)/π)
(14)
其中,angle(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)矩陣元素進(jìn)行取相位運(yùn)算;abs(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)矩陣元素進(jìn)行取模運(yùn)算;sign(·)函數(shù)為符號(hào)函數(shù),當(dāng)因變量分別為正值、零和負(fù)值時(shí),函數(shù)值分別取1,0和-1。
本文主要就參數(shù)i和s取值對(duì)基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間方法的模態(tài)頻率和模態(tài)振型的識(shí)別精度影響規(guī)律進(jìn)行研究。以下對(duì)本文模態(tài)頻率和模態(tài)振型識(shí)別精度計(jì)算方法進(jìn)行簡(jiǎn)介。
前述隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)頻率構(gòu)成的列向量Ft可表示為:
(15)
其中,ftk為根據(jù)試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)由隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)的模態(tài)頻率,k=1,2,…,m,m為識(shí)別模態(tài)數(shù)。
與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)頻率構(gòu)成的列向量Fa可表示為:
(16)
其中,F(xiàn)a∈Rn×1;fak為與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)頻率,k=1,2,…,m,m為識(shí)別模態(tài)數(shù)。
根據(jù)式(17)可計(jì)算得到隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的各階模態(tài)的模態(tài)頻率識(shí)別精度。
(17)
其中,eFk為與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)的模態(tài)頻率識(shí)別精度。
參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法不同階模態(tài)的模態(tài)頻率識(shí)別精度的影響有一定差異,故本文采用按式(18)計(jì)算得到的模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM來(lái)對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)頻率識(shí)別精度進(jìn)行評(píng)價(jià)。EM值越大則隨機(jī)子空間法的模態(tài)頻率整體識(shí)別精度越高。
(18)
其中,m為識(shí)別模態(tài)數(shù)。
前述隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)振型構(gòu)成的振型矩陣Mt可表示為:
(19)
其中,φtk為根據(jù)試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)由隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)的模態(tài)振型列向量,k=1,2,…,m。
與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)振型向量構(gòu)成的振型矩陣Ma可表示為:
(20)
其中,φak為與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)振型列向量,k=1,2,…,m。
模態(tài)振型識(shí)別的精度可采用識(shí)別模態(tài)振型與真實(shí)模態(tài)振型的模態(tài)保證準(zhǔn)則MAC值來(lái)評(píng)價(jià)。反映隨機(jī)子空間方法各階模態(tài)的模態(tài)振型識(shí)別精度的MAC值可按式(21)計(jì)算得到。
(21)
其中,MACk為隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)模態(tài)振型的MAC值。
參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法不同階模態(tài)的模態(tài)振型識(shí)別精度的影響有一定差異,故本文采用按式(22)計(jì)算得到的模態(tài)振型平均模態(tài)模態(tài)保證準(zhǔn)則MACM值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)振型的識(shí)別精度進(jìn)行評(píng)價(jià)。MACM值越大則隨機(jī)子空間法的模態(tài)振型整體識(shí)別精度越高。
(22)
五質(zhì)點(diǎn)的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)算例模型如圖1所示。算例模型的質(zhì)量、剛度和阻尼參數(shù)如表1所示。
表1 算例模型參數(shù)
在該算例模型的節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2處施加豎向白噪聲激振力f1(t)和f2(t)來(lái)模擬算例模型系統(tǒng)受到的環(huán)境激勵(lì),通過(guò)計(jì)算獲得各節(jié)點(diǎn)豎向加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)作為本文隨機(jī)子空間方法模態(tài)識(shí)別的測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)。
根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力平衡關(guān)系可建立算例模型受上述白噪聲激勵(lì)時(shí)的動(dòng)力方程[8],如式(23)所示。
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
在節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2處均輸入相同的高斯白噪聲激勵(lì)力,高斯白噪聲激振力時(shí)程及功率譜曲線如圖2所示,激振力時(shí)長(zhǎng)為10 s,步長(zhǎng)為0.001 s。采用Newmark-β法用Matlab軟件編程求解算例模型動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程。限于篇幅,此處僅給出節(jié)點(diǎn)1加速度響應(yīng)時(shí)程及功率譜曲線,如圖3所示。
算例模型的模態(tài)頻率和歸一化模態(tài)振型的真實(shí)值(理論值)可通過(guò)對(duì)式(23)忽略阻尼項(xiàng)和無(wú)激振力時(shí)得到的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程進(jìn)行特征值和特征向量分析計(jì)算得到。算例模型的模態(tài)頻率和模態(tài)振型真實(shí)值分別如表2,圖4~圖8所示。
表2 i和s不同取值時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率和模態(tài)振型識(shí)別平均精度初步比較
在測(cè)點(diǎn)數(shù)L=5和系統(tǒng)階次n=12取值一定時(shí),對(duì)i=38,s=6 542和i=50,s=2 838兩種參數(shù)取值情況根據(jù)前述基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法對(duì)算例模型進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)識(shí)別計(jì)算,識(shí)別得到的各階模態(tài)頻率和模態(tài)振型如表2,圖4~圖8所示。同時(shí),給出了兩種參數(shù)取值情況時(shí)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值和模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值,如表2所示。
由表2,圖4~圖8可知:i=38,s=6 542時(shí)隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的算例模型各階模態(tài)頻率和模態(tài)振型識(shí)別值與其真實(shí)值非常接近,EM和MACM都接近于1;而i=50,s=2 838時(shí)模態(tài)頻率和模態(tài)振型的平均識(shí)別精度要低于i=38,s=6 542取值情況。由此可見(jiàn),參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度有一定影響,故有必要對(duì)參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律進(jìn)行研究。
為了進(jìn)一步研究參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律,對(duì)i和s不同取值組合時(shí)采用隨機(jī)子空間方法對(duì)前述算例模型的模態(tài)頻率和模態(tài)振型進(jìn)行了識(shí)別計(jì)算,并計(jì)算得到了各取值組合時(shí)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值和模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值。參數(shù)i和s不同取值組合構(gòu)造時(shí)參數(shù)i取值從30到158,增量為2,參數(shù)s取值從2 000到8 998,增量為2,共構(gòu)造了227 500個(gè)i和s不同取值組合。識(shí)別計(jì)算中測(cè)點(diǎn)數(shù)L=5和系統(tǒng)階次n=12保持不變。
圖9給出了i和s不同取值組合時(shí)采用隨機(jī)子空間法識(shí)別得到的算例模型的模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值變化情況。
圖10給出了i和s不同取值組合時(shí)采用隨機(jī)子空間法識(shí)別得到的算例模型的模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值變化情況。
由圖9可知:參數(shù)i和s不同取值組合時(shí),隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值均較大,EM值在0.971~0.998范圍內(nèi)變化,表明隨機(jī)子空間法識(shí)別算例模型的模態(tài)頻率具有很高的精度。參數(shù)i和s不同取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM有一定影響,主要表現(xiàn)為:
1)當(dāng)參數(shù)i在42~110取值范圍內(nèi)時(shí),參數(shù)s取值對(duì)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM的影響相對(duì)較明顯。
2)參數(shù)i取值對(duì)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)值EM的影響相對(duì)明顯,參數(shù)i取值在36~42及110~158取值范圍內(nèi)時(shí),模態(tài)頻率平均識(shí)別精度更高。
由圖10可知:參數(shù)i和s不同取值組合時(shí),隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值變化較大,MACM值在0.283~0.999范圍內(nèi)變化,表明參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法識(shí)別算例模型的模態(tài)振型的精度影響較大。參數(shù)i和s不同取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM的影響主要表現(xiàn)為:
1)當(dāng)參數(shù)i在30~96和130~136取值范圍內(nèi)時(shí),參數(shù)s取值對(duì)模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM的影響較明顯。
2)參數(shù)i取值對(duì)模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM的影響明顯,參數(shù)i取值在22~24,32~36,60~62,72~78,82~84,102~120,136~138,142~148及156~158取值范圍內(nèi)時(shí),模態(tài)振型平均識(shí)別精度較高,MACM值基本在0.7及以上。
綜上可知:
1)參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM有一定影響,但影響總體相對(duì)較小。
2)參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM影響較大。
3)參數(shù)i和s在若干取值范圍內(nèi)取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法的模型頻率及振型均具有較高的識(shí)別精度,如i取36~38,s取2 500~7 000時(shí),模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度可達(dá)0.99以上,模態(tài)振型的平均識(shí)別精度可達(dá)0.8以上。
本文以一五質(zhì)點(diǎn)的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別算例為例,對(duì)參數(shù)i和s取值對(duì)基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間方法的模態(tài)頻率及模態(tài)振型的識(shí)別精度影響進(jìn)行了研究。主要結(jié)論如下:
1)參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值在0.971~0.998范圍內(nèi)變化,變化幅度較小,表明參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度影響相對(duì)較小,但仍有一定影響,同時(shí)也表明隨機(jī)子空間法識(shí)別模態(tài)頻率具有很高的精度。
2)參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM在0.283~0.999范圍內(nèi)變化,變化幅度較大,表明參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度影響較大。
3)參數(shù)i和s在若干取值范圍內(nèi)取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法的模型頻率及振型均具有較高的識(shí)別精度。
本文對(duì)參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率和模型振型的平均識(shí)別精度的影響進(jìn)行了初步研究。為了更好地將隨機(jī)子空間方法應(yīng)用于環(huán)境激勵(lì)下實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中,后續(xù)將結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)方法對(duì)參數(shù)i和s合理取值方法進(jìn)行進(jìn)一步的研究。