基于直覺模糊集和區(qū)間值模糊集模糊推理算法的關(guān)系

史宏艷,羅敏霞

(中國計量大學(xué) 理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

模糊推理基本的推理形式是模糊取式(fuzzy modus ponens,FMP)和模糊拒取式(fuzzy modus tollens,FMT):

FMP:輸入A*,和模糊規(guī)則“如果A,則B”,然后推斷出一個合理的輸出B*;

FMT:輸入B*,和模糊規(guī)則“如果A,則B,然后推斷出一個合理的輸出A*。

Zadeh在文獻[1]給出合成推理規(guī)則(compositional rule of inference,CRI)來解決上述問題。然而,研究發(fā)現(xiàn)該算法運用復(fù)合運算,使用的三角范數(shù)沒有對應(yīng)的蘊含算子,即運用的算子具有隨機性,缺乏嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ),針對這一缺陷,Wang在文獻[2]給出全蘊涵三I方法改進傳統(tǒng)的CRI算法。此后,許多學(xué)者對三I方法進行了一系列研究,并取得了大量成果。文獻[3]給出三I算法的統(tǒng)一形式。文獻[4]討論了模糊推理全蘊涵三I算法的連續(xù)性。

雖然模糊集已經(jīng)成功應(yīng)用于許多領(lǐng)域,但在描述信息的模糊性和不確定性方面仍然存在一些缺陷。所以Zadeh引入?yún)^(qū)間值模糊集[5]。隨著區(qū)間值模糊集的提出,許多學(xué)者做了大量的理論算法研究并且廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。文獻[6]研究了具有多個先行規(guī)則的區(qū)間值模糊推理算法。文獻[7]研究區(qū)間值模糊推理CRI方法的魯棒性。文獻[8-10]分別將模糊推理全蘊涵、五蘊涵和相似度算法推廣到區(qū)間值模糊集并取得了相關(guān)的研究成果。

直覺模糊集[11]作為模糊集的另一個擴展,迄今為止,對直覺模糊集的推理算法研究已經(jīng)取得了很多研究成果。文獻[12-13]將CRI方法、三I方法推廣到直覺模糊集上。文獻[14]利用構(gòu)造的相似度討論直覺三I算法的魯棒性。

雖然在區(qū)間值模糊集與直覺模糊集的推理算法上取得大量研究成果,但這些推理算法之間的關(guān)系尚未得到研究。因此本文研究基于這兩種模糊集的推理算法之間的關(guān)系。

1 預(yù)備知識

定義1.1[15]若映射T:[0.1]2→[0,1]滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性和邊界條件,即T(x,1)=x,則T稱為三角范數(shù)。若映射S:[0.1]2→[0,1]滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性和邊界條件,即S(0,x)=x,則S稱為三角余范。

定義1.2[15]若一個三角范數(shù)T,對任意的(x0,y0)∈[0,1]2,ε>0,存在δ>0,使得(x,y)∈(x0-δ,x0]×(y0-δ,y0]時,有T(x,y)>T(x0,y0)-ε成立,則T稱為左連續(xù)的。

定義1.3[16]對任意a,b∈[0,1],設(shè)T是左連續(xù)三角范數(shù),則T誘導(dǎo)的剩余蘊涵R為:

R(a,b)=sup{x∈[0,1]|T(a,x)≤b}。

例1.1[17]ukasiewicz三角范數(shù)TL及其剩余蘊涵RL:

TL(a,b)=(a+b-1)∨0,

RL(a,b)=(1-a+b)∧1。

定義1.4[11]非空論域X上的直覺模糊集定義為:

A={(x,μA(x),νA(x))|x∈X},

且μA(x)∈[0,1],νA(x)∈[0,1](0≤μA(x)+μA(x)≤1)

在本文中,我們用IFS(X)表示論域X上的所有直覺模糊子集的集合。設(shè)A,B∈IFS(X),包含、并和交運算關(guān)系定義如下:

1)A?B成立當(dāng)且僅當(dāng)μA(x)≤μB(x),νA(x)≥νB(x);

2)A∪L*B={(x,sup(μA(x),μB(x)),inf(νA(x),νB(x))|x∈X};

3)A∩L*B={(x,inf(μA(x),μB(x)),sup(νA(x)νB(x))|x∈X}。

設(shè)L*={(x1,y1)|(x1,y1)?[0,1]2,x1+y1≤1},在L*上序的關(guān)系定義為:如果x1≤x2,y1≥y2,則(x1,y1)≤L*(x2,y2)。此外,(x1,y1)∧L*(x2,y2)=(x1∧x2,y1∨y2),(x1,y1)∨L*(x2,y2)=(x1∨x2,y1∧y2).對于任意的(xi,yi)∈L*,sup(xi,yi)=(supxi,infyi),inf(xi,yi)=(infxi,supyi).L*上的最大、最小元分別是1*=(1,0)和0*=(0,1),容易證明(L*,∧L*,∨L*,0*,1*)是完備格[18]。

定義1.5[19]若映射TT,S:L*×L*→L*滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性和邊界條件,即對于任意的x∈L*,滿足TT,S(x,1*)=x,則TT,S稱為直覺三角范數(shù)。

例1.2[19]若映射TT,S:L*×L*→L*滿足TT,S((a1,a2),(b1,b2))=(T(a1,b1),S(a2,b2)),其中S為三角范數(shù)T對應(yīng)的三角余范,則TT,S稱為相關(guān)聯(lián)的直覺三角范數(shù)。

如果T是左連續(xù)的三角范數(shù)且S為三角范數(shù)T對應(yīng)的右連續(xù)的三角余范,則相關(guān)聯(lián)的直覺三角范數(shù)TT,S是左連續(xù)的。

定義1.6[19]由左連續(xù)的相關(guān)聯(lián)直覺三角范數(shù)TT,S誘導(dǎo)的直覺剩余蘊涵RT,S定義為

RT,S(a,b)=sup{η∈L*}|TT,S(η,a)≤b}。

引理1.1[13]設(shè)R為三角范數(shù)T誘導(dǎo)的剩余蘊涵,直覺剩余蘊涵RT,S有如下表現(xiàn)形式:

RT,S((a1,a2),(b1,b2))=(R(a1,b1)∧R(1-a2,1-b2),1-R(1-a2,1-b2))。

定義1.7[5]非空論域X上的區(qū)間值模糊集定義為BT,T={(x,[Bl(x),Br(x)])|[Bl(x),Br(x)]?[0,1],x∈X},在本文中,我們用IVFS(X)表示論域X上的所有區(qū)間值模糊子集的集合。設(shè)AT,T,BT,T∈IVFS(X),包含、并和交運算關(guān)系定義為:

1)AT,T?BT,T成立當(dāng)且僅當(dāng)Al(x)≤Bl(x),Ar(x)≤Br(x);

2)AT,T∪LIBT,T={(x,[sup(Al(x),Bl(x)),sup(Ar(x),Br(x))])|x∈X};

3)AT,T∩LIBT,T={(x,[inf(Al(x),Bl(x)),inf(Ar(x),Br(x))])|x∈X}。

設(shè)LI={[x1,y1]|[x1,y1]?[0,1],x1≤y1},在LI上序的關(guān)系定義為:如果x1≤x2,y1≤y2,則[x1,y1]≤LI[x2,y2],此外,[x1,y1]∧LI[x2,y2]=[x1∧x2,y1∧y2],[x1,y1]∨LI[x2,y2]=[x1∨x2,y1∨y2].對于任意的[xi,yi]∈LI,sup[xi,yi]=[supxi,supyi],inf[xi,yi]=[infxi,infyi].LI上的最大、最小元分別是1I=[1,1]和0I=[0,0],容易證明(LI,∧LI,∨LI,0I,1I)是完備格[20]。

定義1.8[19]若一個映射TT,T:LI×LI→LI滿足交換律,結(jié)合律,單調(diào)性和邊界條件TT,T(x,1I)=x,則TT,T稱為區(qū)間值三角范數(shù)。

例1.3[21]若映射TT,T:LI×LI→LI滿足TT,T((a1,a2),(b1,b2))=[T(a1,b1),T(a2,b2)],T為三角范數(shù),則TT,T稱為相關(guān)聯(lián)區(qū)間值三角范數(shù)。

如果T是左連續(xù)的三角范數(shù)則相關(guān)聯(lián)區(qū)間值三角范數(shù)TT,T是左連續(xù)的。

定義1.9[22]設(shè)TT,T是左連續(xù)的相關(guān)聯(lián)區(qū)間值三角范數(shù),則TT,T誘導(dǎo)的區(qū)間值剩余蘊涵RT,T定義為

RT,T(a,b)=sup{η∈LI|TT,T(η,a)≤b}。

引理1.2[22]設(shè)R為三角范數(shù)T誘導(dǎo)的剩余蘊涵,區(qū)間值剩余蘊涵RT,T有如下表現(xiàn)形式:

RT,T((a1,a2),(b1,b2))=[R(a1,b1)∧R(a2,b2),R(a2,b2)]。

引理1.3[23]設(shè)映射g:IFS(X)→IVFS(X),AB定義如下:

A={(x,μA(x),νA(x))|x∈X},B={(x,[μA(x),1-νA(x)])|x∈X},則格(IFS(X),∪L*,∩L*)和(IVFS(X),∪LI,∩LI)是同構(gòu)的。

2 基于直覺模糊集和區(qū)間值模糊集全蘊涵三I算法的關(guān)系

定義2.1[13]直覺模糊推理全蘊涵三I模型:

RT,S(RT,S(A(x),B(y)),RT,S(A*(x),B*(y)))。

(1)

其中A,A*∈IFS(X),B,B*∈IFS(Y),且RT,S是由左連續(xù)相關(guān)聯(lián)的直覺三角范數(shù)TT,S誘導(dǎo)的直覺剩余蘊涵,如果在論域Y(或X)上存在最小(大)的直覺模糊集B*(或A*)使得(1)達到最大值,則B*(或A*)稱為求解直覺FMP(FMT)(記為IFMP(IFMT))問題的全蘊涵三I算法解。

定理2.1[13]設(shè)RT,S是由左連續(xù)的相關(guān)聯(lián)直覺三角范數(shù)TT,S誘導(dǎo)的直覺剩余蘊涵,則

1)求解IFMP問題的三I算法解為

2)求解IFMT問題的三I算法解為

定義2.2[24]區(qū)間值模糊推理全蘊涵三I模型:

(2)

定理2.2[24]若RT,T是由左連續(xù)的相關(guān)聯(lián)區(qū)間值三角范數(shù)TT,T誘導(dǎo)的區(qū)間值剩余蘊涵,則

1)求解IVFMP問題的三I算法解為

2)求解ZVFMT問題的三I算法解為

定理2.3若RT,S是由左連續(xù)的相關(guān)聯(lián)直覺三角范數(shù)TT,S誘導(dǎo)的直覺剩余蘊涵,RT,T是由左連續(xù)的相關(guān)聯(lián)區(qū)間值三角范數(shù)TT,T誘導(dǎo)的區(qū)間值剩余蘊涵,則剩余格(IFS(X),∩L*,∪L*,0*,1*,TT,S,RT,S)和剩余格(IVFS(X),∩LI,∪LI,0I,1I,TT,T,RT,T)是同構(gòu)的。

證明:設(shè)映射g:IFS(X)→IVFS(X),(x1,x2)[x1,1-x2],根據(jù)引理1.3可得(IFS(X),∩L*,∪L*,0*,1*)?(IVFS(X),∩LI,∪LI,0I,1I).

對于任意的m=(x1,x2),n=(y1,y2),可得，

g(TT,S(m,n))=

g(TT,S((x1,x2),(y1,y2)))=

g(T(x1,y1),S(x2,y2))=

[T(x1,y1),1-S(x2,y2)]=

[T(x1,y1),1-(1-T(1-x2,1-y2))]=

[T(x1,y1),T(1-x2,1-y2)]=

TT,T([x1,1-x2],[y1,1-y2])=

TT,T(g(x1,x2),g(y1,y2))=

TT,T(g(m),g(n)),

g(RT,S(m,n))=

g(RT,S((x1,x2),(y1,y2)))=

g(R(x1,y1)∧R(1-x2,1-y2),

1-R(1-x2,1-y2))=

[R(x1,y1)∧R(1-x2,1-y2),

R(1-x2,1-y2)]=

RT,T([x1,1-x2],[y1,1-y2])=

RT,T(g(x1,x2),g(y1,y2))=

RT,T(g(m),g(n))。

證明:設(shè)映射g:IFS(Y)→IVFS(Y),(y1,y2)[y1,1-y2]。

對于任意的m=(x1,x2),n=(y1,y2)

證明:設(shè)映射g:IFS(X)→IVFS(X),(x1,x2)[x1,1-x2]。

表1 A,A*和B的數(shù)據(jù)

表和BT,T的數(shù)據(jù)

表3 IFMP算法解B*和IVFMP算法解

表4 映射g作用下的B*對應(yīng)的C值

3 結(jié) 論

本文研究了直覺模糊推理方法與區(qū)間值模糊推理方法之間的關(guān)系。證明了直覺模糊推理全蘊涵三I算法解與區(qū)間值模糊推理全蘊涵三I算法解是一一對應(yīng)的關(guān)系。從數(shù)學(xué)的角度,證明了基于這兩個模糊集的推理算法在本質(zhì)上是等價的。然而,這兩種方法都有各自的優(yōu)點。在實際應(yīng)用中,區(qū)間值模糊集可以有效減少模糊信息的損失,直覺模糊集可以從兩個方面表征信息。直覺模糊推理方法和區(qū)間值模糊推理方法將在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用。