高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)的分析與研究

黃龍濤 王海平 屈 濤 劉繼征 劉 海

陜西省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測(cè)研究院 西安 710048

0 引言

隨著高層建筑快速的發(fā)展，高速曳引電梯被廣泛應(yīng)用。在動(dòng)力學(xué)性能方面，國(guó)內(nèi)高速曳引電梯與國(guó)外還存在較大差距，尤其是提升鋼絲繩振動(dòng)方面最為突出，是電梯減振技術(shù)的核心問(wèn)題。在電梯運(yùn)行過(guò)程中存在曳引機(jī)偏心旋轉(zhuǎn)、導(dǎo)軌不平度等問(wèn)題，提升鋼絲繩以水平方向振動(dòng)為主，而側(cè)向振動(dòng)不明顯，故對(duì)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)的研究十分有意義。

1 高速電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)模型建立

高速電梯在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，提升鋼絲繩長(zhǎng)度會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，也導(dǎo)致曳引鋼絲繩阻尼與剛度產(chǎn)生變化。集中參數(shù)離散模型是把提升鋼絲繩簡(jiǎn)化成彈簧—阻尼系統(tǒng)[1]，忽略提升鋼絲繩的時(shí)變性與連續(xù)性，故本文采用分布參數(shù)連續(xù)模型。提升鋼絲繩上、下端分別和曳引輪、轎廂相連，補(bǔ)償繩上、下端分別和轎廂、張緊輪相連。分析提升鋼絲繩振動(dòng)情況下張緊輪的預(yù)緊力和慮補(bǔ)償繩的質(zhì)量很重要[2]，同樣導(dǎo)軌對(duì)提升鋼絲繩的影響也相當(dāng)重要。為了突出張緊輪的預(yù)緊力和慮補(bǔ)償繩的質(zhì)量與導(dǎo)軌的影響，建立了高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)模型，如圖1所示。

圖1 高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)模型

1.1 水平方向振動(dòng)控制方程建立

本文中模型建立和求解基于4個(gè)假設(shè)[3]：1）不考慮井道內(nèi)部摩擦力、氣流的影響；2）忽略補(bǔ)償繩振動(dòng)的影響；3）忽略提升鋼絲繩側(cè)向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)等因素的影響，同時(shí)水平方向振動(dòng)產(chǎn)生的彈性變形量要比整條弦線長(zhǎng)度??；4）提升鋼絲繩彈性模量E、橫截面積A、線密度ρ保持不變。

將提升鋼絲繩簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)的變長(zhǎng)度弦線[4]，將轎廂簡(jiǎn)化成質(zhì)量為m的剛性重物，連接在變長(zhǎng)度弦線的下端，縱向自由；將導(dǎo)軌簡(jiǎn)化成阻尼系數(shù)為c1的阻尼器、剛度為k1的彈簧；外界激勵(lì)為e1表示電動(dòng)機(jī)偏心旋轉(zhuǎn)的影響；水平激勵(lì)e2為導(dǎo)軌的不平度的影響。彈性模量為E、橫截面積為A、線密度為ρ、補(bǔ)償繩長(zhǎng)度為h-L(t)，h為提升高度，補(bǔ)償繩線密度為ρ1。選取提升鋼絲繩與曳引輪的切點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直向下為x軸的正方向，i為x軸方向的單位矢量，水平向左為y軸的正方向，j為y軸方向的單位矢量。利用連續(xù)介質(zhì)有限形變的理論可得到，提升鋼絲繩x處位移向量R為

對(duì)式（1）中時(shí)間t求導(dǎo)得提升鋼絲繩x處的速度向量為

對(duì)式（2）進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

式中：yx[x(t)，t]為y[x(t)，t]對(duì)x的偏導(dǎo)，yt[x(t)，t]為y[x(t)，t]對(duì)t偏導(dǎo)，分別用y、yx、yt表示y[x(t)，t]、yx[x(t)，t]、yt[x(t)，t]。

同理可得提升重物位移與速度的向量分別表示為

由式（3）、式（5）可得，系統(tǒng)動(dòng)能為

系統(tǒng)勢(shì)能則表示為

式中：ε為曳引鋼絲繩的應(yīng)變。

式（9）忽略高階項(xiàng)可得

將式（10）代入到式（8）中可得

將式（11）代入式（7）中可以得到勢(shì)能為

式中：P為在時(shí)間t提升鋼絲繩在x處受到的張緊力。

提升鋼絲繩受到自重與轎廂重力以及補(bǔ)償繩的重力、預(yù)緊力的作用，故張緊力P表示為

系統(tǒng)阻尼力的虛功表示為

式中：c為提升鋼絲繩的分布阻尼。

根據(jù)Hamilton原理[3]

進(jìn)行積分與變分運(yùn)算時(shí)，因提升鋼絲繩的長(zhǎng)度是時(shí)變的，故式（15）中對(duì)t積分上限同樣是時(shí)變的，使用分部積分法與參變量積分求導(dǎo)法

將式（15）進(jìn)行一系列的變換運(yùn)算后，可以得出高速曳引電梯提升鋼絲繩的水平方向的振動(dòng)控制方程

相應(yīng)時(shí)間與幾何邊界條件分別表示為

式（18）為非齊次邊界條件，齊次邊界條件由非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化，此時(shí)引入齊次邊界條件函數(shù)y1(x,t)，水平方向位移y(x,t)表示為

式中：y1(x,t)為滿(mǎn)足齊次邊界條件區(qū)域，y2(x,t)為不滿(mǎn)足齊次邊界條件區(qū)域。

將式（19）代入式（17）可以得到在激勵(lì)作用條件下高速曳引電梯提升鋼絲繩的水平方向振動(dòng)控制方程為

1.2 基于Galerkin法的提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)偏微分方程離散

Galerkin法[3]原理：疊加所選取的有限多項(xiàng)式函數(shù)，使結(jié)果滿(mǎn)足求解范圍，并且讓邊界加權(quán)積分滿(mǎn)足原方程式，可以得到求解簡(jiǎn)單、滿(mǎn)足邊界條件的線性方程式。本文利用Galerkin法對(duì)高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)偏微分方程進(jìn)行離散化處理。

離散化處理前先定義一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)ξ，歸一化處理原變量，即ξ=x/l(t)，將x時(shí)變域轉(zhuǎn)成ξ固定域[0,1]，設(shè)方程式（20）解為

式中：qi(t)為廣義坐標(biāo)；i=（1，2，…n），n為模數(shù)；φi(ξ)為形函數(shù)。

將式（22）代入到式（21），并求導(dǎo)可得

將式（23）代入到式（20）中，且等式兩邊乘以φj(ξ)，然后將ξ在[0，1]內(nèi)進(jìn)行積分，可以得到將高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)無(wú)限維度偏微分方程轉(zhuǎn)化成有限維度常微分方程，即

其中：q=[q1(t)，q2(t)，……，qn(t)]T表示廣義坐標(biāo)向量；矩陣M、C、K、F中各元素值分別表示為

式中：δij為delta函數(shù)，若i≠j，則δij=0，若i=j，則δij=1。

式（24）求解后，可計(jì)算廣義坐標(biāo)向量q代入到式（19）中，得到了提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)實(shí)時(shí)值。

2 提升曳引繩振動(dòng)模型參數(shù)影響分析

本文以高速曳引電梯工作原理為基礎(chǔ)，結(jié)合某工況下最大速度vmax=5 m/s、最大加速度amax=1 m/s2、最大加加速度Jmax=0.5 m/s3、最大提升高度lmax=150 m、E=8×1010N/m2、ρ1=0.343 kg/m、e1=0.01sin(3.14t)、e2=0.005sin(6.28t)電梯參數(shù)為輸入，使用Matlab的Newark-β法仿真分析高速電梯單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量m、分布阻尼c、線密度ρ、預(yù)緊力f對(duì)其提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)的影響。

結(jié)合4個(gè)參數(shù)設(shè)計(jì)了4個(gè)案例，每案例都有3種工況。案例1取m分別為400 kg、500 kg、550 kg；案例2取c分別為0.25、0.5、1；案例3選用碳素鋼、結(jié)構(gòu)為8×19類(lèi)別的提升鋼絲繩，提升鋼絲繩公稱(chēng)直徑分別為10 mm、12 mm、16 mm，取ρ分別為 0.512 kg/m、0.7 kg/m、0.87 kg/m；案例4取f分別為 400 N、500 N、600 N；具體如表1所示。

表1 案例分析參數(shù)

2.1 提升質(zhì)量m影響的分析

在案例1中對(duì)電梯上、下行過(guò)程的振動(dòng)進(jìn)行仿真，分析不同單根鋼絲繩提升質(zhì)量m對(duì)電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)的影響。圖2～圖4為m=400 kg、500 kg、m=550 kg時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度的最大值分別為0.591 4 m/s2、0.75 m/s2、0.766 m/s2；下行時(shí)其最大值分別為0.390 3 m/s2、0.406 7 m/s2、0.410 2 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)幅值隨提升質(zhì)量m的增大而逐漸增大，故可以通過(guò)減小單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量來(lái)減弱提升鋼絲繩水平方向的振動(dòng)。

圖2 m=400 kg時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖3 m=500 kg時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖4 m=550 kg時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

2.2 提升曳引繩分布阻尼的影響分析

在案例2中對(duì)電梯上、下行過(guò)程的振動(dòng)進(jìn)行仿真，分析不同分布阻尼c對(duì)電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)的影響。圖5～圖7為c=0.25、0.5、1時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度的最大值分別為0.594 9 m/s2、0.574 3 m/s2、0.406 2 m/s2；下行時(shí)其最大值分別為0.497 m/s2、0.39 m/s2、0.275 5 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)幅值隨分布阻尼的增大逐漸減小，故可以通過(guò)增大分布阻尼來(lái)減弱提升鋼絲繩水平方向的振動(dòng)。

圖5 c=0.25時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖6 c=0.5時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖7 c=1時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

2.3 提升曳引繩線密度的影響分析

在案例3中對(duì)電梯上、下行過(guò)程的振動(dòng)進(jìn)行仿真，分析不同線密度ρ對(duì)電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)的影響。圖8～圖10為ρ=0.512 kg/m3、ρ=0.7 kg/m3、ρ=0.87 kg/m3時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度的最大值分別為0.553 8 m/s2、0.601 1 m/s2、0.840 9 m/s2；下行時(shí)其最大值分別為0.359 2 m/s2、0.388 5 m/s2、0.441 6 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)幅值隨線密度的增大而逐漸增大。因此，可以通過(guò)減小線密度來(lái)減弱提升鋼絲繩水平方向的振動(dòng)。

圖8 ρ=0.512 kg/m3時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)

圖9 ρ=0.7 kg/m3時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)

圖10 ρ=0.87 kg/m3時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)

2.4 電梯預(yù)緊力的影響分析

在案例4中對(duì)電梯上、下行過(guò)程的振動(dòng)進(jìn)行仿真，分析不同預(yù)緊力f對(duì)電梯提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)的影響。圖11～圖13為f=400 N、500 N、600 N時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度的最大值分別為0.594 9 m/s2、0.605 2 m/s2、0.621 9 m/s2；下行時(shí)其最大值分別為 0.388 3 m/s2、0.392 8 m/s2、0.395 5 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)幅值隨預(yù)緊力的增大而逐漸增大，故可以通過(guò)減小預(yù)緊力來(lái)減弱提升鋼絲繩水平方向的振動(dòng)。

圖11 f=400 N時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖12 f=500 N時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖13 f=600 N時(shí)提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)加速度響應(yīng)

3 結(jié)論

1）增大分布阻尼c可以減弱提升鋼絲繩水平方向的振動(dòng)，分布阻尼c和提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)呈負(fù)相關(guān)；

2）減少單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量m、鋼絲繩線密度ρ、預(yù)緊力f可以減弱提升鋼絲繩水平方向的振動(dòng)，單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量m、鋼絲繩線密度ρ、預(yù)緊力f和提升鋼絲繩水平方向振動(dòng)響應(yīng)呈正相關(guān)。