次可加函數(shù)序列纖維壓的變分原理

王 威， 吳晶晶， 李 謙

(1.南通理工學(xué)院,江蘇 南通 226002； 2.南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210023)

熵和拓?fù)鋲菏莿恿ο到y(tǒng)中的基本概念,遍歷論經(jīng)典教材[1]總結(jié)了Kolomogorov、Ruelle、Bowen等人的一系列成果,并證明了對應(yīng)的變分原理.Downarowicz等[2]解決了緊致非度量空間中纖維熵3個條件變分原理,并驗證了在一些緊致度量空間中也成立的結(jié)果.熵的研究一直是動力學(xué)的熱點(diǎn)問題,對相關(guān)的熵的推廣也是動力學(xué)研究的熱點(diǎn)方向,文獻(xiàn)[3—4]分別給出了條件熵和條件壓及其應(yīng)用,文獻(xiàn)[5]給出了條件熵公式及公式的兩個應(yīng)用.文獻(xiàn)[6]對給定的兩個可容許群作用之間的因子映射引入了拓?fù)錀l件熵和纖維熵的概念，并證明了條件熵和纖維熵的3個變分原理.文獻(xiàn)[7]利用緊致化方法建立了任意拓?fù)淇臻g上的拓?fù)鋲?，并證明了相關(guān)性質(zhì).文獻(xiàn)[8—9]討論了次可加函數(shù)拓?fù)鋲旱淖兎衷聿⒔o出了雙序列的次可加遍歷定理.文獻(xiàn)[10—11]對熵的局部化和熵對作了分析.文獻(xiàn)[12—15]在熵的局部化方面作了一系列研究.本文主要在文獻(xiàn)[12,13,16]的基礎(chǔ)上對相關(guān)的熵進(jìn)行推廣.

1 基本概念

假設(shè)(X,T),(Y,S)是兩個TDS.T:X→X,S:Y→Y是連續(xù)映射,若存在連續(xù)滿射π:X→Y,使得π°T=S°π,則稱π為因子映射.

對γ∈CX,設(shè)C是由γ生成的 Borel 分割,令P*(γ)={β∈PX:γ?β且β的每個元素都是C的一些元素的并}，易知P*(γ)是有限集.

再令

稱之為對給定因子系統(tǒng)(Y,S)的G的拓?fù)錀l件壓.

其中:U′是由X的開子集組成的有限集族, 且滿足π-1(y)?∪U′和Un?U′.定義對給定y的相對于U的G的拓?fù)淅w維壓:

取μ∈M(X,T)，記G*(μ)為下列極限：

對υ∈M(Y,S),定義對任意給定的υ相對于U的G的拓?fù)淅w維壓為

2 主要結(jié)論及其證明

max{hμ(T,U|Y)+G*(μ):

μ∈M(X,T)}=P(T,G,U|υ),

其中hμ(T,U|Y)為測度條件熵，具體的定義和性質(zhì)見文獻(xiàn)[12].

hμ(T,γ|Y)+G*(μ)≤P(T,G,γ|υ).

則γ??.對?i=1,2,…,s，若y∈Bi，則Hμy(?)=

Hμy(αi)=Hμy(γ).因此

Hμy(γ|Y)≤Hμ(?|π-1B(Y))=

斷言1得證

對?n∈N,y∈Y，由文獻(xiàn)[13]引理2.1知,存在βy∈P*(γn)使得

由斷言1可得

hn(T,γ|Y)+G*(μ)=

對任意B∈βy,y∈Y，滿足B∩π-1(y)≠?，令K(B,y)=sup{gn(x):x∈B∩π-1(y)}，則

由文獻(xiàn)[1]引理9.9以及γn?βy得

因此

至此命題1得證.

證明設(shè)U={U1,U2,…,Us}, 定義

U*={α∈PX:α={A1,A2,…,As},Ai?Ui,i=1,2,…,s}.

因為X是零維空間, 此時X的既開又閉的子集的全體為可數(shù)集且它們構(gòu)成了X的一組可數(shù)基.這樣U*中由既開又閉的子集構(gòu)成的分割的全體是一個可數(shù)集, 用{αl:l≥1}表示該可數(shù)集的一個枚舉.

設(shè)n∈N，由文獻(xiàn)[13]引理4.4知,存在有限子集Bn?π-1(y), 使得

(1)

并且對1≤l≤n,(αl)n的每個原子至多包含了Bn中的一個點(diǎn).

其中Sj={0,1,2,…,j-1,j+S(j)q,j+S(j)q+1,…,n-1}且cardSj≤2q.所以

對j從0到q=1求和, 得

q[logPn(T,G,U|y)-logn]≤

qμn(gn)+2q2logS.

因為H{·}((αl)q|π-1B(Y))在M(X)上是凹函數(shù)，所以

Hμn((αl)q|π-1B(Y)).

因此

(2)

因為αl是既開又閉的分割,所以由文獻(xiàn)[12]引理3.3知H{·}((αl)q|π-1B(Y))在M(X)上是上半連續(xù)的. 在(2)式中,用nj代替n,再令j→∞,可得

qP(T,G,U|υ)≤

qG*(μ)+Hμ((αl)n|π-1B(Y)).

(3)

給(3)式的兩邊同除以q且令q→∞, 得

P(T,G,U|υ)=G*(μ)+Hμ(T,αl|Y).

再由文獻(xiàn)[15]引理2可知

從而可得

P(T,G,U|y)≤G*(μ)+hμ(T,U|Y).

G*(μ)+hμ(T,U|Y)≥P(T,G,U|y).

證明假設(shè)υ∈Me(Y,S),則υ-a.e.是υ的生成點(diǎn). 因此, 可找到υ的生成點(diǎn)y0∈Y使得

P(T,G,U|y0)≥

由命題2知,存在μ∈M(X,T)滿足π°μ=υ,使得

hμ(T,U|Y)+G*(μ)≥

P(T,G,U|y0)≥P(T,G,U|υ).

F(λ)=sup{hζ(T,U|Y)+G*(ζ):

ζ∈M(X,T),π°ζ=λ,?λ∈M(Y,S)}，

則

P(T,G,U|υ).

(4)

斷言2F(·)在M(Y,S)上是上半連續(xù)的有界凹函數(shù).

因為αl是X的既開又閉的分割,由文獻(xiàn)[12]引理3.3知?l≥1,h{g}(T,αl|Y)在M(X,T)上是上半連續(xù)的, 從而h{g}(T,U|Y)在M(X,T)上也是上半連續(xù)的. 由文獻(xiàn)[1]引理9.9易知h{g}(T,U|Y)是仿射的.由此證得F是上半連續(xù)的有界凹函數(shù).

由斷言2及(4)式得

因為h{g}(T,U|Y)在M(X,T)上也是上半連續(xù)的，所以存在μ∈M(X,T) 滿足π°μ=υ,使得

G*(μ)+hμ(T,U|Y)≥P(T,G,U|υ).

定理1的證明假設(shè)G*(μ)>-∞.由命題1知, ?μ∈M(X,T)滿足π°μ=υ,有

hμ(T,U|Y)+G*(μ)≤P(T,G,U|υ).

根據(jù)文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[13]的方法, 構(gòu)造一可逆的零維動力系統(tǒng)(Z,R)和因子映射χ:(Z,R)→(X,T),進(jìn)而由文獻(xiàn)[12]引理3.1和命題2.3知, 存在ω∈M(Z,R),滿足ω°(π°χ)=υ使得

hω(R,x-1(U)|Y)+G°χ(ω)≥

P(R,G°χ,χ-1(U)|υ)=

因此, 對β∈PZ滿足x-1(U)?β，有

hω(R,β|Y)+G°χ(ω)≥P(T,G,U|υ).

設(shè)μ=χ°ω,則μ∈M(X,T)滿足π°μ=υ,對α∈PX,U?α,有χ-1α∈PXχ-1(U)?χ-1(α).再由文獻(xiàn)[12]引理3.1得

hμ(T,α|Y)+G*(μ)=

hω(R,x-1(α)|Y)+G°x(ω)≥

P(R,G,U|υ)，

從而

hμ(T,U|Y)+G*(μ)≥P(T,G,U|υ).

若G*(μ)=-∞, 則由命題1得P(R,G,U|υ)≥-∞，而由命題3得P(R,G,U|υ)≤-∞.

至此, 完成了定理1的證明.

證明由文獻(xiàn)[16] 和定理1 可以證明.

hμ(T,U|Y)+G*(μ)=P(T,G,U|Y).

因此, 存在θ∈M(X,T), 使得

hθ(T,U|Y)+G*(θ)≥P(T,G,U|Y).

從而由命題1得

P(T,G,U|Y)=

P(T,G,X|υ)=

sup{hμ(T,X|Y)+G*(μ):