一道數(shù)學(xué)競賽題的推廣

蔡少毅 鄭雪靜

1 問題提出

不少學(xué)者致力于對數(shù)學(xué)競賽題的推廣與研究得到了豐碩的成果，參見文[1-6].以下從2011年世界少年奧林匹克數(shù)學(xué)競賽（中國區(qū)）選拔賽全國總決賽五年級(jí)的一道試題為例展開討論：在1-100的100個(gè)數(shù)中取出兩個(gè)不同數(shù)相加，使其和是3的倍數(shù)，問有多少種不同取法？

解在1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中，模3的余數(shù)為0，1，2的依次有33，34，33個(gè).

①在余數(shù)為0的33個(gè)數(shù)中任意取2個(gè)，兩數(shù)

②在余數(shù)為1的34個(gè)數(shù)中任意1個(gè)，在余數(shù)為2的33個(gè)數(shù)中任意1個(gè)，兩數(shù)相加是3的倍數(shù)的有34x33 =1122種取法.

從而，從100個(gè)數(shù)任意取2個(gè)，兩數(shù)相加是3的倍數(shù)的共有528+1122 =1650種取法.1650.由此，猜想該問題的答案是否是在所有數(shù)中取出不同的兩數(shù)的組合數(shù)的三分之一.但我們很快發(fā)現(xiàn)：在1，2，3，…，50這50個(gè)數(shù)中取出不同的兩數(shù)，要使取出的兩數(shù)相加的結(jié)果是3的倍數(shù)有409種取法.而這50個(gè)數(shù)中取出不同的兩數(shù)的組合數(shù)為1225，其三分之一顯然不是409.可見問題的答案未必是所有數(shù)中取出不同的兩數(shù)的組合數(shù)的三分之一.因此我們對該問題作進(jìn)一步的探究，得到以下結(jié)論：

（1）當(dāng)1，2，3，，，.，n時(shí)的結(jié)果

證明 只需求從余數(shù)為O的數(shù)中任取2個(gè)數(shù)相加，或者從余數(shù)為1的數(shù)中任取1個(gè)數(shù)，再從余數(shù)為2的數(shù)中任取1個(gè)數(shù)相加的所有取法，即為所求.

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