依托“等可能性”巧解比賽中的概率問題

周翔

概率部分內(nèi)容是近年高考考查的熱點(diǎn)，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力、歸納能力和演繹能力，以及應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)均有較高要求，本文聚焦用“事件等可能性”解決一類比賽中的概率問題，助力提升學(xué)生對(duì)此類問題本質(zhì)的深度理解.

引例1七位選手依次進(jìn)行跳水比賽，出場(chǎng)順序隨機(jī)確定，求選手甲在乙后邊出場(chǎng)的概率.

分析由于該問題中甲在乙的前邊或后邊是隨機(jī)等可能的，這一點(diǎn)不受其他選手的具體出場(chǎng)順序影響，故聚焦甲乙兩人之間的兩種出場(chǎng)排列順序，即可得甲在乙后邊出場(chǎng)的概率為去.

引例2甲，乙，丙三人玩“石頭、剪刀、布”游戲，需要淘汰兩人，一人勝出.現(xiàn)三人同時(shí)隨機(jī)出拳，求游戲只進(jìn)行一回合就結(jié)束的概率，

分析設(shè)定甲已隨機(jī)出拳，此時(shí)聚焦乙、丙出拳所包含的基本事件數(shù)總共有9個(gè)，其中任何一人勝出都分別有1種可能，故“一人勝出”所包含的基本事件數(shù)共有3個(gè)，所以由游戲只進(jìn)行一回合就結(jié)束的概率為3/9=1/3.

通過以上兩個(gè)引例不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用等可能性解決比賽中的概率問題的方法往往具有新穎性和獨(dú)創(chuàng)性，能有效提升學(xué)生的思辨能力，增強(qiáng)對(duì)概率意義的理解.其一般步驟是：（1）粗讀，理解比賽規(guī)則，建立恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ图把芯恳暯?（2）細(xì)讀，把握研究對(duì)象的概率特征，依托隨機(jī)等可能性，確立正確表述;（3）計(jì)算，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)母怕使?，求得結(jié)果.顯然第2步非常關(guān)鍵，需要剔除不必要的干擾信息，挖掘題目信息中的等可能性，迅速達(dá)成解題目標(biāo).下面結(jié)合幾個(gè)典型案例進(jìn)行具體闡釋.

（2020年高考全國(guó)I卷·理19題（3》甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率均為1/2，求丙最終獲勝的概率.

分析對(duì)事件空間的不同理解產(chǎn)生不同的解法思路.本題的一般思路是，逐一列舉出所有可能的結(jié)果，結(jié)合獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求出最終丙贏的概率.這一過程耗時(shí)較多，難免疏漏，此處不再贅述.事實(shí)上，第一場(chǎng)比賽后，勝者和丙的“境況”相同，自然產(chǎn)生如下解法思路：

評(píng)析上述解答以第一場(chǎng)比賽結(jié)束后，能負(fù)場(chǎng)次相同作為等可能判斷依據(jù)，結(jié)合對(duì)立轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了對(duì)概率公式和事件本質(zhì)的深層次理解.

例2甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如框圖所示（圖1），其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為3/4，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同，求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率.

分析本題有較強(qiáng)的程序性，歷經(jīng)多場(chǎng)比賽，勝負(fù)關(guān)系更為復(fù)雜，考慮到乙、丙、丁每局獲勝概率相同，仍可參照例1的解題方式，聚焦關(guān)鍵場(chǎng)次比賽雙方獲勝可能性異同進(jìn)行必要分類（“有甲參

評(píng)析上述解答以每場(chǎng)比賽的參賽雙方的勝率是否相等作為討論依據(jù)，聚焦關(guān)鍵場(chǎng)次的賽果，優(yōu)化了思維，簡(jiǎn)化了討論.

例3某校組織有獎(jiǎng)游園活動(dòng)，高三（1）班共6人，計(jì)劃同時(shí)參加活動(dòng)，該游園活動(dòng)共有甲，乙，丙三個(gè)場(chǎng)地，6人各自隨機(jī)地確定參加順序，在每個(gè)場(chǎng)地猜謎一小時(shí)后去其他場(chǎng)地，所有場(chǎng)地活動(dòng)結(jié)束后一起返回，設(shè)事件A為：在參加活動(dòng)的第一個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，甲，乙，丙三個(gè)場(chǎng)地恰好分別有該班的2個(gè)人.設(shè)在參加活動(dòng)的第三個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該班級(jí)在甲場(chǎng)地的人數(shù)為ξ，則在事件A發(fā)生的前提下，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

分析本題若按部就班從第二小時(shí)開始，研究到第三小時(shí)結(jié)束，過程較為復(fù)雜.如果參照“n張獎(jiǎng)券中有一張為中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，若n個(gè)人逐一不放回地抽取，則每個(gè)人中獎(jiǎng)概率一致”的基本原理，直接聚焦第三個(gè)小時(shí)的情形，將原問題化為熟悉的二項(xiàng)分布解決.

解由于除了第一個(gè)小時(shí)已經(jīng)參加完甲場(chǎng)地的兩個(gè)人外，其余4人隨機(jī)地在第二、三個(gè)小時(shí)中選擇參加甲場(chǎng)地的活動(dòng)，顯然具有等可能性，可視為4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在事件A發(fā)生的前提下，即第一小時(shí)已經(jīng)有2人參加甲場(chǎng)地活動(dòng)，該班級(jí)第三小

評(píng)析上述解答以“第一輪未參加甲場(chǎng)地活動(dòng)者，進(jìn)入第二、三輪機(jī)會(huì)均等”作為等可能判斷依據(jù)，直接建構(gòu)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型，規(guī)避第二小時(shí)情況的復(fù)雜討論.

“各輪次隨機(jī)抽取等可能”的解題思想廣泛應(yīng)用于“設(shè)備檢測(cè)”、“病毒檢驗(yàn)”等事實(shí)際問題.下面再舉一例說明.

例4一種新的驗(yàn)血技術(shù)可以提高血液檢測(cè)效率.現(xiàn)某專業(yè)檢測(cè)機(jī)構(gòu)提取了n（n≥6）份血液樣本，其中只有1份呈陽(yáng)性，并設(shè)計(jì)了如下混合檢測(cè)方案：先隨機(jī)對(duì)其中n-3份血液樣本分別取樣，然后再混合在一起進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則對(duì)另外3份血液逐一檢測(cè)，直到確定呈陽(yáng)性的血液為止;若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，則對(duì)這n-3份血液再逐一檢測(cè)，直到確定呈陽(yáng)性的血液為止.若n>8，采用以上方案檢測(cè)而確定呈陽(yáng)性的血液所需次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布.

評(píng)析上述解答巧借隨機(jī)抽樣公平性原則確立等可能性，將研究重心放在倒數(shù)第三次及之前的檢驗(yàn)，契合已知樣本構(gòu)成特征下的概率求解模式.

結(jié)語新課標(biāo)對(duì)于概率學(xué)習(xí)所提出的要求是：“能夠辨明隨機(jī)現(xiàn)象，并運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表述;能夠通過數(shù)學(xué)建模的結(jié)論和思想闡釋科學(xué)規(guī)律和社會(huì)現(xiàn)象;能夠合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和思維進(jìn)行表達(dá)與交流.”[1]這一要求更加關(guān)注學(xué)生在解決問題過程中的“思維狀態(tài)”.教無定法，貴在得法，概率問題的教學(xué)要根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生以概率核心概念內(nèi)容為基，通過對(duì)比賽中的隨機(jī)試驗(yàn)過程的抽象，充分利用等可能性工具，形成“一般性觀念”，構(gòu)建更加符合數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生心理邏輯的解題思維模式.“自然而然，水到渠成”，促使“深度學(xué)習(xí)”真實(shí)發(fā)生，

參考文獻(xiàn)

[1]史寧中，王尚志，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]，北京：高等教育出版社