基于拋物線形庫侖-莫爾準(zhǔn)則的板柱節(jié)點(diǎn)沖切承載力計(jì)算模型

孫俊豪，費(fèi)正玉，梁詩雪

(浙江理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

板柱結(jié)構(gòu)以樓板和柱子作為承重體系，樓板下沒有梁，降低了建筑物的層高，在地下停車場、倉庫、多層廠房等被廣泛應(yīng)用。板柱的沖切破壞是工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到的問題，一旦節(jié)點(diǎn)處受到?jīng)_切破壞，便會引起周邊節(jié)點(diǎn)應(yīng)力重分布，引發(fā)連續(xù)的坍塌事故，因此對板柱節(jié)點(diǎn)的抗沖切承載力的研究尤其重要。根據(jù)GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]計(jì)算得到的承載力結(jié)果與實(shí)際結(jié)果仍有一定誤差，且沒有考慮縱筋配筋率對沖切承載力的有利影響。國內(nèi)外學(xué)者對板柱節(jié)點(diǎn)的破壞強(qiáng)度進(jìn)行了大量試驗(yàn)研究，提出了許多沖切承載力計(jì)算方法。蔣大驊[2]基于剛塑性破壞模型，提出了拋物線形的庫侖-摩爾混凝土破壞準(zhǔn)則，但并未考慮配筋率的影響。嚴(yán)宗達(dá)[3]基于雙剪強(qiáng)度理論對鋼筋混凝土板軸對稱沖切破壞強(qiáng)度進(jìn)行了計(jì)算，用虛功方程求得破壞荷載的上限解。楊秀敏等[4]和魏雪英等[5]采用同統(tǒng)一強(qiáng)度理論，考慮了中間主應(yīng)力效應(yīng)，求解了軸對稱混凝土板的沖切破壞強(qiáng)度。易偉建等[6]基于拋物線形庫侖-莫爾破壞準(zhǔn)則，推導(dǎo)了混凝土板柱受沖切承載力最小上限解。

為給出可解釋的沖切承載力計(jì)算模型，本文基于拋物線形庫侖-莫爾混凝土破壞準(zhǔn)則，采用剛塑性破壞模型，引入了縱筋配筋率和銷栓作用對板柱沖切的影響，推導(dǎo)建立混凝土板柱沖切承載力計(jì)算模型，與多國規(guī)范的計(jì)算結(jié)果對比，證明本文公式的準(zhǔn)確性。

1 沖切承載力計(jì)算

將板柱節(jié)點(diǎn)沖切破壞的承載力分為3個部分，分別是混凝土部分提供的承載力、鋼筋銷栓作用提供的承載力和鋼筋拉力提供的承載力。由虛功原理可得，板柱破壞時(shí)外力做功等于板柱節(jié)點(diǎn)內(nèi)力做功：

P·u=Wc+Wb+Wst

(1)

式中，P(N)—外部荷載；u(m)—沖切體發(fā)生的虛位移，Wc(J)—混凝土部分做的內(nèi)虛功；Wb(J)—鋼筋銷栓作用做的內(nèi)虛功；Wst(J)—鋼筋拉應(yīng)力做的內(nèi)虛功。

1.1 混凝土部分提供的承載力

采用塑性理論計(jì)算板柱結(jié)構(gòu)的承載力，混凝土采用拋物線形Coulomb-Mohr破壞準(zhǔn)則如圖1所示。

圖1 拋物線型Coulomb-Mohr準(zhǔn)則

拋物線的包絡(luò)線方程為：

(2)

(3)

(4)

式中，σn—屈服面上的正應(yīng)力，MPa；τnt—屈服面上的剪應(yīng)力，MPa；fc′—混凝土塑性有效抗壓強(qiáng)度，MPa；ft′—混凝土塑性有效抗拉強(qiáng)度，MPa；fc、ft—混凝土軸心抗壓和軸心抗拉強(qiáng)度，MPa；vc、vt—混凝土強(qiáng)度fc、ft的折減系數(shù)。α—包絡(luò)線外法線與豎軸的夾角，推導(dǎo)可得：

(5)

σn=(1-Kcot2α)ft′

(6)

τnt=2Kcotαft′

(7)

破壞機(jī)構(gòu)如圖2所示。

圖2 破壞機(jī)構(gòu)

圖2中，Ⅰ、Ⅲ為板柱沖切破壞后形成的剛性體，Ⅱ?yàn)樗苄宰冃螀^(qū)；d—沖切錐體上表面的寬度，mm；與柱頭的寬度一致；n、t—錐體母線的法線方向和切線方向；h—板的厚度，mm。假設(shè)塑性變形只發(fā)生在塑性區(qū)，且沖切錐體只發(fā)生豎向的虛位移u。

設(shè)塑性變形區(qū)的厚度為δ(m)，當(dāng)沖切體發(fā)生豎向虛位移為u時(shí)，混凝土塑性區(qū)的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(8)

(9)

由虛功原理可得混凝土部分做的內(nèi)虛功為：

(10)

式中，A—塑性變形區(qū)的表面積，mm2。

將式(6)—(9)帶入式(10)，得：

(11)

圖3 沖切錐體底面形狀圖

(12)

積分得：

Wc=ft′u(1+Kcot2α)tanα(4dh+πtanαh2)

(13)

1.2 抗彎鋼筋提供的承載力

1.2.1銷栓作用

當(dāng)沖切破壞的裂縫穿過鋼筋時(shí)，鋼筋能像插銷一樣提供剪力，延緩裂縫的發(fā)展，增強(qiáng)混凝土板的承載能力，即為鋼筋的銷栓作用。當(dāng)板柱發(fā)生純彎曲破壞時(shí)，縱筋完全屈服，鋼筋不能提供銷栓作用力。而試驗(yàn)證明，板柱發(fā)生沖切破壞時(shí)鋼筋并不會完全屈服，此時(shí)鋼筋能夠提供銷栓作用[7]。參照文獻(xiàn)[8]提出的抗沖切銷栓作用的計(jì)算式為：

(14)

(15)

式中，φs—穿過破壞截面的抗彎縱筋直徑，mm；fc′—混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度，MPa；fy—抗彎鋼筋屈服強(qiáng)度，MPa；ζ=σs/fy，其中σs為鋼筋軸向拉應(yīng)力，MPa。

當(dāng)混凝土板雙向配筋率相同時(shí)，可得：

(16)

式中，As—穿過破壞截面的縱筋截面面積，mm2。

當(dāng)沖切破壞發(fā)生時(shí)，破壞截面處鋼筋平均應(yīng)變約為屈服應(yīng)變的63%，在此取ζ為0.8[9]。當(dāng)As=(4d+2πh0tanα)h0ρ時(shí)，式(15)可簡化為：

(17)

式中，ρ—縱筋配筋率；h0—板的有效高度，mm。

1.2.2鋼筋拉力

板的受沖切承載力隨配筋率的提高而提高?？v筋配筋率的增加，間接加大了受壓區(qū)的高度，改變了板的內(nèi)力狀態(tài)，使板柱沖切承載力提高。而GB 50010—2010則沒有考慮配筋的影響。試驗(yàn)表明，當(dāng)縱筋配筋率高于2.5%時(shí)，承載力的提升就不再明顯[10-11]，故通常以2.5%的配筋率為界限考慮抗彎縱筋的作用。為便于計(jì)算分析，假設(shè)鋼筋與混凝土之間粘結(jié)良好，忽略鋼筋與混凝土之間的相對滑移，則鋼筋的拉力做功Wst為：

Wst=fyεsAsδ

(18)

Wst=ufyρ(4d+2πh0tanα)h0sinθ

(19)

將式(13)、(17)、(19)帶入式(1)得：

P=ft′(1+Kcot2α)tanα(4dh+πtanαh2)+

fyρ(4d+2πh0tanα)h0sinθ

(20)

P=0.190fc(dh+1.360h2)+

(21)

式中，第一項(xiàng)為混凝土部分提供的承載力，第二項(xiàng)為鋼筋銷栓作用提供的承載力，第三項(xiàng)為鋼筋拉應(yīng)力提供的承載力。

2 結(jié)果對比與修正

2.1 試驗(yàn)值與理論值的對比

收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)總計(jì)181組(數(shù)據(jù)庫詳情見附錄：https://github.com/ohner/data.git)，將試驗(yàn)值與計(jì)算理論值進(jìn)行對比。當(dāng)配筋率高于2.5%時(shí)，配筋率對承載力的提升已不再明顯，故為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，舍棄了部分配筋率高于2.5%的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。將所取試驗(yàn)中的混凝土抗壓強(qiáng)度進(jìn)行換算，取美標(biāo)圓柱體混凝土標(biāo)準(zhǔn)件強(qiáng)度fc′與中標(biāo)混凝土標(biāo)準(zhǔn)件強(qiáng)度fcu換算關(guān)系為fc′=0.8fcu[16]，取混凝土單軸抗壓強(qiáng)度fc與150mm混凝土立方體標(biāo)準(zhǔn)件抗壓強(qiáng)度fcu換算關(guān)系為fc=0.8fcu[17]。計(jì)算后得到，預(yù)測值與試驗(yàn)值之比的平均值為1.29，變異系數(shù)為0.3，由式(21)得到的計(jì)算值與試驗(yàn)值的對比圖如圖4所示。

圖4 未修正承載力預(yù)測值與試驗(yàn)值對比圖

2.2 公式修正與對比

為使得計(jì)算值更加準(zhǔn)確，對式(21)進(jìn)行參數(shù)修正，假定修正后的承載力表達(dá)式為：

P=k10.190fc(dh+1.360h2)+

(22)

式中，k1、k2、k3—待定系數(shù)。

使用最小二乘法對k1、k2、k3回歸分析，使得k1、k2、k3取某個值時(shí)計(jì)算值與試驗(yàn)值誤差最小。

計(jì)算得到，當(dāng)k1=0.356，k2=2.079，k3=2.398時(shí)，計(jì)算值與試驗(yàn)值最為接近?？梢缘玫叫拚蟮墓綖椋?/p>

P=0.068fc(dh+1.360h2)+

(23)

式中，P(N)—沖切承載力；fc—混凝如抗壓強(qiáng)度，MPa；fy—鋼筋屈服強(qiáng)度，MPa；ρ—鋼筋配筋率；d—柱邊長，mm；h—板的厚度，mm；h0—板的有效厚度，mm。

由式(23)得出的抗沖切承載力的計(jì)算值與試驗(yàn)值的對比如圖5所示，計(jì)算得到預(yù)測值與試驗(yàn)值之比的平均值為0.92，變異系數(shù)為0.20，結(jié)果吻合較好，有一定的強(qiáng)度儲備。

圖5 修正后承載力預(yù)測值與試驗(yàn)值對比圖

引用GB 50010—2010、歐洲規(guī)范Eurocode 2—03[18]、美國規(guī)范ACI 318M—11[19]、日本規(guī)范JSCE15[20]計(jì)算得到的對比圖如圖6所示。將不同公式預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比結(jié)果見表1?？梢缘玫?，4種規(guī)范的預(yù)測結(jié)果均偏于保守，本文公式獲得的結(jié)果與實(shí)際值最為接近。GB 50010—2010與美國規(guī)范ACI 318—11計(jì)算得到的結(jié)果與實(shí)際值較為接近，歐洲規(guī)范Eurocode 2—03與日本規(guī)范JSCE15計(jì)算結(jié)果誤差較大。

表1 預(yù)測結(jié)果對比表

圖6 規(guī)范承載力預(yù)測值與試驗(yàn)值對比圖

3 結(jié)論

(1)引入鋼筋銷栓作用和鋼筋拉力為變量，基于拋物線形庫侖-莫爾破壞準(zhǔn)則，采用剛塑性破壞模型和虛功原理，建立了沖切承載力計(jì)算模型，并對沖切角、鋼筋應(yīng)變和板彎曲變形傾角等參數(shù)進(jìn)行簡化，使算式可滿足工程計(jì)算需求。通過最小二乘法對公式回歸修正后，結(jié)果與樣本數(shù)據(jù)符合良好。

(2)對比GB 50010—2010、歐洲規(guī)范Eurocode 2—03、美國規(guī)范ACI 318M—11和日本規(guī)范JSCE15，修正后的公式準(zhǔn)確度更高，預(yù)測結(jié)果離散性更小，且有一定的強(qiáng)度儲備，各國規(guī)范計(jì)算結(jié)果均偏于保守，且預(yù)測結(jié)果離散性較大，證明鋼筋銷栓作用和鋼筋拉力對沖切承載力有較大影響。

(3)在推導(dǎo)過程中，本文對破壞時(shí)鋼筋應(yīng)變、沖切角、板彎曲變形傾角等參數(shù)進(jìn)行了基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的取值簡化，其影響因素與計(jì)算關(guān)系有待進(jìn)一步研究。