“指數(shù)、對數(shù)復習”的創(chuàng)新教學設(shè)計

摘 要：復習指數(shù)、對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，創(chuàng)設(shè)有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的教學情境，在教師的引導下探索發(fā)現(xiàn)問題。從學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”開始，使學生體會發(fā)現(xiàn)數(shù)學、學習數(shù)學的方法，提升學生邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：指數(shù);對數(shù);教學設(shè)計

函數(shù)是高中階段數(shù)學的重要知識點，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)又是這部分內(nèi)容的重要組成部分，同時也是學生的難點。而本節(jié)內(nèi)容指數(shù)、對數(shù)是學好指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的前提。它擔負著承上啟下的作用。我們在教學中既使用人教版又借鑒蘇教版。該知識點位于人教版必修一第四章的第一節(jié)和第三節(jié)，同時位于蘇教版必修一第四章。下面我將教學設(shè)計和教學內(nèi)容呈現(xiàn)出來。

“指數(shù)、對數(shù)復習”教學設(shè)計

一、教學目標

（一）掌握根式、指數(shù)冪、對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，厘清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系;

（二）熟練掌握指數(shù)、對數(shù)的運算;

（三）提升學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng)。

二、教學重點與難點

重點：理解指數(shù)與對數(shù)概念的本質(zhì)，掌握研究數(shù)學概念的一般方法;掌握指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的換底公式并能熟練運用;

難點：運用對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式進行求值、化簡。

三、教學思路

自主探究，合作學習，踴躍展示。

四、教學策略

學生先做，教師評講;學生為主體，教師為主導，真正把課堂交給學生。

五、教學流程

（一）課前學生預習，完成例題;

（二）課堂講解，從指數(shù)、對數(shù)的歷史出發(fā)，提升學生對這部分內(nèi)容的興趣;

（三）展示基本運算性質(zhì);

（四）投影學生例題解答結(jié)果，PPT展示變式，學生上黑板完成或在座位上先做，后展示。

所有涉及解題，均以學生為主體。

六、教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，突破認知

數(shù)學史引入。

本章從初中學習的指數(shù)概念出發(fā)，建立了分數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪等概念。以指數(shù)概念為基礎(chǔ)，給出對數(shù)的定義，并研究了指數(shù)運算、對數(shù)運算的相關(guān)性質(zhì)。

一部上百年的數(shù)學發(fā)展史如下：

給學生展示指數(shù)、對數(shù)發(fā)展史。

16世紀的韋達;17世紀的笛卡兒、斯蒂文、牛頓創(chuàng)立了現(xiàn)行的分數(shù)指數(shù)冪、負指數(shù)冪都做過相當大的貢獻。

17世紀的約翰·納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)。

對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立稱為17世紀數(shù)學的三大成就。（引入部分不得超過兩分鐘）

師生活動：

課件形式一一呈現(xiàn)知識點，梳理出知識流程圖，從高的層次回頭看所學的這一章節(jié)內(nèi)容，引導學生探索、發(fā)現(xiàn)知識點間的相互聯(lián)系。同時介紹這些知識點所處的時代、背景、人物，將數(shù)學與歷史結(jié)合，激發(fā)學生的學習興趣。江蘇新高考模式下，情境題目日趨增多，平時教師上課也要向這一題型多多滲透，讓學生熟悉這一種考題。（引出課題）

（二）復習舊知，夯實基礎(chǔ)

1.分數(shù)指數(shù)冪的意義

2.根式的運算性質(zhì)

3.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

練習：計算下列各式

選擇四道典型指數(shù)運算題。

設(shè)計意圖：

根據(jù)學生的作業(yè)和試卷情況，要掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式運算性質(zhì)，熟悉公式的正用和逆用。

通過練習（題目由學生根據(jù)解題時易錯題討論提出，上課時隨機改變），引導學生說出，他們組出這道題所用的運算性質(zhì)和易錯點，加深學生對這部分知識儲備的理解，調(diào)動學生學習興趣。加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數(shù)學抽象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

師生活動：

學生出現(xiàn)的情況往往是知識點很熟，但應(yīng)用起來：1.解題速度慢;2.計算有問題。根據(jù)學生易犯的錯誤，教師在教學中應(yīng)該強調(diào)，底數(shù)轉(zhuǎn)化為大于0。轉(zhuǎn)化為同底運算，指數(shù)式乘除，冪相加減。轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想用的較多。

4.對數(shù)的概念

5.對數(shù)的運算性質(zhì)

練習：計算下列各式的值

選擇四道對數(shù)計算題。

設(shè)計意圖：

根據(jù)學生的作業(yè)和試卷情況，要掌握對數(shù)運算性質(zhì)，熟悉公式的正用和逆用。

通過練習（題目由學生根據(jù)解題時易錯題討論提出，上課時隨機改變），引導學生說出，他們組出這道題所用的運算性質(zhì)和易錯點，加深學生對這部分知識儲備的理解，調(diào)動學生學習興趣。加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數(shù)學抽象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡與求值的原則

1.正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理;

2.選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行。

師生活動：

對數(shù)這一知識點與指數(shù)這個知識點，對學生而言，是個相對陌生的內(nèi)容。但對數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化而來，要讓學生明白相同的參數(shù)在指數(shù)與對數(shù)中的位置與聯(lián)系。另外，對數(shù)運算其實是更高級的運算，它讓乘法降維成加法，讓除法降維成減法，讓乘方降維成幾個數(shù)的和。有條件的班級還可以證明對數(shù)的某一運算性質(zhì)，讓學生進一步感受和理解指數(shù)與對數(shù)互化的運算魅力。指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化亦是部分同學的難點[1]。

（三）聚焦考點，攻克難點

典型題，判斷下列結(jié)論正確與否：（題目可以挑選學生的錯題或者易錯點）

設(shè)計意圖：

這類題型，通過學生的易錯題，既可以考查學生前面的學習情況，又可以借助這道題復習本章根式、對數(shù)的概念和運算性質(zhì)：次方根;根式;根式的性質(zhì);對數(shù)的運算公式;對數(shù)恒等式;換底公式等，還可以順帶復習常用邏輯用語中的充分條件、必要條件、充要條件。

師生活動：

題目如果有難度，對一部分學生而言有點困難。對知識儲備夠的班級，我們可以選擇這個題型。講透講細，學生受益匪淺。但是對于基礎(chǔ)薄弱的同學而言，可以簡單地出幾道運算，讓他們判斷正確與否。

例1：計算下列各式。

選擇兩題指對數(shù)運算題型

設(shè)計意圖：

該題可由學生討論思考后自己出題，教師在巡察過程中引導，其他同學解題，出題者指出該題的易錯點或者所用知識點。不僅僅要學會做題還要學會總結(jié)在計算過程中易錯點和所用的指數(shù)、對數(shù)的概念和運算性質(zhì)。新教材將“指數(shù)與對數(shù)”從“指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)”中剝離，所以我們更要加強學生運算能力的培養(yǎng)，保持運算的獨立性。這是本節(jié)課的重難點。

師生活動：

不要把學生這些知識點掌握想象得有多好。由于教學進度的緣故，一部分同學錯漏百出，教師在讓學生指出自己的錯誤或者他認為的易錯點之后，教師還應(yīng)歸納總結(jié)，由點到面，細致到位。平時讓學生養(yǎng)成自習時間整理錯題的習慣。計算問題，時間久不易改，是其一大特點，我們更要一點一滴平時積累。水滴石穿，終會提高。

在學生出的題中選一道數(shù)據(jù)恰當?shù)念}，由老師改編，引出下面聯(lián)等式求解的題型，也是這份教學設(shè)計的例2。

聯(lián)等題型很多，可挑選一道典型題，然后進行變形，這個過程教師應(yīng)利用問題串、設(shè)問等方式引導學生給出變式題。

變式題不僅僅是填空題、或者計算大題，還可以改寫為雙空題、選擇題、多選題。逐步增加難度，靈活改變題型。無論是高考，還是平時的解題過程中，應(yīng)該讓學生了解出題者的意圖，上課逐步讓學生變形，既激發(fā)學生學習興趣，同時又鍛煉他們的解題能力，加深對知識點的理解，提升數(shù)學素養(yǎng)。

設(shè)計意圖：

培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化化歸能力、推理論證能力及運算能力。聯(lián)等式這個知識點涉及指數(shù)與對數(shù)的互換，以及它們的運算法則。部分題目應(yīng)用隱參消元的方法，對學生的邏輯思維和計算能力要求較高，針對性的練習有助于學生對這部分知識的理解。變式的題目也均由學生思考提出，加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數(shù)學抽象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

師生活動：

這幾道題難度逐漸增大，又環(huán)環(huán)遞進，是學生的難點。教學過程中應(yīng)該通過轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，不斷減元，將復雜的題型變成一開始學生熟悉的模樣。同時，換底公式的應(yīng)用，對于部分學生而言，也是不小的挑戰(zhàn)。教學過程中，除了思維的引導，知識點的細節(jié)處理要到位。江蘇高考答題規(guī)范很重要。

例3選擇典型的指數(shù)、對數(shù)背景下的情境題。

師生活動：

學生出現(xiàn)的情況是：一部分同學讀不懂題意，不會列式;一部分同學不會運算。

針對第一種講解時強調(diào)審題讀題，往往采用第一遍瀏覽、泛讀題目，第二遍精讀題干，第三遍結(jié)合知識點精讀題干;同時指對數(shù)的數(shù)據(jù)模型要講解到位，讓學生做到看到題目很親切，減少逃避的想法。

另一部分同學，板演運算過程，對計算技巧與細節(jié)，計算性質(zhì)的應(yīng)用，全部要講解到位。有條件的班級可以出類似的題目，加以鞏固。另外此類題型因為考查學生的數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)，往往給出參考數(shù)據(jù)，一方面要求學生解題具有目標意識，引用參考數(shù)據(jù);同時要提醒學生辨別偽數(shù)據(jù)。

情境題是這幾年新高考的熱點也是難點，學生要會用數(shù)學的眼光看世界，數(shù)學抽象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)絕不是一蹴而就的，它們滲透到平時學習的方方面面。教師在教學中，首先應(yīng)該分清這是何種數(shù)學核心素養(yǎng)，然后再引導學生，提升他們的素養(yǎng)，增強他們的數(shù)學能力。

【強調(diào)認真讀題，情境性題目已經(jīng)成為今后的常態(tài)，要培養(yǎng)學生敢想、敢算的精神，克服心理上的恐懼心理。】

（四）歸納小結(jié)，提升素養(yǎng)

[歸納提升]

1.應(yīng)用指數(shù)、對數(shù)運算性質(zhì)應(yīng)注意的事項

（1）注意公式的正用、逆用和變形應(yīng)用;

（2）題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時，要注意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式，注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用;

思路一：用運算法則及性質(zhì)進行部分運算—換成同一底數(shù);

思路二：一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)（或自然對數(shù)）—化簡、通分、求值。

2.求值問題要注意觀察所給數(shù)字特征，分析找到實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的共同點進行轉(zhuǎn)化;

3.解含對數(shù)式的方程注意點：

（1）掌握運算性質(zhì);

（2）對數(shù)中底數(shù)、真數(shù)的范圍限制。

設(shè)計意圖：

最后的歸納小結(jié)，在平時的授課中往往容易忽略，但卻是教學過程中必不可少的一部分。教師引導學生對本節(jié)知識點進行歸納總結(jié)同時進行升華，有以下三點作用：

一是可以給學生本節(jié)課整體印象，對前段時間的學習內(nèi)容進行知識梳理，加深知識點間的區(qū)別與聯(lián)系，形成指數(shù)與對數(shù)的結(jié)構(gòu)框架，以及對指數(shù)、對數(shù)的應(yīng)用更加得心應(yīng)手。總結(jié)過程中并不是按授課順序讀板演的內(nèi)容。此時要根據(jù)教學目標和新課程標準，從解題技巧、數(shù)學思想、數(shù)學核心思想等方面進行升華，從而提高學生相應(yīng)的能力，培養(yǎng)相應(yīng)的素養(yǎng);

二是歸納小結(jié)是學生對指數(shù)、對數(shù)的反思探索，最有效地感受本節(jié)課的重點、難點、易錯點、知識技巧和規(guī)律。掌握了重難點，學生可以發(fā)現(xiàn)考查內(nèi)容，明白出題者的意圖;掌握了易錯點，可以避免入指數(shù)、對數(shù)運算的坑，掌握了知識技巧和規(guī)律，可以舉一反三，靈活運用本節(jié)課中的思想和方法;

三是學生可以對今天的單元小結(jié)進行復習。高中數(shù)學難度大、任務(wù)重、進度快，適當?shù)刂貜秃头此?，可以讓學生加深對本節(jié)內(nèi)容的記憶，鞏固指數(shù)、對數(shù)運算這些知識點，去繁留簡。

只有加深對基礎(chǔ)知識的復習鞏固，才能學好本節(jié)知識點，高效掌握它們。

師生活動：

由學生回憶本課所學，歸納闡述今日所學;同時教師從重難點、數(shù)學思想、方法、解題技巧、易錯點等方面引導。教師還應(yīng)該將學生的總結(jié)進行歸納升華，絕不能只是按上課順序單純地給出上課內(nèi)容，學生應(yīng)該有獨特的或者本節(jié)教學目標的見解。

教學設(shè)計創(chuàng)新點

高中數(shù)學教學活動的設(shè)計，要樹立以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向的教學意識，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學教學活動的全過程。要創(chuàng)設(shè)有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的教學情境，在教師的引導下探索發(fā)現(xiàn)問題;并通過類比、歸納，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，感悟數(shù)學思想方法，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

從學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”開始，使學生體會發(fā)現(xiàn)數(shù)學、學習數(shù)學的方法，提升學生邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)。學生會感受到公式的復習和應(yīng)用中對數(shù)運算是更高級的運算，逐漸形成知識體系，建立知識點流程圖。教學評價中建立教學結(jié)構(gòu)，既要引導學生培養(yǎng)將抽象的概念轉(zhuǎn)化為理解概念、解決問題的能力，又要將新舊知識點建立聯(lián)系。

培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化化歸能力、推理論證能力及運算能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，其中聯(lián)等式這個知識點涉及指數(shù)與對數(shù)的互換，以及它們的運算法則。部分題目應(yīng)用隱參消元的方法，對學生的邏輯思維和計算能力要求較高，針對性地練習有助于學生對這部分知識的理解。變式的題目也均由學生思考提出，加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)處理核心素養(yǎng)。

授課過程中引入數(shù)學史，激發(fā)學生的學習興趣，拓展眼界;采用多元方式，讓大部分同學能積極參與學習活動;例2的出現(xiàn)，以及變式的出現(xiàn)需要應(yīng)用發(fā)問技巧，提出的問題要符合學生的認知水平，同時維持了同學們的學習動機。例3這道應(yīng)用題，是學生的難點，教師需要鼓勵和引發(fā)學生的提問或者質(zhì)疑。

結(jié)束語

本節(jié)課課題是2020年南通市數(shù)學優(yōu)秀課評比指定課題，立德樹人，立足課堂是授課宗旨。授課內(nèi)容應(yīng)適應(yīng)授課群體隨時調(diào)整，但要緊緊圍繞著指數(shù)與對數(shù)運算性質(zhì)來剖析知識點，攻克學生思維難點，加深大家對這一知識的理解和感受，從更高緯度感受數(shù)學之美。

參考文獻

[1]祝維男.素養(yǎng)導向下主題單元復習的教學設(shè)計：以《指數(shù)與對數(shù)單元復習課》為例[J].中學數(shù)學，2021（17）：19-20，25.

作者簡介：許陳（1986— ），女，漢族，江蘇海安人，江蘇省海安高級中學，中學一級，碩士。研究方向：數(shù)學教學。