實二維賦范空間到l1 的幾乎等距嵌入

史秀英，王日生

（1.赤峰學院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.南開大學 數(shù)學科學學院，天津 300071）

本文的目的是研究一般實二維賦范空間到l1的幾乎等距嵌入問題。

設(shè)X、Y 為兩個賦范空間，我們稱X 可以（1+ε）-嵌入Y 是指存在X 到Y(jié) 的（某）子空間U 上的線性同構(gòu)T，使得||T||·||T-1||≤1+ε。當ε=0 時，就是X可等距嵌入Y。如果對任意的ε＞0，X 可（1+ε）-嵌入Y，則稱X 可幾乎等距嵌入Y。

在本文的§1 節(jié)中我們得到了關(guān)于平面上凸多邊形的兩個定理；在§2 節(jié)中我們證明了任意實二維賦范空間都可幾乎等距嵌入l1。

本文中的賦范空間X 均指實空間，B（X）={x∈X：||x||≤1}，S（X）＝{x∈X：||x||=1}。

§1 平面上凸多邊形的一些性質(zhì)

設(shè)X 為任一給定的實二維賦范空間，X=（R2，||·||），則X*有唯一表示X*=（R2，||·||*） 使得對?f=(a,b)∈X*，x=(s,t)∈X，有f(x)=as+bt。

容易知道x|→ψ（x)為X 到X*上的線性同胚，并且

（?。?x∈X，ψ(x)(x)=0；ψ(x)(y)=0?x,y 相關(guān)。

（ⅱ）?x，y∈X,ψ(x)(y)=-ψ(y)(x)。

在后面的討論中，當涉及到的X 是實二維賦范空間時，我們都假設(shè)取定了它的一種表示，因此ψ 也就跟著確定了。

定義1.1設(shè)X 為實二維賦范空間，對任意的x1,x2,…,xn∈X，定義n 階方陣

下面舉例說明，上述定義的方陣與我們感興趣的幾乎等距嵌入有著密切聯(lián)系。

例設(shè)X 為實二維賦范空間，extB(X)={x1,x2,…,xn}有限（即B（X）為凸多邊形），則X 可等距嵌入l1?關(guān)于t1,…,tn的方程組：n 有非負解（即t1≥0，t2≥0，…，tn≥0）。

驗利用下面三個事實：（1）?x∈S(X)，?y,z∈extB(X)使得x∈[y,z]?S(X)。（2）?x,y,z∈extB(X)，[y,z]?S(X),有ψ(x)(y)和ψ(x)(z)同號。（3）ψ 為X 到X*上的線性映射。

定義1.2設(shè)X 為實二維賦范空間，n≥2，x1,…,xn∈X，如果CO{±x1，±x2，…，±xn}構(gòu)成X 中的一個“非平凡”（即多于一點）的凸2n 邊形，則稱x1,x2,…,xn滿足條件（W）。

由定義1.2 易見，當x1,…,xn∈X（n≥2）滿足條件（W）時，x1,…,xn必兩兩線性無關(guān)且對任意1≤i1＜i2＜…＜ik(k≥2)，xi1,xi2,…,xik也滿足條件（W）。

定理1.1設(shè)X 為實二維賦范空間，n≥2，如果x1,x2,…,xn∈X 滿足條件（W），則n 階方陣W（x1,x2,…,xn）可逆。

證明因為對任意（12…n）的重排列（i1,i2,…,in）我們有detW(±xi1，±xi2，…，±xin)=detW(x1,…,xn)，所以我們不妨設(shè)x1,x2,…,xn都在上半平面X+={x=(a,b)∈X：b≥0}并且它們（作為復(fù)平面上的點）的幅角按單增順序排列。因此，對任意1≤i＜j≤n 有

我們對n 進行歸納。n=2，3 時，經(jīng)直接計算可知detW(x1,x2)=-|ψ(x1)(x2)|2≠0 和detW(x1,x2,x3)=2|ψ(x1)(x2)·ψ(x2)(x3)·ψ(x3)(x1)|≠0。

現(xiàn)假設(shè)n≥3，對?y1,y2,…,yk∈X 滿足條件（W）（1＜k≤n)有detW(y1,y2,…,yk)≠0。

設(shè)x1,x2,…,xn+1∈X 滿足條件（W）?？紤](n+1)階行列式：

（其中（s,t)=x∈X)顯然f(s,t)為關(guān)于s,t 的（最高）二次多項式，可設(shè)

把第二行加到第(n+1)行，把第2 列加到第(n+1)列并注意到-ψ(x1)(x2)=ψ(x2)(x1)=|ψ(x1)(x2)|，ψ(x2)(x2)=0 及-ψ(xi)(x2)=ψ(x2)(xi)=-|ψ(x2)(xi)|(i=3,4,…,n）我們有

所以f(s,t)=As2+2Bst+Ct2?0，從而f(x)=0 有且僅有兩條直線的解：span{x1}∪span{xn}。當x?span{x1}∪span{xn}時，有f(x)≠0，特別由xn+1?span{x1}∪span{xn}得f(xn+1)=detW(x1,…,xn+1)≠0。

根據(jù)歸納法原理，定理結(jié)論成立。

定理1.2設(shè)X 為實二維賦范空間，n≥2，如果x1,x2,…,xn∈X 滿足條件（W），則方程組（An）：|ψ(xi)(xj)|tj=1，i=1,2,…,n 有正解（即t1＞0,…,tn＞0）以及對任意x∈X 方程組(Bn)：…,n 有非負解。

證明我們對n 歸納來證明之，分四步來完成。

Ⅰ.n=2 的情形。因為

Ⅱ.假設(shè)對n（≥2）有：?x1,…,xn∈X 滿足條件（W），方程組（An）有正解及方程組（Bn）有非負解。

Ⅲ.證明對于滿足條件（W）的x1,x2,…,xn+1∈X方程組（An）有正解。由定理1.1 存在α1,α2,…,αn+1∈R′使得對?i=1,2,…,n+1 有

我們斷言αj＞0，?j=1,2,…，n+1。假若不然，存在αj≤0，不妨設(shè)αn+1≤0。因為x1,…,xn也滿足條件（W），由Ⅱ的假設(shè)?β1＞0,…,βn＞0，使得對?i=1,2,…,n 有

（2）式減（3）式并移項得：?i=1,2,…，n 有

不難證明X1=（X，||·||1）的單位球B（X1）=CO{±x1,±x2,…,±xn}，而由（2）（3）和（5）式得：

所以xn+1∈B（X1）=CO{±x1，±x2，…，±xn},這與x1,x2,…,xn+1滿足條件（W）相矛盾。故我們的斷言成立，方程組（An+1）有正解。

Ⅳ.設(shè)x1,x2,…,xn+1滿足條件（W），由Ⅲ存在正數(shù)α1,α2,…,αn+1使得

考慮新的賦范空間X1=（X，p），其中

并且extB(X1)={±x1,±x2,…,±xn+1}。當x=θ 時，方程組（Bn+1）只有零解。當x≠θ 時，由于方程組（Bn+1）有非負解的充要條件為：?r＞0，方程組|ψ(xi)(xj)|tj=|ψ(xi)(rx)|，i=1,2,…,n+1，有非負解。我們不妨設(shè)p(x)=1，從而存在ε1xi1，ε2xi2∈extB(X1)使得x∈[ε1xi1，ε2xi2]?S(X1)，為方便計，我們設(shè)ε1xi1=x1,ε2xi2=x2及x=λx1+(1-λ)x2(0≤λ≤1)。

設(shè)β1,β2,…,βn+1為方程組（Bn+1）的解。因為ψ(xi)(x1)與ψ(xi)(x2)同號，所以?1≤i≤n+1，

因此，我們證明了?x∈X，方程組（Bn+1)有非負解。

最后由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和歸納法原理知定理結(jié)論成立。

推論設(shè)X 為實二維賦范空間，extB(X)有限，則X 可等距離嵌入l1。

證明設(shè)extB(X)={±x1，±x2，…，±xn}，x1，…，xn兩兩線性無關(guān)，則x1,…,xn滿足條件（W）。設(shè)α1，α2，…，αn為方程組（An）的正解（定理1.2），則T=（α1ψ（x1），α2ψ（x2），…，αnψ（xn），0，0，…）為X 到l1中的等距線性算子。

§2 實二維賦范到l1 的幾乎等距嵌入

設(shè)X 為一個賦范空間，V 為其中一個閉凸集，從幾何直觀上看對稱差B（X）ΔV 是X 中的一個“殼”，為此我們引入“厚度”的定義。

定義2.1設(shè)X 為賦范空間，V?X 為閉凸集，則稱sup{|||x||-1|：x∈B（X）ΔV}（當B（X）ΔV=? 時，令sup?=0）為B（X）ΔV 的厚度，記為h（B（X）ΔV）。

引理設(shè)X 為有限維賦范空間，則存在只與X有關(guān)的函數(shù)δ（·）：，使得?ε＞0，當A?B（X）為extB（X）的ε-網(wǎng)時恒有h（B。

證明假如引理結(jié)論不成立，則有在正數(shù)δ0＞0及An?B（X）使得An為extB（X）的εn一網(wǎng)，0，但h（B（X）ΔCO（An））＞2δ0。記Vn=CO（An）。注意到h（B（X）ΔVn）=sup{|||x||-1|；x∈?Vn}，存在yn∈?Vn使|||yn||-1|＞δ0，?n∈N。因為{yn}∞n=1?B（X），后者為一列緊集，通過取子列我們不妨設(shè)yn→y0∈B（X），∴|||yn||-1|≥δ0，||y0||≤1-δ0＜1。

取extB(X)的有限子集F={x1,x2,…,xk}使得y0∈int(CO(F))，設(shè)Br(y0)={y∈X：||y-y0||≤r}?int(CO(F)）(r＞0)。由假設(shè)?zin∈An使||zin-xi||≤εn，i=1,2,…，k。因為，所以當n 充分大時有yn∈intBr(y0)?Br(y0)?int(CO{z1n,z2n,…,zkn})?int(Vn)，這顯然與yn∈?Vn矛盾。

證畢。

定理任意實二維賦范空間X 都可幾乎等嵌入l1。

證明設(shè)X=（R2，||·||），X+={(a,b)∈X：b≥0}表示上半平面。?ε∈(0,1)，取extB(X)∩X+的有限ε-網(wǎng){x1,x2,…,xn}（設(shè)n≥2，x1,x2,…,xn互異），則x1,x2,…,xn滿足條件（W），由定理1.2 存在正數(shù)α1,α2,…,αn使得

對?x∈X，令Tε(x)=（α1ψ（x1）（x），α2ψ（x2）（x），…，αnψ（xn）（x），0，0，…）∈l1，則Tε=（α1ψ（x1），α2ψ（x2），…，αnψ（xn），0，0，…）為X 到l1的有界線性算子并且V（Tε）={x∈X：||Tε(x)||≤1}=CO{±x1，±x2，…，±xn}?B(X)。因為{±x1，±x2，…，±xn}為extB(X)的ε-網(wǎng)，由引理知h（B（X）ΔV（Tε））≤δ(ε)（δ(ε)同引理）。設(shè)x∈?V（Tε）={x∈X：||Tε(x)||=1}（設(shè)δ(ε)＜1）有|||x||-1|≤δ(ε)。故

∴ （1-δ(ε)）||Tε(x)||≤||x||≤(1+δ(ε))||Tε(x)||，?x∈X。

∴ ||Tε||·||Tε-1||≤（1+δ(ε)）/（1-δ(ε)）。

證畢。

對于實二維賦范空間到l1的等距嵌入問題還沒有徹底解決，本文的結(jié)果將有助于研究實二維賦范空間到l1的等距逼近問題[1]。