構建指向核心素養(yǎng)的T型課堂
——以“等比數(shù)列的前n項和公式”新授課為例

吳時月

(溫州中學，浙江 溫州 325000)

數(shù)學核心素養(yǎng)是落實立德樹人根本任務的具體體現(xiàn),不僅要求學生通過課程掌握數(shù)學基礎知識和基本技能,還要求學生學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的方法并形成相應的能力,更要求學生由此學會數(shù)學獨特的學科思維,體會數(shù)學背后重要的學科精神,形成積極的情感、態(tài)度與價值觀[1].

數(shù)學核心素養(yǎng)的獨特內涵及其形成機制對數(shù)學教與學提出了新要求.數(shù)學核心素養(yǎng)無法直接教,而需要基于知識學習,通過潛移默化地涵養(yǎng)、熏陶才能形成.因此,需要實施深度學習,使數(shù)學學習不僅停留在數(shù)學概念、命題的知識表層,而且要深入了解數(shù)學知識學習所需要的數(shù)學方法、思維和思想,并挖掘出數(shù)學知識所蘊涵的數(shù)學精神與文化價值.

通過構建與深度學習相匹配的“T”型課堂[2]，引導學生重構知識關聯(lián)、優(yōu)化方法選擇以實現(xiàn)學科素養(yǎng)的提升.接下來，筆者以等比數(shù)列的前n項和公式(新授課)為載體，構建素養(yǎng)化的T型課堂.

1 教學過程

1.1 類比知識，預設問題

前面已經學過等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、常用性質等，通過填表1中ABCDE這5處的內容,感受等差和等比數(shù)列的異同點.

表1 等差和等比數(shù)列的異同點

設計意圖由表1可以發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列在定義、通項公式、常用性質等方面具有如下的“對偶關系”：只要將等差數(shù)列的一個關系式中的運算“+”替換成“×”，“-”替換成“÷”，整數(shù)倍類比成指數(shù)冪，即可得到等比數(shù)列的一個結構類似的式子，反之也成立.類比等差數(shù)列前n項和公式的推導方法，能否用倒序相加法來求等比數(shù)列的前n項和？引導學生發(fā)現(xiàn)等差和等比數(shù)列的異同點,并由此引發(fā)學生的認知沖突，為等比數(shù)列求和公式的推導埋下伏筆，通過歸納、類比推理，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.

1.2 創(chuàng)設情境，提出問題

情境1[3]國際象棋起源于古印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放1粒麥粒，第2個格子里放2粒麥粒，第3個格子里放4粒麥?！源祟愅?，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直至第64個格子．請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”已知1 000顆麥粒的重量約為40克，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請同學們給出判斷：國王是否能實現(xiàn)他的諾言？

設計意圖通過緊扣本節(jié)課主題的經典故事來引出課題，讓學生在感受數(shù)學文化魅力的同時，開闊數(shù)學視野,提高數(shù)學的認同感.學生根據(jù)已掌握的知識建立起等比數(shù)列求和的模型，借此給出學習等比數(shù)列求和方法的必要性，同時培養(yǎng)了學生的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)處理等核心素養(yǎng).

1.3 搭建平臺，探究問題

問題1S64=1+2+4+8+…+262+263的結果是多少？怎么求？

生1：S1=1，S2=3，S3=7，S4=15，…,猜想：Sn=2n-1.

生2：1+S64=(1+1)+2+4+8+…+262+263=(2+2)+4+8+…+262+263=…=263+263=264,

從而

S64=264-1,

估算

S64=264-1=16×(210)6-1=16×1 0246-1>1.6×1019，

1.6×1019÷1 000×40×10-6=6.4×1011.

于是，國王要給發(fā)明者的小麥超過6 400億噸，國王無法實現(xiàn)自己的諾言！

以上解決問題1的方法是否為通法，是否適用于一般的等比數(shù)列求和？

問題2怎么求Sn=1+3+9+27+…+3n-2+3n-1？結果會是3n-1嗎？

設計意圖教師通過由易到難的情境激起了學生的求知欲，為驗證猜測的結果是否正確、驅動學生主動去尋求解決問題的新方法埋下伏筆.

問題3問題1和問題2中的和式結構有何相似之處，能推廣到Sn=1+q+q2+q3+…+qn-2+qn-1嗎？

(q-1)(1+q+q2+q3+…+qn-2+qn-1)=qn-1.

設計意圖在問題的關鍵處一定要慢下來，讓學生自己去探索并體驗知識的形成過程、問題的解決過程.通過學生的自主思考突破難點，有助于改進學生的認識結構，提高學生的問題解決能力.上述求和，看似煩瑣，實際上是源于平方差、立方差公式的一般化.由問題1和問題2中的和式在結構上的相似性“類比”出一般的結論，再通過嚴謹?shù)恼撟C確認猜想的正確性，這也是處理數(shù)學問題的常用策略之一，值得師生深入體會.

問題4設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q，請用基本量a1,q，n表示數(shù)列{an}的前n項和Sn.

生5：當q≠1時，

當q=1時，Sn=na1.

設計意圖借助原有的知識儲備來完成等比數(shù)列前n項和公式的初步推導，取得了階段性的成果，既突破了本節(jié)課的教學難點，又為后續(xù)的錯位相減法的引入做好鋪墊.通過對等比數(shù)列求和公比的分類處理，也讓學生的思維變得更加嚴謹．

問題5能否不用問題3中的結論,直接推導出等比數(shù)列的前n項和公式？

回味(q-1)(1+q+q2+q3+…+qn-2+qn-1)=qn-1的證明過程，有何啟發(fā)？

(q-1)(1+q+q2+q3+…+qn-2+qn-1)=q(1+q1+q2+…+qn-3+qn-2+qn-1)-(1+q+q2+q3+…+qn-2+qn-1)

=(q+q2+q3+…+qn-2+qn-1+qn)

(1)

-(1+q+q2+q3+…+qn-2+qn-1)

(2)

=qn-1.

設計意圖事實上，式(1)與式(2)剛好相差了-q倍，將式(2)的各項位置進行重排，與式(1)中的對應項對齊，兩式相減，剛好消去公共項，起到了“錯位、相消”的效果.通過對先前問題、方法和過程的再回味，錯位相減法呼之欲出.

生6：受上述結構的啟發(fā)，嘗試如下：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,

(3)

式(3)的兩邊乘以q，得

Sn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn,

從而

(1-q)Sn=a1-a1qn.

設計意圖深度學習下的數(shù)學課堂既要有教師的引導,更要有學生的自主探索與合作交流，讓學生在數(shù)學問題中成長，形成必備的數(shù)學能力與素養(yǎng).等比數(shù)列前n項和公式的推導關鍵在于變“加”為“減”，將式(3)兩邊乘以q，充分利用等比數(shù)列項之間的特點an=qan-1，再通過“錯位”排列，進行兩式“相減”，從而解決問題.在教師看來這是“天經地義”的，但學生是第一次接觸，不容易想到，教學中應著力在此處下功夫.借助問題3,引出問題5,讓錯位相減法的現(xiàn)身變得更加自然，也突破了本節(jié)課的教學難點和重點.

(4)

生8：式(3)的兩邊乘以q2，得

q2Sn=a1q2+a1q3+a1q4+…+a1qn-1+a1qn+a1qn+1,

(5)

式(3)-式(5)，得

(1-q2)Sn=a1+a1q-a1qn-a1qn+1=a1(1-qn)+a1q(1-qn).

1.4 切換視角，破解問題

是否還有其他方法可以推導等比數(shù)列前n項和公式？接下來，以小組為單位展開討論，并派代表呈現(xiàn)各組的想法.

組1：當q≠1時，

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1,

即

Sn=a1+q(Sn-an),

評注早在公元前3000年，萊茵德數(shù)學紙草書上就已經出現(xiàn)了此算法.

組2：根據(jù)等比數(shù)列的定義，知

即

Sn=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),

評注通過查閱資料，發(fā)現(xiàn)古希臘數(shù)學名著《幾何原本》中就是利用等差比定理推導等比數(shù)列的前n項和公式.

設計意圖學生以小組為單位展開討論，以疑導思，通過不同推導方法的研究，可以使學生從不同的思維角度掌握等比數(shù)列前n項和公式．以上兩種方法都是基于等式的變形，轉化為遞推式Sn=a1+qSn-1進行整體求解，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有積極的促進作用.同時，通過介紹數(shù)學史知識讓學生感受到了數(shù)學文化的魅力，可進一步激發(fā)學生的探究熱情.

1.5 應用公式，解決問題

課堂練習1已知a1,q,n,an,Sn這5個量中的3個,求另外兩個.

1)已知a1=8,q=0.5,an=0.5,求n,Sn;

2)已知q=-2,n=5,Sn=44,求a1,an;

3)已知a1=1.5,n=3,Sn=4.5,求q,an.

課堂練習2已知等比數(shù)列{an}的首項a1=1，公比q=-2，求a6+a7+…+a10.

變式1已知等比數(shù)列{an}的首項a1=1，公比q=-2，求a2+a4+a6+a8+a10.

變式3[3]已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，前n項和為Sn，證明：Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.

設計意圖將課本中的例題融入變式題組，借助一題多變、一題多解，提高思維的靈活性和梯度,培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維．

2)在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上格子序號的2倍的麥粒，在第3個格子里放上格子序號的22倍的麥粒，在第4個格子里放上格子序號的23倍的麥粒，依次類推，在第n個格子里放上格子序號的2n-1倍的麥粒．試給出足夠的麥粒來實現(xiàn)上述要求．

設計意圖本環(huán)節(jié)采用彈性的教學設計，根據(jù)上課的實際情況來決定是在課堂上解決此題還是由學生進行課后探索，更大限度地提高課堂教學的針對性、實效性、靈活性.第1)小題看似復雜，實則考查等比數(shù)列的求和公式，亦可從因式分解的角度切入，前后呼應，通過抽象的字母運算培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算能力.第2)小題是先前應用題的深入探究，通過建立數(shù)學模型可轉化為:已知an=n,bn=2n-1,求數(shù)列{anbn}的前n和的問題.該題可引導學生思考：錯位相減法適用于具有哪些特征的數(shù)列求和,以及錯位相減法解題的基本步驟、關鍵所在，進一步揭示錯位相減法的本質.

1.6 回味課堂，審視問題

通過板書歸納、梳理本節(jié)課的主體結構與思想方法(略).

設計意圖教師讓學生經過思考、類比、討論、總結，回味知識與方法的形成過程.等差數(shù)列求和的方法是倒序相加法，它的本質是整體設元，構造等式，利用方程的思想化繁為簡，把不易求和的問題轉化為易于求和的問題．而等比數(shù)列求和可以借助錯位相減法,它的本質在于構造的式子能和原式相減、且相消后剩余的項較少，較易計算，體現(xiàn)求和的實質是簡化項.

2 教學反思

2.1 課堂教學素養(yǎng)化

課堂的情境創(chuàng)設與探究設計都要以學生為主體、教師為主導,建構基于學生發(fā)展的知識體系,引導學生主動思考.只有讓學生經歷問題的產生、發(fā)展與解決以及知識的發(fā)生、形成過程，才能形成必備的數(shù)學核心素養(yǎng).從特殊的等比數(shù)列入手，發(fā)現(xiàn)一般的等比數(shù)列求和的結構特征，得到等比數(shù)列的求和公式，再應用公式解決相應問題，重構認知關聯(lián)，讓學生經歷“知識理解—知識聯(lián)系—知識應用”的結構化學習.通過分析因式分解(平方差、立方差公式的一般化)的式子的結構特點，引出等比數(shù)列求和的錯位相減法，再結合等比數(shù)列的性質從遞推關系的角度給出等比數(shù)列求和的整體解法，重構方法路徑，讓學生經歷“自我喚醒—自主探究—自覺重構”的自主化學習.利用數(shù)學史上的經典故事引出課題，借助數(shù)據(jù)來嚴謹分析問題，再結合數(shù)學史中等比數(shù)列求和的經典求法，拓展數(shù)學文化，重構育人價值，讓學生經歷“認知樂趣—思維理趣—聯(lián)想情趣”的人格化學習.在T型課堂中開展深度教學，實現(xiàn)價值重構，素養(yǎng)提升.

2.2 問題探究數(shù)學化

“數(shù)學化”思想是一種由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過程，是從一個問題開始，由實際問題到數(shù)學問題、由具體問題到抽象概念、由解決問題到進一步應用的全教育過程.從已學的等差數(shù)列及其求和公式入手，類比與探索等比數(shù)列的性質及其求和方法，讓學生的思維在問題的解決過程中得到不斷的提升.數(shù)學化既要生成生活與數(shù)學的聯(lián)系，又要建立起抽象的數(shù)學知識之間的聯(lián)系.通過課內等比數(shù)列求和方法的探索及課外知識的拓展，讓學生在數(shù)學文化中感知問題的前世今生，學會用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界，使數(shù)學思想方法貫穿于學生核心素養(yǎng)提升的全過程.