Hayward黑洞的李雅普諾夫指數(shù)與混沌邊界的研究

張是浩，程 龍

(浙江理工大學理學院，浙江 杭州 310018)

隨著非線性動力學的發(fā)展，在初值敏感的動力學系統(tǒng)研究中發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.混沌是運動學中的不穩(wěn)定現(xiàn)象，其不穩(wěn)定體現(xiàn)在相軌道隨時間演化以指數(shù)速率分離上.混沌現(xiàn)象具有與線性動力系統(tǒng)不同的特性，在數(shù)學、氣象學、生態(tài)學、經濟學等領域引起了廣泛的關注.黑洞是引力理論的研究對象之一，并且是量子熱力學系統(tǒng)，該系統(tǒng)被認為具有混沌現(xiàn)象，如特定的黑洞與特定的粒子形成的系統(tǒng)，粒子軌道將會出現(xiàn)混沌[1-2].

全息對偶領域中引力全息原理表明，在給定的體空間中，例如反德西特(antide sitter,AdS)時空，用引力理論描述一個系統(tǒng)，再在此空間的邊界上用一個共形場論去描述同一個系統(tǒng)，兩者是等價的.Maldacena、Shenker等[3-5]在該理論的框架下發(fā)現(xiàn)了Maldacena-Shenker-Stanford(MSS)邊界，即衡量量子多體系統(tǒng)的混沌的李雅普諾夫指數(shù)不能大于系統(tǒng)中黑洞的表面引力.由于該結論是在邊界上使用量子場論語言得出的，為了驗證各種黑洞的混沌是否滿足MSS邊界，近年來的研究致力于在體空間中用引力理論對其進行檢驗[6-11].

已有研究表明，黑洞自身攜帶的角動量以及特殊的混沌源會導致對MSS邊界的違反，即求得的李雅普諾夫指數(shù)大于黑洞的表面引力.如Hashimoto等[6]研究了靜止球對稱黑洞系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，并且指出此類黑洞在高自旋力下會出現(xiàn)違反MSS邊界的情況.Dalui等[7]研究了無質量和無電荷粒子在球對稱黑洞和穩(wěn)態(tài)軸對稱黑洞的近視界區(qū)域運動的混沌現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)旋轉黑洞會導致混沌現(xiàn)象更加明顯.Zhao等[8]研究了帶電球對稱黑洞，以及帶有宇宙常數(shù)的帶電球對稱黑洞，發(fā)現(xiàn)了宇宙常數(shù)導致對MSS邊界的違反.Lei等[9]使用粒子徑向動量與復雜度的對偶關系來研究AdS黑洞.Kan等[10]研究了四維時空中的旋轉帶電黑洞，得出了黑洞攜帶的角動量會導致對MSS邊界的違反.Giataganas[11]證明了黑洞的李雅普諾夫指數(shù)在最大混沌處和宇宙學視界間是等價的.

值得注意的是，上述工作研究的黑洞均為傳統(tǒng)黑洞解.傳統(tǒng)黑洞解存在坐標和時空的發(fā)散問題，發(fā)散的數(shù)學結果在物理上是沒有研究意義的[12].為了避免傳統(tǒng)黑洞解的最大問題時空發(fā)散性，Bardden[13]提出了正規(guī)(regular)黑洞解.正規(guī)黑洞解與傳統(tǒng)黑洞解的區(qū)別在于，通過將引力源視為奇異場，使其不會出現(xiàn)坐標和時空的發(fā)散，即非奇異解.這樣的黑洞是在能夠形成視界并且避免獲得非物理模型的情況下，盡可能地違反奇點定理而得到的解[14-15].2006年，為了解決正規(guī)解能夠滿足場方程的問題，Hayward得到一種消除了坐標與時空發(fā)散的正規(guī)黑洞解，即Hayward黑洞解[12]，而胡冀萬等[16]完成了Hayward黑洞的經典檢驗.

綜上所述，目前已有的研究對正規(guī)黑洞是否滿足MSS邊界是未知的，需要進一步研究正規(guī)黑洞的李雅普諾夫指數(shù)在MSS邊界上的情況并與傳統(tǒng)黑洞形成對比.Hayward黑洞作為一種較為簡單的正規(guī)黑洞，先對其研究有助于為研究更復雜的正規(guī)黑洞提供參考，并且Hayward黑洞能夠退化為傳統(tǒng)的施瓦西黑洞，有利于與傳統(tǒng)黑洞的研究形成對照.本文通過數(shù)值研究，求出粒子在具有特殊線性勢的Hayward黑洞附近運動的李雅普諾夫指數(shù)，研究Hayward黑洞是否滿足混沌邊界，并與施瓦西黑洞進行比較.該研究可為使用數(shù)值方法計算正規(guī)黑洞的混沌邊界提供實例，為進一步探索更多種類黑洞的混沌邊界提供參考.

1 理論基礎與計算過程

通過定義粒子在具有特殊線性勢的Hayward黑洞外視界以外的有效勢，研究粒子的有效勢是否具有不穩(wěn)定極大值，再從粒子的運動方程中求出李雅普諾夫指數(shù)，將其與MSS邊界比較，判斷Hayward黑洞是否違反MSS邊界.

1.1 Hayward黑洞理論模型

Hayward黑洞的度規(guī)為[12]：

(1)

按照求解視界的辦法，此度規(guī)會產生3個解，舍棄負根，剩下的兩個正實根即為黑洞的內外視界，其中外視界為：

(2)

Hayward黑洞的表面引力為

(3)

式中：l為與黑洞中心能量密度有關的自由參數(shù)，一般假設它是大于零的.

1.2 MSS邊界

一個量子多體系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)滿足MSS邊界：

(4)

式中：T表示黑洞的溫度；λ表示系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)；?為約化普朗克常數(shù).

李雅普諾夫指數(shù)是用以描述運動系統(tǒng)混沌程度的參數(shù)，它的本質是運動軌道的分離率，因此若一個系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)大于零，說明此系統(tǒng)是混沌的.

表面引力是物體靜止在黑洞視界上所受的引力場強，它與溫度間有關系式2πT/?=κ，故MSS邊界式(4)實際上可以寫成λ≤κ.κ為黑洞的表面引力.這條不等式意味著在體空間中，一個由黑洞組成的系統(tǒng)，它的李雅普諾夫指數(shù)不能大于其表面引力.

假設一個有質量的粒子繞著黑洞外視界運動，但是受到額外線性勢的影響(如電磁勢)而不落入黑洞，于是可以根據(jù)此粒子的拉格朗日量來求出運動方程，再根據(jù)運動方程來研究它是否具有混沌，一旦發(fā)現(xiàn)它具有混沌現(xiàn)象，則求出它的李雅普諾夫指數(shù)，再與系統(tǒng)中黑洞的表面引力比較，就可以判斷此系統(tǒng)是否滿足MSS邊界式(4).

1.3 計算方法與過程

1.3.1 等效勢的定義與極值

假設一個單位質量的粒子，考慮到粒子繞著Hayward黑洞的外視界運動，為避免粒子落入黑洞視界內，引入額外的線性勢V(x).

(5)

從式(5)可知，粒子的拉格朗日量與φ無關，因此具有一個守恒量——粒子的軌道角動量：

(6)

定義

(7)

可得

(8)

式中：Veff為有效勢，表示將粒子動能項扣除以后，系統(tǒng)拉格朗日量中其他所有的項之和.令x=r-r+，則V(r)=V(x)=V1x，f(r)=f(x)=f1x，其中V1為線性勢系數(shù)，f1為f(x)在r=r+上的一階泰勒展開系數(shù).隨后可以將有效勢改寫為：

(9)

得到有效勢式(9)后，需要研究等效勢是否具有不穩(wěn)定極大值點r0.并且由于粒子一旦落入視界內，則外界觀測者將無從觀測系統(tǒng)行為，因此需要極值點位于外視界以外.

通過求解方程dVeff/dr=0，若此方程有解，則得到的解即為不穩(wěn)定極大值r0，并且需要滿足r0> r+.

1.3.2 不同參數(shù)下的等效勢

等效勢式(9)若具有位于外視界以外的不穩(wěn)定極大值r0，則需要研究不同參數(shù)對等效勢的影響，需固定M與V1不變，將不同的L代入式(9)，作出圖即可.

1.3.3 李雅普諾夫指數(shù)的求解

在求解等效勢的不穩(wěn)定極大值后，需要求出粒子的運動方程以便求出李雅普諾夫指數(shù).現(xiàn)將有效勢在不穩(wěn)定極大值點r0上泰勒展開，展開到二階項：

(10)

令ε=r-r0為徑向坐標與徑向極大值點的差值，略去常數(shù)項和高階項后，可以將拉格朗日量改寫成：

(11)

隨后對拉格朗日量求變分，得到粒子的運動方程：

(12)

這是一個反諧振子運動方程，文獻[17]已經證明此種系統(tǒng)具有混沌行為，并且其通解：ε=Aeλ+Be-λ也出現(xiàn)指數(shù)增長行為，通解中的λ就是此系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù).而其中：

(13)

進一步分析，某些情況下這里可能出現(xiàn)λ2小于零的情況，對于這種情況，λ2就不能再作為系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，而在后續(xù)的計算中，將要保證λ2大于零.

1.3.4 對混沌邊界的驗證

得到李雅普諾夫指數(shù)λ2后，直觀的方法是利用數(shù)值作圖，作出λ2-κ2曲線，觀察其是否出現(xiàn)大于零的部分，即可知此系統(tǒng)是否對MSS邊界式(4)產生違反.

2 Hayward黑洞與施瓦西黑洞的計算結果與分析

2.1 Hayward解

在計算中，為了計算簡便以及圖像行為更加顯著，取黑洞的ADM質量設為1，線性勢系數(shù)設為0.4.由于反三角函數(shù)的定義域限制，為了保證外視界式(2)存在，選取參數(shù)時應滿足約束條件l小于0.769 8，且l不為零.

作出l=0.7時Hayward黑洞的有效勢Veff，如圖1所示.隨著L的增大，有效勢的值越小，圖像越遠離Veff=0，同時不穩(wěn)定極大值r0或者說x0也在增大.這是因為粒子角動量越大，將會越來越遠離黑洞，反之將會不斷地靠近黑洞直至落入黑洞的外視界.考慮到極大值點存在且式(13)必須大于零，因此L不能小于2.23.由圖1的L=1對應的Veff曲線可知，其曲線甚至不存在極值，這也說明L=1的軌道不滿足極值點位于視界外的要求.

圖1 Hayward黑洞在固定參數(shù)下不同的L對應的有效勢Veff圖像Fig.1 Veff for Hayward black hole with different values of L under fixed parameters

為了突出不同的L與l對λ2-κ2的影響，使用式(3)與式(13)來作出λ2-κ2曲線，具體的λ2-κ2曲線行為如圖2所示.從圖2可知，對于Hayward黑洞，在選取特定的參數(shù)時，其李雅普諾夫指數(shù)出現(xiàn)了違反MSS邊界式(4)的行為，如l=0.5與l=0.7，即在允許的角動量取值區(qū)間上λ2-κ2大于0.并且隨著l的增大，κ2顯示出下降趨勢，最終導致λ2-κ2越來越接近λ2，并且隨著L的增長，λ2-κ2的值也體現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，這種趨勢主要是由于λ2隨著L的增長也是增大后減小的趨勢.這說明系統(tǒng)的混沌隨著粒子角動量的增長，先變得越來越大，隨后開始減小.但由圖2可知，對于l=0.3，其λ2是滿足MSS邊界式(4)的，這說明不同的l對應的Hayward黑洞對MSS邊界式(4)具有不同的結果.此外，從圖2還可知，l值的選取對λ2-κ2曲線影響較大，例如對于l=0.3與l=0.5來說，l只改變了0.2，但是整個系統(tǒng)對于MSS邊界式(4)就從滿足到出現(xiàn)違反.通過以上分析，對于l=0.5與l=0.7，Hayward黑洞違反MSS邊界.

圖2 Hayward黑洞在不同l時對應的λ2-κ2圖像Fig.2 λ2-κ2 for Hayward black hole with different values of l

2.2 施瓦西解

正規(guī)解作為消除了時空發(fā)散的解，具有能夠在漸近無窮遠處退化成施瓦西解的特點，為了更好地突出Hayward黑洞混沌性質，將Hayward黑洞與傳統(tǒng)的施瓦西黑洞進行對比，后續(xù)計算結果表明，施瓦西黑洞是Hayward黑洞退化后的一種特例.

(14)

若M=0，則整體時空又退化成平坦的閔氏時空.

對于施瓦西黑洞，其表面引力為：

(15)

式中，rg=M為施瓦西半徑.

同樣，引入線性勢V(r)，并利用度規(guī)式(15)可以寫出此系統(tǒng)的拉格朗日量：

(16)

從而得到有效勢：

(17)

雖然施瓦西黑洞與Hayward黑洞的有效勢Veff相同，但是f(r)是不同的，因此f(r)的一階展開系數(shù)f1也不相同.

為了研究有效勢式(17)的不穩(wěn)定極大值，選取不同參數(shù)，研究Veff的行為，如圖3所示.圖3不同的線形對應不同的L.從圖3可知，與Hayward黑洞類似，有效勢Veff的值隨著L的增大而減小，但是不穩(wěn)定極大值x0也在增大，說明粒子角動量越大，形成混沌的軌道就越遠離黑洞的視界.但當L=1時，有效勢沒有不穩(wěn)定極大值，這說明L必須足夠大，有效勢才會出現(xiàn)不穩(wěn)定極大值.

圖3 施瓦西黑洞在固定參數(shù)下不同的L對應的有效勢Veff圖像Fig.3 Veff for Schwarzschild black hole with different values of L under fixed parameters

最后，本文同樣研究了施瓦西黑洞在特定參數(shù)下的λ2-κ2曲線行為，這里以粒子的角動量L為自變量，再結合李雅普諾夫指數(shù)式(13)與施瓦西黑洞的表面引力式(15)，可以得到特定參數(shù)下的λ2-κ2曲線.從圖4可知，與Hayward黑洞類似，λ2曲線與λ2-κ2曲線都出現(xiàn)了先增大后減小的趨勢，這也說明隨著粒子的角動量的增大，系統(tǒng)的混沌也在增大，但是如果角動量過大，則系統(tǒng)混沌將會減小.這是因為當粒子的角動量增大時，能夠形成混沌的軌道也越來越遠離黑洞視界，當角動量繼續(xù)增大，黑洞對粒子的影響也會越來越小，所以出現(xiàn)了混沌行為越來越小的趨勢.圖4選取了與Hayward黑洞相同的參數(shù)，發(fā)現(xiàn)施瓦西黑洞在此組參數(shù)的允許區(qū)間上滿足MSS邊界式(4)，而這一結論也與使用解析方法研究的文獻[6]一致，因此施瓦西黑洞與文獻[8,10]中的研究對象在所有參數(shù)區(qū)間上都違反的情況又不相同，這是因為施瓦西黑洞不具有角動量且不帶宇宙常數(shù)及電荷，因此很難出現(xiàn)全參數(shù)區(qū)間上的違反行為.上述結果說明，施瓦西黑洞的李雅普諾夫指數(shù)在同樣的參數(shù)下滿足MSS邊界式(4).

圖4 施瓦西黑洞在特定參數(shù)下的λ2-κ2圖像Fig.4 λ2-κ2 for Schwarzschild black hole under fixed parameters

3 結論

經過研究Hayward黑洞是否滿足MSS邊界式(4)以及與傳統(tǒng)黑洞混沌行為的對比，通過分析粒子的運動方程的穩(wěn)定性來研究Hayward解與它的漸近無窮遠情形——施瓦西解的混沌現(xiàn)象.得出結論如下：

(a) Hayward黑洞在l=0.5與l=0.7時違反了MSS邊界式(4)，但是通過改變自由參數(shù)l，可以使其滿足這樣的邊界.

(b) 作為Hayward黑洞的漸近無窮遠形式——施瓦西黑洞，它在同樣的參數(shù)下滿足MSS邊界.

本文的研究表明，Hayward黑洞的混沌現(xiàn)象與文獻[8,10]中的情況不同，并沒有出現(xiàn)在任何參數(shù)區(qū)間上都違反MSS邊界的情況，而對于特定的l，Hayward黑洞違反MSS邊界，但在同樣的參數(shù)下施瓦西黑洞卻滿足MSS邊界，這樣的區(qū)別只能來源于正規(guī)解與傳統(tǒng)解的差異.因此，正規(guī)黑洞與傳統(tǒng)黑洞相比有不同的混沌行為，但由于正規(guī)黑洞存在可調節(jié)的自由參數(shù)l，在l不斷減小時正規(guī)黑洞的度規(guī)能夠近似成傳統(tǒng)黑洞的度規(guī)，從而使其與傳統(tǒng)黑洞的行為越來越一致.并且，與文獻[8]中所指出的一樣，旋轉黑洞對于MSS邊界式(4)的違反是由于此類黑洞自身攜帶的角動量，由于本文研究的Hayward黑洞不攜帶角動量，因此也就不會出現(xiàn)明顯的全參數(shù)區(qū)間違反行為.