n維球空間中的Willmore曲面與Willmore猜想研究綜述

王長(zhǎng)平，王 鵬

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建省分析數(shù)學(xué)及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 福州 350117)

子流形的整體幾何與拓?fù)涫俏⒎謳缀晤I(lǐng)域研究的核心研究方向之一，其中一個(gè)代表性的問(wèn)題為英國(guó)數(shù)學(xué)家Willmore[1]在1965年提出的Willmore猜想：

Willmore猜想Sn中的任何一個(gè)二維環(huán)面都滿(mǎn)足

其中H為其平均曲率向量，并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)此環(huán)面(相差Sn的一個(gè)共形變換)為Clifford環(huán)面.

關(guān)于Willmore泛函和其變分臨界曲面的研究由來(lái)已久，歷史上最初見(jiàn)于1816年左右法國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家Germain關(guān)于彈性曲面能量的研究．1920年左右德國(guó)幾何學(xué)家Blaschke及其學(xué)生Thompsen已經(jīng)證明Willmore泛函是共形不變的，并將其變分臨界曲面-Willmore曲面- 稱(chēng)為共形極小曲面，其研究成果寫(xiě)入Blaschke關(guān)于微分幾何的德語(yǔ)專(zhuān)著之中[2]．由于Willmore能量是共形不變的，其研究自然成為共形幾何研究中的核心問(wèn)題，吸引了全世界幾何學(xué)家的研究目光．而在此問(wèn)題的研究中，數(shù)學(xué)家們也發(fā)展了很多重要的研究工具并開(kāi)創(chuàng)了新的研究方向，其中一些典型的成果包括：Li等[3]建立了譜幾何中的特征值問(wèn)題和Willmore泛函的不等式，從而第一個(gè)給出了這一猜想的部分證明，這一工作已成為了幾何分析研究的一個(gè)重要部分并被推廣到各種情形;Simon[4]第一個(gè)利用幾何測(cè)度論，證明存在Rn中的光滑環(huán)面，其Willmore能量為所有浸入二維環(huán)面的Willmore能量的最小值; Marques和Neves進(jìn)一步發(fā)展了幾何測(cè)度論方法，在n=3時(shí)完全解決了Willmore猜想，并利用他們的理論證明幾何和拓?fù)溲芯恐械囊恍┢渌匾孪?Bryant[5]研究了Willmore能量臨界曲面，即Willmore曲面，給出了二維球面的分類(lèi)定理，開(kāi)創(chuàng)了Willmore曲面研究的新領(lǐng)域; Burstall等[6-7]通過(guò)四元數(shù)分析等方法來(lái)研究Willmore球面和Willmore 環(huán)面及Willmore 猜想; Kuwert[8]和Rivière[9]等通過(guò)曲率流或者PDE方法在Willmore猜想和Willmore曲面研究取得一系列進(jìn)展，并推動(dòng)了幾何偏微分相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展.

本文將首先回顧Sn的共形幾何，然后簡(jiǎn)要介紹一下關(guān)于Willmore二維球面的研究進(jìn)展; 接下來(lái)回顧以下近年來(lái)Willmore猜想研究中的主要進(jìn)展;關(guān)于Willmore猜想在各個(gè)方向的推廣也是一個(gè)重要的主題，將簡(jiǎn)要介紹一下Willmore猜想的兩個(gè)推廣，即關(guān)于Lawson嵌入極小曲面刻畫(huà)的廣義Willmore猜想和關(guān)于Willmore超曲面刻畫(huà)的廣義Willmore猜想.

1 Sn中的Willmore曲面

這里H為y在Sn中的平均曲率向量，1則是來(lái)自于Sn的截面曲率．稱(chēng)y為Willmore，若它是Willmore能量的變分臨界曲面．由Gauss方程可知

由于Willmore能量和Willmore曲面是共形不變的，接下來(lái)將回顧一下Sn的射影光錐模型，主要參見(jiàn)文[7,10-11]．定義如下同胚：

Sn?P(L):y?[(y，1)]=[Y],

這一子空間與提升Y和復(fù)坐標(biāo)z的選擇無(wú)關(guān)，因此可以定義一個(gè)曲面的共形高斯映射[5,13]：

從幾何上來(lái)看，Vp恰好代表y在p點(diǎn)的二維平均曲率球[5,7,13-14].

選取V?C的一個(gè)局部標(biāo)架如下：

其中N∈V滿(mǎn)足〈N，N〉=0,〈N，Y〉=-1,〈N，Yz〉 =0．記V⊥為y的共形法叢，ξ∈Γ(V⊥)為法叢V⊥的任意一個(gè)截面，D為法聯(lián)絡(luò)，則曲面的結(jié)構(gòu)方程如下：

在此標(biāo)架下，y為Willmore曲面當(dāng)且僅當(dāng)Gr為調(diào)和映射，當(dāng)且僅當(dāng)Willlmore方程成立[5,7,13-14]：

注意到這是4階橢圓型偏微分方程組，于是 Willmore及相關(guān)的幾何量均為實(shí)解析的.

Bryant的一個(gè)重要結(jié)果說(shuō)明，S3中的Willmore曲面均存在對(duì)偶曲面，這也是其分類(lèi)Willmore二維球面的一個(gè)核心出發(fā)點(diǎn)．在高余維的情形，一般情況下Willmore曲面不再具有對(duì)偶曲面，由Ejiri的一個(gè)經(jīng)典結(jié)果[11,13-14]，如果一個(gè)Willmore曲面滿(mǎn)足

(1)

則它具有對(duì)偶曲面．將所有這樣的Willmore曲面稱(chēng)為S-Willmore曲面，注意這與Ejiri原始定義稍有不同，這樣定義的好處在于，它恰好刻畫(huà)了具有對(duì)偶曲面的所有的Willmore曲面[11,13-14].

由于Sn中的Willmore曲面一般不再具有對(duì)偶曲面，馬翔引入了伴隨曲面的概念[10-11,14]．稱(chēng)y1=[Y1]為y的伴隨曲面，若它滿(mǎn)足以下3個(gè)條件：(1)Y1∈V; (2)〈Y1z，Y1z〉≡0;(3)Y1z≡ 0mod{Y，Y1，Yz} 且V⊥?C.關(guān)于伴隨曲面的詳細(xì)討論，參見(jiàn)文[10-11,14-15].

定理1[10]Willmore曲面y的伴隨曲面y1=[Y1]:M2→Sn仍為分支Willmore曲面，并且在y1為浸入時(shí)，y也是y1的伴隨曲面．特別地，若y1退化為單點(diǎn)，或者y1在M的一個(gè)開(kāi)稠集上的平均曲率球和y的平均曲率球重合時(shí)，y1為y的對(duì)偶曲面.

2 Willmore二維球面

簡(jiǎn)要回顧一下Willmore二維球面研究的歷史．1984年Bryant關(guān)于S3中Willmore球面的分類(lèi)定理[5,16]簡(jiǎn)潔深刻，從Willmore曲面的整體幾何這一研究方向開(kāi)啟了對(duì)于Willmore猜想的探索．這一工作對(duì)于理解Willmore曲面的分析性質(zhì)具有重要基礎(chǔ)價(jià)值．回顧此定理如下：

(2)當(dāng)k=2，3，5，7時(shí)不存在這樣的極小曲面; 當(dāng)k取其它值時(shí)，存在這樣的極小曲面[5,16-17].

Ejiri[13]，Musso[18]和Montiel[19]分別從不同角度將Bryant的分類(lèi)定理推廣到S4中的Willmore二維球面．此時(shí)新的Willmore二維球面還包括了S4的twistor叢投影到S4中的twistor曲線，將一大類(lèi)幾何中的重要曲面與Willmore曲面研究關(guān)聯(lián)起來(lái).

(1)y為S-Willmore曲面，且屬于以下2種曲面之一:

(2)[19]對(duì)于以上Willmore二維球面，均有W(y)=4πk; 且對(duì)任意k∈Z+，存在S4中Willmore二維球面y，使得W(y)=4πk.

關(guān)于Twistor幾何的內(nèi)容，可參見(jiàn)文[13,20-23].

對(duì)于更高余維數(shù)的情形，Ejiri分類(lèi)了具有對(duì)偶曲面(即S-Willmore)的所有Willmore二維球面，得到了類(lèi)似的結(jié)果，并在論文最后提出公開(kāi)問(wèn)題，是否Sn中任何一個(gè)Willmore二維球面都是S-Willmore的？

在文[24]中，利用Dorfmeister等關(guān)于Willmore曲面的可積系統(tǒng)的研究方法[25-26]，給出S6中的第一個(gè)非S-Willmore的Willmore二維球面; 在文[27]中，利用文[28]和文[29]等工作，通過(guò)可積系統(tǒng)方法給出了Willmore二維球面的一個(gè)粗略的可積系統(tǒng)刻畫(huà).通過(guò)進(jìn)一步對(duì)Willmore二維球面的分析性質(zhì)的討論，馬翔等給出了S5中Willmore球面的幾何分類(lèi)，并構(gòu)造了第三類(lèi)Willmore球面的例子.

關(guān)于此定理的詳細(xì)討論，參見(jiàn)文[11]．這里簡(jiǎn)要回顧一下證明的概要．其核心的思想是構(gòu)造如下全純微分形式:

由于S2不存在非平凡的全純形式，因此Θ≡0．進(jìn)一步利用余維數(shù)的限制，可以證明或者S-Willmore條件(1)成立，或者此曲面的法叢有一個(gè)整體正交分解:T⊥S2=W1⊕W2，其中W2定義了一個(gè)新的整體調(diào)和映射，利用此調(diào)和映射，可以重新構(gòu)造出y的伴隨曲面y1，并證明其為R5中的某個(gè)特殊分支極小曲面．反之， 從R5中的某個(gè)特殊分支極小曲面出發(fā)，通過(guò)求解一個(gè)Riccati方程，給出了一些具體的S5的Willmore球面，這些Willmore球面不具有對(duì)偶曲面．詳細(xì)證明見(jiàn)文[11].關(guān)于齊性Willmore二維球面分類(lèi)見(jiàn)文[30].

關(guān)于Sn中的一般Willmore二維球面，有如下猜想[11,14]：

(1)Rn中的一個(gè)虧格為0的具有平坦嵌入端的完備極小曲面.

在n≤8時(shí)可以證明此猜想成立，但更高維數(shù)的時(shí)候的由于伴隨變換產(chǎn)生的奇點(diǎn)難以消除，需要引入新的方法.

3 關(guān)于二維環(huán)面的Willmore猜想

本節(jié)回顧一下關(guān)于Willmore猜想的研究進(jìn)展．首先將介紹Li-Yau[3]關(guān)于Willmore猜想的部分證明的思路，接下來(lái)介紹一下Marques和Neves關(guān)于S3中的Willmore猜想證明的大致思路，最后大致介紹一下Lawson嵌入極小曲面ξg,1和關(guān)于它們的廣義Willmore猜想.

3.1 共形面積和Li-Yau關(guān)于Willmore猜想的部分證明

在文[3]中Li等引入了共形面積這一基本概念，并成功用于曲面的第一特征值估計(jì)和Willmore能量估計(jì)，第一個(gè)給出了限定共形結(jié)構(gòu)下Willmore猜想的證明.

定義1設(shè)(Mm，gM)為一個(gè)m維黎曼流形.

(2)記C(M，Sn)為從M到Sn的所有非常值分支共形映射組成的集合．黎曼流形(Mm，gM)的n維共形體積VC(M，n)定義如下：

(3)黎曼流形(Mm，gM)的n維共形體積VC(M，n)定義為：

由定義可知VC(y，n)，VC(M，n)和VC(M)為共形不變的．特別地，當(dāng)M為具有共形度量gM的二維黎曼面，n=2時(shí)，VC(y，2)恰好是4πdeg(y).

定理5[3]設(shè)M為一個(gè)黎曼面，具有共形度量gM.

(1)記λ1為gM的Laplace算子第一特征值，則有

λ1Area(M)≤2VC(M),

這里簡(jiǎn)要介紹一下證明概要：第一部分的證明核心是利用Sn的共形變換，使得坐標(biāo)函數(shù)可以作為特征值的試探函數(shù)，用于估計(jì)第一特征值，從而給出結(jié)論; 第二部分則是基于Willmore能量和共形面積的共形不變性以及Willmore能量顯然大于面積這一簡(jiǎn)單的不等式．具體證明參見(jiàn)文[3]或文[31]中的第3章3.8 節(jié).

回顧一下二維環(huán)面的共形類(lèi)的如下?？臻g：令T2(a，b)=R2/Λ， 其中Λ=2πZ+2π(a+bi)Z，a2+b2≥1， 0≤a≤1/2,0

W(y)≥2π2，

(3)關(guān)于具有其他共形結(jié)構(gòu)的二維環(huán)面T2(a，b)的Willmore能量下界估計(jì)的近期工作參見(jiàn)文[34].

3.2 Marques和Neves關(guān)于S3中的Willmore猜想的證明

Marques[35]和Neves[36]關(guān)于Willmore猜想的證明,是過(guò)去十幾年中微分幾何研究的重要進(jìn)展，簡(jiǎn)要回顧一下其證明的核心概要.

他們的工作的第一個(gè)出發(fā)點(diǎn)是Urbano關(guān)于S3中Clifford二維環(huán)面的面積指標(biāo)刻畫(huà)：

這里的面積指標(biāo)5=1+4有著清晰的幾何意義：其中4來(lái)自于S3的非等距的共形變換導(dǎo)致的極小曲面面積的減少; 1來(lái)自于面積變分的Jacobi算子的第一特征值，由于此時(shí)第一特征值的重?cái)?shù)必須為1．由于通常這一特征值對(duì)應(yīng)的第一特征函數(shù)無(wú)法給出表達(dá)式，因此很難刻畫(huà)這一方向?qū)е碌拿娣e變換．這一困難的解決思路，來(lái)源于Ros的這一不等式[38-39].

此外，由Li-Yau的一個(gè)經(jīng)典結(jié)果[3]，如果y為一個(gè)非嵌入的定向閉曲面，則W(y)≥ 8π．因此要證明Willmore猜想，只需對(duì)嵌入曲面證明即可.

(2)通過(guò)Almgren-Pitts極小極大理論證明存在取得面積極值的嵌入極小曲面，其面積大于等于2π2;

(3)利用Ros的結(jié)論證明上述曲面的面積≤W(y);

(4)在等式成立時(shí)，證明此極小曲面的面積指標(biāo)Index(y)≤5，加上此時(shí)曲面虧格不為0(因此非全測(cè)地)，由Urbano定理可知此時(shí)曲面為Clifford極小環(huán)面.

關(guān)于此定理的進(jìn)一步細(xì)節(jié)參見(jiàn)文[35-36,40-41]．而進(jìn)一步利用此方法證明S4中的二維環(huán)面的Willmore猜想仍舊具有很多困難，Marques和Neves曾經(jīng)提出希望有一個(gè)Urbano型定理的推廣.近期，Kusner等給出了如下推廣：

如何將此結(jié)果推廣到Sn，n≥ 5，或者將其中虧格1的假定改為虧格≥ 1，仍舊是公開(kāi)問(wèn)題.

3.3 Lawson嵌入極小曲面和廣義Willmore猜想

首先回顧一下Lawson嵌入極小曲面ξm，k?S3的構(gòu)造．考慮S3中的兩個(gè)異面且互相垂直的大圓周:

γ={(0， 0，cosθ，sinθ)|θ∈[0，2π]}，γ⊥={(cosθ，sinθ，0， 0)|θ∈[0，2π]}.

考慮兩個(gè)圓周上的點(diǎn)

其中j∈Z2k+2，l∈Z2m+2．則{Pj}將γ均勻分為2k+2個(gè)大圓弧， {Ql}將γ⊥均勻分為2m+2個(gè)大圓弧.令Γj,1為S3經(jīng)過(guò)Pj和Ql的大圓周．令Γ0,1為S3中的測(cè)地四邊形P0Q0P1Q1，其邊界為連接兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)的最短測(cè)地線(長(zhǎng)度為π/2)．于是，由關(guān)于邊界Γ0,0的Plateau問(wèn)題的解[43]，存在一個(gè)極小圓盤(pán)δ0,0使得其為S3中以Γ0,0為邊界的面積最小曲面．由Schwarz反射定理及Pj，Ql的對(duì)稱(chēng)性，將δ0,0關(guān)于大圓Γj,1的反射給出了S3中的一個(gè)嵌入閉極小曲面， 記為ξm，k.Lawson證明這一曲面是嵌入的，虧格為mk的閉極小曲面，關(guān)于此曲面的幾何和分析性質(zhì)，詳見(jiàn)文[40，43-47].

這里簡(jiǎn)要回顧一下近年來(lái)關(guān)于ξm,k的幾何和分析性質(zhì)進(jìn)展：

猜想2Sn中的任何一個(gè)虧格為g的二維定向閉曲面M都滿(mǎn)足

并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)此環(huán)面在相差Sn的一個(gè)共形變換的意義下等價(jià)于ξm,k.

(2)Choe等證明[44]，Lawson嵌入極小曲面ξm,k?S3的第一特征值λ1=2，證明了這些曲面滿(mǎn)足關(guān)于極小超曲面的第一特征值的Yau猜想[31]．關(guān)于極小超曲面的第一特征值的研究，參見(jiàn)唐梓洲等關(guān)于等參超曲面的重要進(jìn)展[48]，及Brendle的重要論文[40,49].

(3)Kapouleas[45]和Wiygul[50]給出了Lawson極小曲面的幾個(gè)重要刻畫(huà)：

(i)[45]證明Lawson嵌入極小曲面ξg,1在S3中的面積指標(biāo)(Morse index)為2g+3，nullity為6.

(4)利用以上結(jié)果，以及Li-Yau等的共形面積，Kusner和王鵬證明:

(ii)Lawson極小曲面ξg,1是Willmore穩(wěn)定的.

4 Willmore超曲面的廣義Willmore猜想

這里I和II分別為M的第一和第二基本形式，H為平均曲率.

當(dāng)m≥ 3的時(shí)候，Willmore超曲面和Willmore子流形的研究變得非常復(fù)雜，特別地，此時(shí)極小子流形不一定仍是Willmore子流形．關(guān)于Willmore子流形的更多研究參見(jiàn)文[52-58]，其中文[53]在共形幾何框架下給出了Willmore子流形的基本理論，文[52]給出了Willmore子流形的第二變分公式，文[53-56]則分別側(cè)重于從黎曼幾何的框架下研究Willmore子流形的Simon型不等式及一般黎曼流形中的Willmore子流形，文[57-58]則是結(jié)合等參超曲面理論研究Willmore子流形及相關(guān)問(wèn)題; 此外，在關(guān)于空間形式中子流形的積分型不等式方法有一系列相關(guān)重要工作，詳見(jiàn)文[59]，這里由于篇幅問(wèn)題從略.

這里首先回顧經(jīng)典的Willmore-Clifford超曲面WTm,k的例子:

2001年，郭震等[52]提出了關(guān)于超曲面Willmore泛函的廣義Willmore猜想：

目前關(guān)于此猜想的研究進(jìn)展甚微，已知的一個(gè)重要的如下定理.

定理10[52]Willmore-Clifford超曲面WTm,k在Sm+k+1中是Willmore穩(wěn)定的.

一個(gè)自然的想法是在一些特殊情形證明這一猜想成立，或者將之前關(guān)于經(jīng)典的Willmore猜想的成功經(jīng)驗(yàn)用于這一猜想研究，比如:

(1)在超曲面具有較好對(duì)稱(chēng)性如S1-對(duì)稱(chēng)性假定下證明這一猜想;

(2)對(duì)于具有Sr-葉狀結(jié)構(gòu)的超曲面證明這一猜想，這里1≤r≤max{m，k};

(3)Li-Yau定義的關(guān)于超曲面的共形體積這一共形幾何基本不變量和超曲面的Willmore泛函之間此時(shí)也缺少一個(gè)自然的關(guān)系，如何建立這兩者之間的關(guān)系式并用于以上猜想的研究，也是一個(gè)很有價(jià)值的問(wèn)題，關(guān)于此方向的部分工作，參見(jiàn)文[16,60];

其中