數(shù)形結(jié)合探究三角形內(nèi)最值問題

江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226299) 施建華

1 探究的緣起

在高三的復(fù)習(xí)階段的一次模擬測驗(yàn)中,考察了如下的一道解三角形問題.該問題在確定存在最值的條件下,反向求解參數(shù)的范圍,這與學(xué)生平時訓(xùn)練的問題差異較大,學(xué)生普遍反映無從下手,得分率特別低.為此,筆者仔細(xì)地分析了該問題,并探究了該問題的一般形式.

題目(2019年佛山一模第16題)在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a=1,A=若當(dāng)b,c變化時,g(b,c)=b+λc存在最大值,求正數(shù)λ的取值范圍.

2 學(xué)生主要使用的解題思路與完善

思路一:利用正、余弦定理轉(zhuǎn)化求解

思路二:數(shù)形結(jié)合——構(gòu)造外接圓求解

還有部分同學(xué)選擇借助圖形求解,根據(jù)題干信息可得:ΔABC的外接圓的半徑為定值:r=若固定點(diǎn)B、C,則點(diǎn)A的軌跡為ΔABC的外接圓上的一段圓弧.但接下來,學(xué)生很難表示出g(b,c)=b+λc的幾何意義,解題陷入僵局.

思路三:根據(jù)對稱性求解

當(dāng)λ=1時,g(b,c)=b+c,借助余弦定理與基本不等式即可知其存在最大值;當(dāng)λ＞1時,若存在符合條件的值,則令g(b,c)=結(jié)合b、c的對稱性可知＜1也可使得結(jié)論成立.

3 數(shù)形幾何——將條件可視化

為了突破以上難點(diǎn),筆者嘗試使用軌跡,利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解.

在解法一中:g(b,c)=(sinB+λsinC),其本質(zhì)上就是sinB+λsinC存在最大值.為此構(gòu)造向量:a=(sinC,sinB),b=(λ,1),原問題轉(zhuǎn)化為a·b存在最大值.

圖2

評述根據(jù)上面的求解過程,本文將原解三角形問題轉(zhuǎn)化為一個向量的投影問題,在明確的軌跡下,通過圖形直觀的解釋了最值的存在理由.

4 問題的拓展研究

本文對該問題繼續(xù)繼續(xù)進(jìn)行探究.原問題討論g(b,c)=b+λc存在最大值,若將其修改為g(b,c)=b2+λc2存在最大值,λ的取值范圍會如何修改呢?

為此,本文直接討論此類問題的一般形式:在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a為定值,A=θ.若當(dāng)b,c變化時,g(b,c)=b2+λc2是否存在最值.

綜上分析,此類問題僅對θ有限制,對λ的取值沒有限制.