不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題的解法總結(jié)與探究*

廣東省汕頭大學(xué),廣東省汕頭市潮南區(qū)礪青中學(xué)(515135) 鄭燦基

廣東省汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系(515063) 韋才敏

1 問題提出

不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題常常倍受命題者的青睞,在全國卷高考中頻頻出現(xiàn)且扮演壓軸題的角色,對于學(xué)生而言具有較大的難度.以下選取部分近些年全國卷高考真題:

例1(2020年全國卷1卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x

(1)當(dāng)a=1,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0,f(x)≥求a的取值范圍

例2(2019年全國卷1文科第20題)已知函數(shù)f(x)=2sinx?xcosx?x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);

(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍;

例3(2017年全國卷2卷文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1?x2)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

例4(2016年全國卷2卷文科第20題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx?a(x?1).

(I)略.(II)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)＞0,求a的取值范圍.

2 知識準(zhǔn)備

2.1 洛必達(dá)法則

如果函數(shù)f(x)與g(x)滿足

2.2 函數(shù)的凹凸性的定義和定理

(1)定義:如果在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)且光滑曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的上方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凹(下凸)的;如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的下方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸(上凸)的,相應(yīng)的區(qū)間分別稱為凹區(qū)間與凸區(qū)間.

從圖1還可以看到如下幾何特征:對于凹(下凸)的曲線弧,其切線的斜率f′(x)隨著x的增大而增大,即f′(x)單調(diào)增加;對于凸(上凸)的曲線弧,其切線的斜率f′(x)隨著x的增大而減少,即f′(x)單調(diào)減少.而函數(shù)f′(x)的單調(diào)性又可用它的導(dǎo)數(shù),即f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f′′(x)的符號來判定,故曲線y=f(x)的凹凸性與f′′(x)的符號有關(guān).

圖1

(2)判定定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上具有二階導(dǎo)數(shù).

①如果在區(qū)間(a,b)上,有f′′(x)＞0,那么曲線在[a,b]上是凹(下凸)的;

②如果在區(qū)間(a,b)上,有f′′(x)＜0,那么曲線在[a,b]上是凸(上凸)的.

3 解法探究

3.1 分離參數(shù)法

采用分離參數(shù)法,就是將參數(shù)分離到不等式的一邊,轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題,但有時(shí)分離得到的函數(shù)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜,需要“多次構(gòu)造函數(shù),多次求導(dǎo)”,這對學(xué)生的邏輯推理,等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)據(jù)計(jì)算能力有很高的要求.另外,在解題過程中可能在區(qū)間端點(diǎn)處出現(xiàn)了型,需要用到高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則.

下面舉例說明:

利用分離參數(shù)法求解2020年全國卷1卷理科第21題第(2)問.

解①當(dāng)x=0時(shí),a∈R.

下面再利用分離參數(shù)法求解2017年全國卷2卷文科第21題第(2)問.

3.2 構(gòu)造函數(shù)法

(1)端點(diǎn)效應(yīng)

所謂端點(diǎn)效應(yīng)法是指:對于?x∈[a,b],F(x)≥0,且F(a)=0,則必然存在x0∈(a,b).當(dāng)x∈[a,x0]時(shí)F(x)單增,從而有x∈[a,x0]時(shí),F′(x)≥0成立,特別有F′(a)≥0這一必要條件得出參數(shù)的范圍,然后證明這一范圍的充分性,再說明當(dāng)參數(shù)不在討論的取值范圍時(shí)不等式不恒成立.

下面利用端點(diǎn)效應(yīng)法解2017年全國卷2卷文科第21題第(2)問.

解設(shè)F(x)=(1?x2)ex?ax?1,x∈[0,+∞),則F′(x)=?ex(x2+2x?1)?a,x∈[0,+∞),F′′(x)=?ex(x2+4x+1)＜0.所以F′(x)在[0,+∞)上單減.(再次求導(dǎo),研究F′(x)的單調(diào)性)所以F′(x)≤F′(0)=1?a(找到討論的分界點(diǎn)).下面分類討論:

①若a≥1時(shí),F′(x)≤0,則F(x)在[0,+∞)上單減,所以F(x)≤F(0)=0,符合題意.(肯定).

②若a＜1時(shí),F′(0)=1?a＞0,又當(dāng)x→+∞時(shí),F′(x)→?∞,所以F′(x)在[0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn)x0,當(dāng)0＜x＜x0時(shí),F′(x)＞0,所以F(x)在[0,x0)上單增,所以F(x)＞F(0)=0,不合題意.(否定).

綜上,a的取值范圍是a≥1.

點(diǎn)評端點(diǎn)效應(yīng)法的本質(zhì)是利用端點(diǎn)處所需滿足的必要條件來縮小參數(shù)的取值范圍,另外還需說明當(dāng)參數(shù)不在討論的范圍內(nèi)不等式不恒成立.我們還要注意,這種方法往往適合于構(gòu)造后的函數(shù)F(x),其F′′(x)不含參且F′′(x)的符號確定,例如2020年全國卷1卷理科第21題,采用端點(diǎn)效應(yīng)法求解很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的答案.

(2)構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù),分類討論

一般地,如果要解決關(guān)于ex大于(或小于)一個(gè)非超越函數(shù)p(x),可以采用作商法,將其轉(zhuǎn)化為p(x)e?x小于(或大于)1,通過[p(x)e?x]′=e?x[p′(x)?p(x)]便可較為容易求出零點(diǎn),有助于對函數(shù)的單調(diào)性和極值的進(jìn)一步分析,避免了需對函數(shù)多次求導(dǎo),達(dá)到了化繁為簡的目的.

下面構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù)解2020年全國卷1卷理科第21題第(2)問.

3.3 分離函數(shù)法

分離函數(shù)策略往往需要將問題轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)F(x)和一次函數(shù)y=ax+b的位置關(guān)系.

(1)一般地,若函數(shù)f(x)在[x1,x2]是凸函數(shù),且y=f(x)與y=ax+b在左端點(diǎn)x=x1處的函數(shù)值相等,則“當(dāng)x∈[x1,x2]時(shí),f(x)≤ax+b成立”等價(jià)于y=ax+b位于曲線y=f(x)在左端點(diǎn)x=x1處的切線位置或其上方,即a≥f′(x1),如圖2所示.

圖2

(2)一般地,若函數(shù)f(x)在[x1,x2]是凹函數(shù),且y=f(x)與y=ax+b在左端點(diǎn)x=x1處的函數(shù)值相等,則“當(dāng)x∈[x1,x2]時(shí),f(x)≥ax+b成立”等價(jià)于y=ax+b位于曲線y=f(x)在左端點(diǎn)x=x1處的切線位置或其下方,即a≤f′(x1),如圖3所示.

圖3

下面利用分離函數(shù)法解答2016年全國卷2卷文科第20題第(II)問:

解本題即(x+1)lnx＞a(x?1)在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=(x+1)lnx,g′(x)=lnx+1+＞0,g′′(x)=＞0(x＞1).所以函數(shù)g(x)在(1,+∞)單增,且函數(shù)g(x)的圖像位于其任一點(diǎn)處的切線的上方.如圖4所示,又g(x)＞a(x?1)(x＞1)恒成立等價(jià)于在(1,+∞)上,y=g(x)的圖像恒在直線y=a(x?1)(x＞1)在上方.注意到直線y=a(x?1)過點(diǎn)(1,0),y=g(x)也過點(diǎn)(1,0),曲線y=g(x)在(1,0)處的切線的斜率為g′(1)=2,故a≤2.

圖4

下面再利用分離函數(shù)法解答2019年全國卷1文科第20題:

4 解題感悟

4.1 采用分離參數(shù)需注意的地方

(1)采用分離參數(shù)策略得到的函數(shù)求導(dǎo)后能夠求出其零點(diǎn),這對于分析函數(shù)的圖像(包括單調(diào)性和極值等)是非常有利的,可以達(dá)到快速解題的目的.

(2)當(dāng)分離得到的函數(shù)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜,需要“多次構(gòu)造函數(shù),多次求導(dǎo)”研究函數(shù)的單調(diào)性;分離得到的函數(shù)可能在區(qū)間端點(diǎn)處會出現(xiàn)了型,往往需要用到高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則.

4.2 采用直接討論法需注意的地方

(1)若分離參數(shù)之后的新函數(shù)的最值在給定區(qū)間的端點(diǎn)處取得,且必須利用洛必達(dá)法則求出區(qū)間的端點(diǎn)處其逼近的函數(shù)值.若分離參數(shù)之后的新函數(shù)的最值不是在區(qū)間端點(diǎn)處取得,一般不宜用端點(diǎn)效應(yīng)法.

(2)直接討論法往往需要先等價(jià)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).對于形如ex≥f(x)(f(x)為多項(xiàng)式)這類不等式恒成立或證明問題,常常等價(jià)轉(zhuǎn)化為1≥f(x)e?x進(jìn)行處理.

4.3 采用分離函數(shù)策略需注意的地方

分離函數(shù)策略往往需要將問題轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)F(x)和一次函數(shù)y=ax+b的位置關(guān)系.而繪制函數(shù)F(x)的圖像時(shí)要注意在研究定義域、單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、極值、函數(shù)值正負(fù)等基礎(chǔ)上,再根據(jù)F(x)的二階導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的凹凸性,借助數(shù)形結(jié)合來分析和解決問題.