巧借向量共線定理 妙解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題

?安徽省阜陽市紅旗中學(xué) 常 麗

1 引言

2 線性表示

圖1

分析：根據(jù)三角形邊上的點(diǎn)所處的位置關(guān)系，引入?yún)?shù)來表示相應(yīng)平面向量的線性關(guān)系，結(jié)合平面向量的線性關(guān)系與運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化，利用平面向量共線定理確定對應(yīng)系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而得以確定參數(shù)值，為進(jìn)一步確定平面向量的線性表示提供條件.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評：涉及平面向量的線性表示問題，關(guān)鍵是通過平面向量的線性關(guān)系與運(yùn)算加以合理化歸與轉(zhuǎn)化，這其中經(jīng)常會利用平面向量的中點(diǎn)公式、平面向量共線定理等相關(guān)知識，合理構(gòu)建從條件到結(jié)論之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)平面向量的線性表示的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

3 參數(shù)求值

圖2

分析：利用條件中的平面向量的線性表示關(guān)系式，從不同角度與方向轉(zhuǎn)化相應(yīng)的線性關(guān)系式，利用平面向量共線定理分別確定對應(yīng)的系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合方程組的求解來確定對應(yīng)的參數(shù)值.具體破解時，通過構(gòu)建“兩條線段的交點(diǎn)”的條件，借助轉(zhuǎn)化成兩次向量共線，進(jìn)而確定交點(diǎn)位置.

由于B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，利用平面向量共線定理可得x+2y=1.

①

由于D，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，利用平面向量共線定理可得2x+y=1.

②

點(diǎn)評：涉及平面向量的參數(shù)求值問題，往往通過題目條件中的平面向量的線性關(guān)系式進(jìn)行合理變形與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)滿足平面向量共線定理的條件，進(jìn)而利用平面向量共線定理構(gòu)建系數(shù)之間的關(guān)系式，從而得以確定對應(yīng)的參數(shù)求值問題.

4 線段比例

分析：根據(jù)題目條件轉(zhuǎn)化為平面向量的線性關(guān)系式，引入線段的中點(diǎn)，利用平面向量的中點(diǎn)公式加以轉(zhuǎn)化，構(gòu)建向量之間的線性關(guān)系，利用平面向量共線定理確定對應(yīng)線段的比例關(guān)系，進(jìn)一步利用三角形之間面積的關(guān)系，合理確定相應(yīng)的比值，從而得到對應(yīng)三角形面積的比值問題.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：涉及平面向量的線段比例問題，破解的關(guān)鍵就是合理挖掘題目條件，利用平面向量共線定理，構(gòu)建不同平面向量之間的線性關(guān)系，結(jié)合系數(shù)的正負(fù)取值情況確定相應(yīng)線段之間的比例關(guān)系.此類問題的表示形式可以是線段比例關(guān)系的確定、三角形面積的比值、位置關(guān)系的判定等相關(guān)的應(yīng)用問題.

5 求數(shù)量積

③

④

點(diǎn)評：涉及平面向量的求數(shù)量積問題，破解的關(guān)鍵是結(jié)合平面向量共線定理構(gòu)建相應(yīng)向量之間的線性關(guān)系，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式加以展開與轉(zhuǎn)化，可以用來解決平面向量的數(shù)量積的求值、模的確定、系數(shù)的求解等相關(guān)問題.

6 綜合應(yīng)用

分析：通過平面幾何圖形中輔助線的構(gòu)建，結(jié)合平面向量的線性關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合系數(shù)之間的關(guān)系式，利用平面向量共線定理確定三點(diǎn)共線，從而確定對應(yīng)函數(shù)的最小值的取值情況，結(jié)合余弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，利用三角形面積公式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題.

解析：如圖3所示，取線段AC的中點(diǎn)N，延長AB至點(diǎn)M，使得AB=BM.

圖3

設(shè)AN=t>0，則AC=2t，AB=BM=t.

所以f(x0，y0)的最大值為4.故填答案：4.

點(diǎn)評：涉及平面向量的綜合應(yīng)用問題，往往綜合平面向量、函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)、平面幾何與平面解析幾何等相關(guān)的問題，結(jié)合題目條件，合理利用平面向量共線定理加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，以及對應(yīng)的相關(guān)知識來綜合分析與應(yīng)用，從而得以破解相應(yīng)的綜合應(yīng)用問題.

7 結(jié)束語

作為平面向量中最基本的定理之一的平面向量共線定理，可以合理有效地構(gòu)建起不同向量之間的線性關(guān)系以及不同點(diǎn)之間的位置關(guān)系.具體應(yīng)用時主要涉及幾個方面：一是正用，即利用定理證明向量共線(或三點(diǎn)共線、線線平行)等；二是逆用，即已知兩個向量共線，那么其中一個向量必然可用另一個向量線性表示；三是綜合應(yīng)用，即利用向量的工具性來解決一些綜合性應(yīng)用問題.