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      圍繞生活命制試題 滲透文化提升素養(yǎng)

      2022-07-13 03:46:42上海市奉賢區(qū)景秀高級(jí)中學(xué)
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年13期
      關(guān)鍵詞:正弦圓錐本例

      ?上海市奉賢區(qū)景秀高級(jí)中學(xué) 沈 健

      1 問(wèn)題提出

      數(shù)學(xué)發(fā)展到今天,顯現(xiàn)出一個(gè)突出特點(diǎn):數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展發(fā)生著越來(lái)越緊密的關(guān)聯(lián).“數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián).?dāng)?shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具,還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言.?dāng)?shù)學(xué)承載著思想和文化,是人類文明的重要組成部分.”[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》中的這段表述從多個(gè)維度揭示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展的關(guān)系,也多樣化地展現(xiàn)出現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的價(jià)值和功能.

      那么,如何圍繞生活命制試題,同時(shí)達(dá)到滲透數(shù)學(xué)文化提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)呢?各地試題又是如何考查的?本文中選取典型試題加以舉例,以期拋磚引玉.

      2 實(shí)例剖析

      2.1 以音樂(lè)為背景

      例1(2020秋·濰坊期末)音樂(lè),是人類精神通過(guò)無(wú)意識(shí)計(jì)算而獲得的愉悅享受.1807年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如y=Asinωx的簡(jiǎn)單正弦型函數(shù)之和,而且這些正弦型函數(shù)的頻率都是其中一個(gè)最小頻率的整數(shù)倍,比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由圖1,2,3三個(gè)函數(shù)圖象組成的,則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為f(t)=( ).

      圖1

      圖2

      圖3

      A.0.06sin 1 000πt+0.02sin 1 500πt+0.01sin 3 000πt

      B.0.06sin 500πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt

      C.0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt

      D.0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 500πt+0.01sin 3 000πt

      結(jié)合題意知,函數(shù)f(t)=0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt.

      故選:C.

      點(diǎn)評(píng):本例以音樂(lè)為背景,考查利用圖象求三角函數(shù)解析式的應(yīng)用問(wèn)題.由圖1求出A,T,ω的值,寫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式,再結(jié)合選項(xiàng)得出函數(shù)f(t)的解析式.

      本題考查學(xué)生閱讀理解與解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng),對(duì)立志學(xué)習(xí)音樂(lè)的學(xué)生的數(shù)學(xué)水平的提高大有幫助.

      2.2 以美術(shù)為背景

      圖4

      A.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

      B.y=sinhxcoshx是偶函數(shù)

      C.(coshx)′=sinhx

      D.若△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則實(shí)數(shù)m=0

      故選:ACD.

      點(diǎn)評(píng):本例以達(dá)·芬奇畫作為情境引出著名的“懸鏈線問(wèn)題”,命題者以自定義函數(shù)的形式,考查新定義函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)、方程等基本思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)以及分析和解決問(wèn)題的能力,對(duì)立志學(xué)習(xí)美術(shù)的學(xué)生的數(shù)學(xué)水平的提高大有幫助.

      2.3 以體育運(yùn)動(dòng)為背景

      圖5

      A.18 B.24 C.36 D.48

      圖6

      故選:C.

      點(diǎn)評(píng):本例從平常生活中某一自行車抽象出平面結(jié)構(gòu)示意圖,選取素材,考查數(shù)量積的運(yùn)算、三角函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,同時(shí)考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,然后將涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái),其中P點(diǎn)坐標(biāo)借助于三角函數(shù)值表示,則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解,對(duì)立志學(xué)習(xí)體育的學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)能力水平提升大有好處.

      2.4 以傳統(tǒng)文化為背景

      例4(2021·遼寧模擬)中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”.如圖7所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案,其特點(diǎn)是圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)被平分,充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一、和諧共存的特點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)的圖象能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分,則稱函數(shù)f(x)為這個(gè)圓的“和諧函數(shù)”.則下列命題中正確的有( ).

      圖7

      A.對(duì)于任意一個(gè)圓,其“和諧函數(shù)”至多有2個(gè)

      C.正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“和諧函數(shù)”

      D.函數(shù)f(x)=2x+1不是“和諧函數(shù)”

      解析:因?yàn)檫^(guò)圓心的直線都可以將圓的面積及周長(zhǎng)同時(shí)平分,所以對(duì)于任意一個(gè)圓,其“和諧函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

      將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心處,則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的和諧函數(shù),故有無(wú)數(shù)個(gè)圓成立,故選項(xiàng)C正確;

      將圓的圓心放在函數(shù)f(x)=2x+1的圖象上,則有無(wú)數(shù)個(gè)圓成立,故函數(shù)f(x)=2x+1是和諧函數(shù),故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

      故選:BC.

      點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,以及學(xué)生對(duì)新函數(shù)定義的理解能力.

      從數(shù)學(xué)的角度看,太極圖是中心對(duì)稱圖形,數(shù)學(xué)愛(ài)好者一定對(duì)此圖形也偏愛(ài)頗多.本題就是由此編擬出的一道函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用題,靚麗之處是在簡(jiǎn)潔基礎(chǔ)上與數(shù)學(xué)文化有機(jī)結(jié)合.

      2.5 以數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系為背景

      例5(2021·淮安模擬)某保鮮封閉裝置由儲(chǔ)物區(qū)與充氮區(qū)(內(nèi)層是儲(chǔ)物區(qū)用來(lái)放置新鮮易變質(zhì)物品,充氮區(qū)是儲(chǔ)物區(qū)外的全部空間,用來(lái)向儲(chǔ)物區(qū)輸送氮?dú)鈴亩鴮?shí)現(xiàn)保鮮功能).如圖8所示,該裝置外層上部分是半徑為2的半球,下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合,內(nèi)層是一個(gè)高度為4的倒置小圓錐,小圓錐底面平行于外層圓錐的底面,且小圓錐頂點(diǎn)與外層圓錐頂點(diǎn)重合,為了保存更多物品,充氮區(qū)空間最小可以為( ).

      圖8

      設(shè)小圓錐的半徑為r,則

      點(diǎn)評(píng):本例以某保鮮封閉裝置為背景,考查了圓錐的體積公式和球的體積公式,考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).充分展示了數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于生活并與生活緊密結(jié)合,并且貼近學(xué)生的實(shí)際,這樣做有利于學(xué)生聯(lián)系實(shí)際分析與解決問(wèn)題,對(duì)于穩(wěn)定學(xué)生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果;探索了數(shù)學(xué)試題示意圖的形式,使得數(shù)學(xué)抽象問(wèn)題形象化.?dāng)?shù)學(xué)與生活息息相關(guān).生活中有數(shù)學(xué),生活也離不開(kāi)數(shù)學(xué).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“要重視從學(xué)生的生活實(shí)踐和已有的知識(shí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué).”數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科(概念、原理、法則),是比較抽象的.

      3 結(jié)束語(yǔ)

      基于新時(shí)代背景,基于創(chuàng)新人才的培養(yǎng),我們要貫徹黨的教育方針,堅(jiān)持立德樹(shù)人,倡導(dǎo)“五育”并舉.

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